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    亂花漸欲迷人眼 撥開云霧見分明
    ——淺析基本不等式的變形與應用

    2020-10-11 07:43:52
    數(shù)理化解題研究 2020年25期
    關(guān)鍵詞:變元歐拉羊圈

    張 斌

    (陜西省渭南市韓城市西莊中學 715403)

    一、基本不等式的三種應用

    基本不等式的常見變形式如下:

    提示(1)當兩個正數(shù)的積為定植時,可以求它們的和的最小值.當兩個正數(shù)的和為定植時,可以求它們的積的最小值.正所謂“積定和最小,和定積最大”.

    (2)求最值的條件“一正,二定,三取等”.

    (3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用.

    應用一:求最值

    應用二:基本不等式與恒成立問題

    A. (-∞,5] B. (-∞,4]

    C. (-∞,2] D. (-∞,1]

    應用三:均值定理在比較大小中的應用

    ∴R>Q>P.

    二、應用基本不等式的八種變形技巧

    基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變量和與積的最值,即所謂“和定積最大,積定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形式求最值,有的需要對待求式作適當變形后才可求最值.常見的變形技巧有以下幾種:

    1.加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和或積為定值

    2.平方后再使用基本不等式

    一般地,含有根式的最值問題,首先考慮平方后求最值.

    點撥由于已知條件式中有關(guān)x,y的式子均為平方式,而所求式中x是一次的,且根號下y是二次的,因此考慮平方后求其最值.

    3.展開后求最值

    對于求多項式積的形式的最值,可以考慮展開后求其最值.

    例6 若實數(shù)a,b滿足ab-4a-b+1=0(a>1),則(a+1)(b+2)的最小值為____.

    4.變形后使用基本不等式

    A.5 B.6 C.7 D.8

    6.用“1”的代換法求最值

    A.3 B.4 C.5 D.6

    7.代換減元求最值

    點評在含有兩個以上變元的最值問題中,通過代換的方法減少變元,把問題化為兩個變元的問題使用基本不等式,或者把問題化為一個變元的問題使用函數(shù)方法求解.

    8.建立求解目標不等式求最值

    例11 已知x,y均為正實數(shù),且xy=x+y+3,則xy的最小值為____.

    利用基本不等式與已知條件建立求解目標的不等式,求出不等式的解集即得求解目標的最值.

    三、基本不等式的應用

    歐拉是一位家喻戶曉的數(shù)學家,有驚人的數(shù)學才能和數(shù)學發(fā)現(xiàn),以他名字命名的有歐拉定理、歐拉公式、歐拉線等.當然也有許多美麗的傳說,小時候幫父親解決了一個棘手的問題:

    例12因羊繁殖增多,他父親計劃建一個長40米,寬15米共600平方米的長方形羊圈.可動工時才發(fā)現(xiàn)原有的材料只夠圍100米的籬笆,該如何辦?正在為難時,小歐拉給了一個建議,把羊圈建成一個邊長為25米的正方形.父親照著小歐拉設計扎了一個正方形的羊圈,100米長的籬笆真的夠了,面積還比原來的稍大一些.這是為什么?如何解釋歐拉的設計?

    事實上,歐拉總結(jié)出一條規(guī)律:在等周長的矩形中,正方形的面積最大.

    例13港珠澳大橋通車后,經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.由于燃油的價格有升也有降,現(xiàn)劉先生有兩種加油方案,第一種方案:每次均加30升的燃油;第二種方案,每次加200元的燃油,則下列說法正確的是( ).

    A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算

    C.兩種方案一樣 D.無法確定

    所以無論油價如何變化,第二種都更劃算.故選B.

    陶行知老先生曾經(jīng)說過:“生活主義包含萬狀,凡人生一切所需皆屬之.”生活就是教育的本源,生活中所產(chǎn)生的實際問題,便是教育的沃土.教育的出發(fā)點正是為了解決生活中的一切問題而產(chǎn)生的.在解決問題中理解和學習知識,才是真正的“知行合一”.

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