一種新的模型平均法：基于貝葉斯模型概率分析

袁杰 徐鵬　張少龍

摘 要：本文提出了一種新的模型平均法，其權(quán)重的計(jì)算方式是將傳統(tǒng)方法的權(quán)重與貝葉斯方法的模型概率相結(jié)合。先用模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該方法的有效性，再用Fama-French三因子的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證，結(jié)果顯示該模型平均法可進(jìn)一步提升模型的預(yù)測(cè)精度。

關(guān)鍵詞：模型平均法 ?貝葉斯 ?預(yù)測(cè)精度

中圖分類號(hào)：F270.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-0298（2020）09（b）--04

模型平均法因其具有良好的預(yù)測(cè)性質(zhì)一直受到廣泛關(guān)注，被應(yīng)用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)和金融等諸多領(lǐng)域。雖然單一的模型在很多情況下可以解決問題，但這要求模型建立足夠準(zhǔn)確，否則就會(huì)丟失大量有用信息，導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差較大。當(dāng)模型的自變量很多且并不存在線性相關(guān)時(shí)，單一的全模型會(huì)包括很多自變量子集構(gòu)成的模型，模型平均法恰好可以將這些模型包含的信息充分利用，有效地提升預(yù)測(cè)精度。

模型平均法的核心是如何計(jì)算加權(quán)的權(quán)重，權(quán)重的分配合理與否，直接影響預(yù)測(cè)的精度。所以如何提高權(quán)重的準(zhǔn)確度一直都是討論的熱點(diǎn)。本文的創(chuàng)新點(diǎn)正是在傳統(tǒng)的權(quán)重計(jì)算方法上結(jié)合了貝葉斯方法的模型概率，進(jìn)一步提升了權(quán)重的合理性，最終分別通過模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)證實(shí)了預(yù)測(cè)精度的提高。

本文結(jié)構(gòu)安排如下： 第1部分是文獻(xiàn)綜述;第2部分是新模型平均法原理說明;第3部分是模擬分析，第4部分是實(shí)證分析，最后是結(jié)語。

1 文獻(xiàn)綜述

Hansen（2007）提出了Mallows 模型平均法 （MMA），該方法與之前的方法類似，仍需要對(duì)模型的標(biāo)準(zhǔn)誤進(jìn)行初步估計(jì)，再計(jì)算加權(quán)權(quán)重，雖然一定程度上提升了預(yù)測(cè)精度，但不適用異方差和小樣本情形。Hansen and Racine （2012） 提出了jackknife模型平均法（JMA），該方法無需估計(jì)模型標(biāo)準(zhǔn)誤，同時(shí)又適用于異方差情形。但在同方差或小樣本情形下，該方法表現(xiàn)劣于MMA。Zhang et al.（2015）基于Kullback–Leibler距離，提出了一種修正的MMA方法（KLMA）。該方法在小樣本和異方差情形下表現(xiàn)優(yōu)于MMA。Xie， T.（2015）提出了一種不依賴于模型的標(biāo)準(zhǔn)誤的模型平均法（PMA），該方法的表現(xiàn)優(yōu)于前面三種方法。

Francisco Barillas and Jay Shanken（2018）提出了一種基于標(biāo)準(zhǔn)F-統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的封閉式的貝葉斯資產(chǎn)定價(jià)檢驗(yàn)。該檢驗(yàn)利用貝葉斯概率的思想，通過計(jì)算給定自變量子集的所有可能模型集合的模型概率，比較模型的定價(jià)能力。

本文受到Francisco Barillas and Jay Shanken（2018）計(jì)算模型貝葉斯概率的啟發(fā)，將模型的貝葉斯概率與以往的模型平均法結(jié)合，提出了一種新的計(jì)算加權(quán)權(quán)重的方法。

2 新模型平均法原理說明

是一個(gè)隨機(jī)樣本，且。假設(shè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的過程是，其中，且。y、、u可為的矩陣。對(duì)于一個(gè)線性近似模型序列，有個(gè)回歸方程，例如在模型中，其中是一個(gè)的系數(shù)。令，則模型的的最小二成估計(jì)為。

令為各模型的權(quán)重，且。用模型平均法估計(jì)的為

以往的權(quán)重計(jì)算方式通常為定義一個(gè)以為參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，令目標(biāo)函數(shù)取最小值時(shí)的即為模型平均法的加權(quán)權(quán)重。PMA，MMA，JMA，KLMA四種方法分別對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)如下：

（1）

其中表示有效參數(shù)。

（2）

其中為包含全部自變量模型的標(biāo)準(zhǔn)誤。

（3）

其中，，是最小二乘法的殘差，是的對(duì)角矩陣且其對(duì)角元素為，是矩陣的第個(gè)對(duì)角元素。

（4）

其中為全部自變量模型的標(biāo)準(zhǔn)誤，是其參數(shù)個(gè)數(shù)。

模型的預(yù)測(cè)值即為，其中為與做回歸分析得到的系數(shù)。

Francisco Barillas and Jay Shanken（2019）通過計(jì)算給定自變量子集的所有可能模型集合的模型概率，比較模型的定價(jià)能力，計(jì)算公式如下：

（5）

其中是基于數(shù)據(jù)的模型貝葉斯概率，用于衡量超額收益，即模型截距項(xiàng)是否等于0。根據(jù)有效市場(chǎng)理論，該概率越大表示模型資產(chǎn)定價(jià)能力越強(qiáng)。是基于貝葉斯原理計(jì)算的各模型的邊際概率，作為后驗(yàn)概率，為各模型的先驗(yàn)概率。

基于以上所述，從本質(zhì)上來說也可以作為一種模型平均法的加權(quán)權(quán)重，即定價(jià)能力越強(qiáng)的模型賦予越大的權(quán)重。后驗(yàn)概率可以根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算，但先驗(yàn)概率該如何設(shè)置才合理？前人的做法通常為等權(quán)重設(shè)置，或根據(jù)理論知識(shí)主觀判定，這顯然存在擴(kuò)大誤差的風(fēng)險(xiǎn)。

George （1997）等也提出了用擴(kuò)散單位信息先驗(yàn)分布作為一種基準(zhǔn)先驗(yàn)概率分布。本文針對(duì)這一問題，提出了新的觀點(diǎn)，用PMA，MMA，JMA，KLMA四種模型平均法的加權(quán)權(quán)重作為先驗(yàn)概率帶入式（5），將得到的新模型貝葉斯概率作為模型平均法（以下簡(jiǎn)稱為CBMA）的新加權(quán)權(quán)重。

3 模擬分析

本文采用Xie， T.（2015）的模擬方法生成數(shù)據(jù)，分別測(cè)試將PMA，MMA，JMA，KLMA四種方法的加權(quán)權(quán)重作為先驗(yàn)概率，比較CBMA的表現(xiàn)。

假設(shè)模型為，為的矩陣，第一列為常數(shù)項(xiàng)，其他列為相互獨(dú)立且服從分布的隨機(jī)變量，，為與不相關(guān)的誤差項(xiàng)，且服從分布。通過設(shè)置參數(shù)可調(diào)節(jié)，使其范圍為0.01～0.99。本文的模擬參數(shù)設(shè)置為，模型常數(shù)項(xiàng)為1。

評(píng)測(cè)方法表現(xiàn)的指標(biāo)本文選取每個(gè)對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)，其中為模擬生成的真實(shí)值。分別以PMA，MMA，JMA，KLMA方法的加權(quán)權(quán)重為先驗(yàn)概率得到CBMA，重復(fù)模擬1000次后取均值，得到的CBMA方法表現(xiàn)如圖1至圖4，圖中橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為Risk。

由模擬結(jié)果可以看到，當(dāng)?shù)陀?.1左右時(shí)，CBMA方法表現(xiàn)較差，其原因可能是過低時(shí)真實(shí)值的方差很大，導(dǎo)致與模型平均結(jié)果偏差較大;但當(dāng)超過0.1左右時(shí)，CBMA方法的表現(xiàn)優(yōu)于其他四種傳統(tǒng)的模型平均法，即相同時(shí)對(duì)應(yīng)的Risk值更小，可有效地減少預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)。說明CBMA方法在大于0.1的情形下，可以有效地減小預(yù)測(cè)誤差。

4 實(shí)證分析

本文選取Fama-French三因子模型作為實(shí)證測(cè)試模型，自變量為1927—2018年的Fama-French三因子月度數(shù)據(jù)，因變量選取Fama-French構(gòu)建的size 1 ME 2 BM Portfolio月收益率。依然分別以PMA，MMA，JMA，KLMA方法的加權(quán)權(quán)重為先驗(yàn)概率得到CBMA，用指標(biāo)均方預(yù)測(cè)誤差（mean squared forecast error，MSFE）評(píng)測(cè)表現(xiàn)效果：，其中表示測(cè)試集，是用模型平均法估計(jì)的訓(xùn)練集模型系數(shù)，是訓(xùn)練集的樣本個(gè)數(shù)。為了避免代表性偏差，本文采用隨機(jī)抽樣的方法抽取50個(gè)樣本，前40個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，后10個(gè)作為測(cè)試集，重復(fù)這一操作1000次后取平均值。

為了使結(jié)果更直觀，表1中所有的MSFE都以CBMA的MSFE為基數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即用其他方法的MSFE除以CBMA的MSFE。表1結(jié)果說明CBMA模型平均法在實(shí)證中表現(xiàn)優(yōu)于其他四種模型平均法，確實(shí)提升了預(yù)測(cè)精度。

若單從實(shí)際應(yīng)用的角度來說，為了更好地發(fā)揮CBMA方法的優(yōu)勢(shì)，可采取優(yōu)中取優(yōu)的思路，對(duì)模型平均法的精度進(jìn)一步提升。具體做法以PMA方法為例，先比較訓(xùn)練集的結(jié)果，若CBMA的結(jié)果優(yōu)于PMA，則測(cè)試集的預(yù)測(cè)采用CBMA計(jì)算預(yù)測(cè)值，反之則采用PMA計(jì)算預(yù)測(cè)值，對(duì)于其他三種方法原理相同。以下仍沿用表1中的實(shí)證數(shù)據(jù)，對(duì)這一實(shí)際應(yīng)用上優(yōu)化思路進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)證結(jié)果如表2所示。

由表2可知，優(yōu)化的思路確實(shí)能在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)一步提升CBMA模型平均法的預(yù)測(cè)精度，說明在對(duì)于PMA，MMA，JMA，KLMA方法不適用的樣本情形下，CBMA方法能很好的形成互補(bǔ)，取得更好的預(yù)測(cè)表現(xiàn)。

5 結(jié)語

本文提出了一種新的模型平均法（CBMA），用傳統(tǒng)模型平均法的加權(quán)權(quán)重作為先驗(yàn)概率，將貝葉斯方法的模型概率作為后驗(yàn)概率，最終得到新的加權(quán)權(quán)重。首先，在模擬數(shù)據(jù)的情形下，驗(yàn)證了該方法在大于0.1左右時(shí)，可以獲得比PMA，MMA，JMA，KLMA四種模型平均法更好的表現(xiàn)，減小了預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)。其次，在真實(shí)數(shù)據(jù)的情形下，本文選取了Fama-French三因子模型作為測(cè)試，驗(yàn)證了CBMA方法的有效性，展示了比其他四種傳統(tǒng)方法更高的預(yù)測(cè)精度。最后，對(duì)于CBMA方法提出了一種在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)化思路，并通過實(shí)證驗(yàn)證了其可行性，確實(shí)能在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升預(yù)測(cè)精度。

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