特殊和一般的辯證方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

魏選平

摘要：本文詳細(xì)介紹了由特殊到一般的教學(xué)方法，在小學(xué)、中學(xué)及大學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)，反映出辯證的哲學(xué)思想，此方法對(duì)現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性。

關(guān)鍵詞：特殊 ?一般 ? 哲學(xué) ? 數(shù)學(xué)教學(xué)

一 引言

世界上任何事物都處于相互聯(lián)系之中，矛盾的普遍性寓于特殊性之中，并通過(guò)特殊性表現(xiàn)出來(lái)，該規(guī)律在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上也有指導(dǎo)意義?；谕悊?wèn)題的最簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題與同類復(fù)雜問(wèn)題間的平行的相似性，由最簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題研究、概括總結(jié)推廣出同類復(fù)雜問(wèn)題的解決方法?？v觀各年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，都先由特殊的實(shí)例概況歸納出本質(zhì)規(guī)律，從而熟能生巧地總結(jié)概括推廣出概念、定理，公式。這些定理、公式可解決同類事物中的所有復(fù)雜問(wèn)題，由小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，無(wú)不體現(xiàn)出由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律。這種規(guī)律和方法具體體現(xiàn)在小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)體系上。

二 小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

1 小學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

圓的周長(zhǎng)公式也可由生活中的特殊到一般規(guī)律歸納出來(lái)。例如，車(chē)輪滾動(dòng)一周的長(zhǎng)度就是周長(zhǎng)，如何測(cè)車(chē)輪周長(zhǎng)用圓片試試看，圓片向右滾動(dòng)一周，用線繞圓片一周可測(cè)量出圓的周長(zhǎng)與直徑有關(guān)，找3個(gè)大小不同的圓片分別測(cè)量出園的周長(zhǎng)和直徑，做一做，填一填。如下表 所示。

測(cè)量會(huì)有誤差，可多測(cè)幾次求平均值，會(huì)發(fā)現(xiàn)園的周長(zhǎng)總是與直徑的3倍多一點(diǎn)，從而得出圓的周長(zhǎng)除以直徑 的商是一固定的數(shù)，稱其為圓周率，用字母表示，計(jì)算時(shí)常數(shù)取3.14，從而可用圓的周長(zhǎng)公式求出所有圓的周長(zhǎng)。該例從生活中的簡(jiǎn)單的特例概況出圓的周長(zhǎng)公式。利用所求不同的圓的周長(zhǎng)，這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問(wèn)題的問(wèn)題。

2 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

勾股定理的學(xué)習(xí)可聯(lián)系生活實(shí)際，對(duì)于任意三角形，只要是直角三角形，它的三邊的長(zhǎng)度就為一對(duì)勾股數(shù)，反過(guò)來(lái)，只要一三角形的三邊長(zhǎng)互為勾股數(shù)，則該三角形一定是直角三角形。從而總結(jié)出勾股定理。即任意直角三角形中，兩直角邊的平方和一定等于斜邊的平方。由勾股定理可解決不同直角三角形的邊角問(wèn)題，尤其是從直角三角形的形狀特性可總結(jié)出其性質(zhì)規(guī)律，由勾股定理和直角三角形的性質(zhì)可解決所有直角三角形問(wèn)題。這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問(wèn)題的問(wèn)題。

3 高中的體現(xiàn)

初中七年級(jí)下冊(cè)講了變量的關(guān)系，變量的三種表示方法（解析式、列表法、圖像法），也是高中的冪函數(shù)、對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的表示方法。對(duì)高中的冪函數(shù)、對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)學(xué)習(xí)中，都可以用函數(shù)表達(dá)式先列表，找出幾個(gè)特殊的點(diǎn)，然后，用光滑的曲線連接起來(lái)，就構(gòu)成了函數(shù)的圖形，通過(guò)觀察、分析、總結(jié)出函數(shù)圖形的特征和本質(zhì)，用自己的語(yǔ)言描述一下，就得到了函數(shù)的性質(zhì)。那么，這種用變量的關(guān)系總結(jié)出的簡(jiǎn)單的方法，可以用到高中一般復(fù)雜函數(shù)的學(xué)習(xí)中。無(wú)不體現(xiàn)出由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的學(xué)習(xí)方法。

4 大學(xué)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

4.1 在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義時(shí)，先通過(guò)講曲線上任意一點(diǎn)處切線和變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度這兩個(gè)實(shí)例，在通過(guò)觀察、分析和總結(jié)這兩個(gè)實(shí)例的共同的相似的本質(zhì)和特征，在熟能生巧的基礎(chǔ)上，按照由特殊到一般的方法推廣和深入，從而用自己的語(yǔ)言概括總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的定義。

4.2 在學(xué)習(xí)微分方程的概念時(shí)，先講簡(jiǎn)單的實(shí)例，已知曲線通過(guò)一定點(diǎn)，且在該曲線上任一點(diǎn)處的切線的斜率，求這曲線的方程。這道實(shí)例的解的過(guò)程是，首先設(shè)曲線方程，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出微分方程，最后用數(shù)學(xué)方法解出微分方程的解。對(duì)于這樣的簡(jiǎn)單實(shí)例的解題過(guò)程，加以概括、總結(jié)和提煉，按照由特殊到一般的方法加以推廣和深入，也可得到適用于所有微分方程的本質(zhì)概念。微分方程也是方程。所有微分方程和小學(xué)四年級(jí)的方程間具有平行的相似性。小學(xué)學(xué)過(guò)，含有未知數(shù)的等式是方程。大學(xué)的研究對(duì)象為函數(shù)，所以，含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程為微分方程;小學(xué)學(xué)過(guò)，能使方程成立的未知數(shù)的值為方程的解。同樣，能使微分方程成立的未知函數(shù)的值為微分方程的解;小學(xué)學(xué)過(guò)，含有未知數(shù)的最高階次數(shù)為方程的次數(shù)。同樣，含有未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為微分方程的階數(shù)。顯然，小學(xué)的簡(jiǎn)單方程和大學(xué)的微分方程間具有平行的相似性，由這種相似性，可以由小學(xué)的簡(jiǎn)單方程的學(xué)習(xí)，平行遞推出大學(xué)的微分方程的學(xué)習(xí)，從而使微分方程的學(xué)習(xí)變得通俗易懂。

三 結(jié)論

綜上所述，小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)體系都體現(xiàn)出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律，這就啟示我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只有抓住同類簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題與一般復(fù)雜問(wèn)題間的相似性，才能由小學(xué)、初中、高中的簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題的學(xué)習(xí)和研究，熟能生巧地推廣和概括出大學(xué)的一般復(fù)雜問(wèn)題的學(xué)習(xí)。小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的每一個(gè)重要公式、概念、定理都是從生活中簡(jiǎn)單特殊的實(shí)例總結(jié)概括歸納出來(lái)的，由這些基本定理公式又可解決形形色色的同類所有問(wèn)題。也體現(xiàn)出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律。只要掌握了從特殊到一般的方法，就能提高學(xué)生的自學(xué)能力，就能增強(qiáng)教師的教學(xué)能力。一般來(lái)說(shuō)，特殊的實(shí)例都很簡(jiǎn)單，一般問(wèn)題都很復(fù)雜，這種方法也是從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題中學(xué)會(huì)復(fù)雜問(wèn)題的解決辦法，這不能不說(shuō)是一種智慧。有了這種智慧，不但能學(xué)好數(shù)學(xué)，也能學(xué)會(huì)分析和解決新問(wèn)題的能力。