基于“關鍵能力”培養(yǎng)的數(shù)學實驗教學變革研究

摘要：數(shù)學學科“關鍵能力”包括特征分離概括化能力、關系定性特征化能力、新元添加連續(xù)性能力和結構關聯(lián)相關性能力等理性素養(yǎng)，通過變革數(shù)學實驗行為目標，培養(yǎng)學生的“關鍵能力”，有助于學生的全面發(fā)展和必備品格的形成。

關鍵詞：數(shù)學實驗;關鍵能力;教學變革;課例研究

中圖分類號：G420 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）09B-0039-05

《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》明確界定，核心素養(yǎng)是學生應具備適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力。在數(shù)學實驗教學領域，如何培養(yǎng)學生的“關鍵能力”及其背后的“必備品格”是變革的關鍵。具體來說，通過數(shù)學實驗培養(yǎng)的學科關鍵能力包括特征分離概括化能力、關系定性特征化能力、新元添加連續(xù)性能力和結構關聯(lián)相關性能力。通過關鍵能力的培養(yǎng)，構建數(shù)學實驗教學育人范式及其產(chǎn)生式形成，進而實現(xiàn)數(shù)學實驗的教學變革。這里的“產(chǎn)生式”，是指條件與動作的聯(lián)結，即在某一條件下會產(chǎn)生某一動作的規(guī)則，它由條件項“如果”和動作項“那么”構成，即在滿足某個條件的時候，我們做出某個行動。（見表1）

本研究以蘇科版義務教育教科書《數(shù)學》八年級下冊“三角形的中位線”的教學為例，旨在落實數(shù)學實驗教學培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的目標。圖1所示的框架模型可以達成的目標表現(xiàn)在以下四個方面：一方面，通過“做數(shù)學”和感知數(shù)學，發(fā)展辨別直覺、美的直覺和關系直覺，落實概念本質(zhì)屬性的把握及其產(chǎn)生式形成，培養(yǎng)特征分離概括化能力;另一方面，通過提出問題及其逆問題意識，落實工具性理解、概念性理解以及關系性理解，強化主體、環(huán)境、行為之間的思維交往互動以及透視本質(zhì)屬性能力，培養(yǎng)關系定性特征化能力;再一方面，通過高階思維（分析、評價與反思），提高同化和順應概念的組織能力，落實深度學習及其審美需要的內(nèi)驅，培養(yǎng)新元添加連續(xù)性能力;最后，通過“使用數(shù)學”（應用數(shù)學、關聯(lián)數(shù)學和結構數(shù)學），發(fā)展創(chuàng)新意識、決策意識以及反觀審辯意識（批判意識），落實結構關聯(lián)能力，建構心理系統(tǒng)概念群和心理結構概念圖。

數(shù)學觀、數(shù)學教育觀的一般觀念和人的關鍵能力的一般概念，都直接來自人性的實踐理性。因此，通過數(shù)學實驗培養(yǎng)關鍵能力，可以實現(xiàn)必備品格的養(yǎng)成和滿足人性審美的需要。

一、特征分離概括化能力

在數(shù)學實驗教學研究范疇，特征分離概括化能力屬于序的直覺范疇，即通過“做數(shù)學”和“思考數(shù)學”，經(jīng)歷“分離”“概括”的心理過程，剔除概念的非本質(zhì)屬性，直觀感知概念的本質(zhì)屬性特征，并進行思維辨別與緩存，終于概念的直覺把握和有序發(fā)生。毋庸置疑，在“‘做數(shù)學”的具身條件下，“分離—概括”本身就是一種美的選擇，既有關系直覺成分，又有真?zhèn)沃庇X成分，而“證偽”是一種邏輯屬性的學習素養(yǎng)，屬于學會學習素養(yǎng)范疇。因此，就這一理解來說，數(shù)學實驗教育不僅僅是幫助學生理解數(shù)學，更在于數(shù)學直覺素養(yǎng)的培養(yǎng)，有助于概念本質(zhì)的洞察與直接把握，這就是“直觀的懂”。在徐利治先生看來，“數(shù)學直覺=美的直覺+關系直覺+真?zhèn)沃庇X”[1]，這就把數(shù)學實驗價值提高到學會學習層面。換言之，在數(shù)學實驗教學研究者看來，真?zhèn)沃庇X的證偽過程就是剔除概念非本質(zhì)屬性的過程，而美的直覺的建立過程就是做數(shù)學的直接選擇過程，關系直覺的確立過程就是概念本質(zhì)屬性得以把握的過程，標志著“經(jīng)歷”了數(shù)學概念發(fā)生及其數(shù)學思考的方方面面。

有學者通過研究，從發(fā)展“關鍵能力”目標層面指出，基于學生核心素養(yǎng)發(fā)展的教學目標的表述，可以在目前的教學目標的內(nèi)容（學科知識）與行為（認知、技能和情感變化）維度基礎上，加入“情境維度”[2] 。這就要求數(shù)學實驗教育在實驗目的層面添加素養(yǎng)屬性的能力目標，才能將關鍵知識轉化為關鍵能力及其支撐關鍵能力的必備品格，終于分離概念、概括概念能力體系的上位發(fā)展?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程基本理念部分指出，學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。顯然，就數(shù)學實驗教學論來說，觀察實驗、推理驗證等是分離概念本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性的邏輯過程，概括是概念屬性特征獲取的主要方式，有助于直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，有助于直覺數(shù)學邏輯的發(fā)展，終于關系直覺等關鍵能力的發(fā)展。為此，當下數(shù)學實驗教學在概括概念的本質(zhì)特征層面必須做好三個層面的工作：一是數(shù)學地“動手做”，建立概念辨別直覺;二是數(shù)學地“動眼看”，建立概念美的直覺;三是數(shù)學地“動嘴說”，建立概念關系直覺。最終達到分離概括概念的本質(zhì)屬性特征目標，進而體認和把握概念的直覺信息。

不妨以“三角形中位線的‘發(fā)生概念實驗塊”為數(shù)學實驗清樣，說明特征分離概括化能力培養(yǎng)的重要意義，不止于幫助理解數(shù)學，還在于序的直覺能力產(chǎn)生式形成。具體實驗操作線索如下：第一，任意畫一個三角形，并剪下來;第二，在平面內(nèi)是否存在一條裁剪線，將這個三角形紙片分成兩部分，能拼成一個平行四邊形？第三，如果存在，這條裁剪線有何特點？裁剪線與第三邊有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？并說明理由。不難理解，“畫”和“剪”是初中段動手做數(shù)學的通用技術，為概念的特征分離與概括提供直覺信息;“存在性的”確認過程是動眼看的“視思維”結果形態(tài)，“裁剪線”的確立過程是美的直覺選擇行為，是分離概念特征的一個具體表現(xiàn);描述“裁剪線特點”和概括“與第三邊關系”及其說理，是概括概念特征的一般方式，有助于三角形中位線概念特征的本質(zhì)把握，很好地發(fā)展了關系直覺。其實，在初中段數(shù)學實驗課堂，只有轉向讓學生在具身知覺學習中有思維地、自然地發(fā)生概念，在概括中分離，在分離中概括，方能發(fā)展數(shù)學直覺等關鍵學科能力。正如人民教育出版社編審章建躍所說，“課堂教學中，‘自然的過程來源于數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程和學生認知過程的融合，具體表現(xiàn)為對數(shù)學概念、原理的不斷歸納和概括的過程”[3] 。

二、關系定性特征化能力

數(shù)學實驗關系定性特征化能力是讓學生從概念的實際背景出發(fā)，通過思維地做數(shù)學，在提出序列相關問題及逆向補償問題的基礎上，發(fā)展概念的數(shù)學內(nèi)部關系，秉持從特殊到一般的思想方法，組織提煉一類事物的共性特征，進而淡化形式，把握概念的類屬本質(zhì)，實現(xiàn)從“工具性理解”到“關系性理解”，并真正“把”“握”概念。以邏輯學的視角來看，這里的“工具性理解”是“關系性理解”的必要而非充分條件。在R.斯根普看來，“數(shù)學工具性理解就是一種程序性理解，也就是一個規(guī)則R所指定的每一個步驟是什么，如何操作的問題;而數(shù)學關系性理解，則還需要加上對符號意義或替代物本身結構上的認識”[4] 。在數(shù)學實驗教學中，“概念的形成—概念的使用—概念的解釋”就是程序性理解的一個例子，是工具性理解的一般技術范式，突出從特殊到一般的理性思維的滲透目標;而“類比關聯(lián)”“逆向補償思考”“分類討論”是關系性理解的執(zhí)行程序，突出概念的系統(tǒng)性和階段性特點?！捌磮D·公式”就是關系性理解的一個特例。事實上，就數(shù)學知識的學習而言，概念的理解應當定位于“關系性理解”，只有從工具性理解上升到關系性理解，學生才能把握數(shù)學對象的本質(zhì)。換句話說，讓學生基于做的經(jīng)驗，獲得概念關系定性特征的本質(zhì)，實現(xiàn)概念系統(tǒng)化結構化目標。

在傳統(tǒng)的數(shù)學實驗教學中，人們更多地傾向于做的感性形式，引發(fā)“現(xiàn)象性的玩”，甚至產(chǎn)生“去數(shù)學化”現(xiàn)象，這就無法體現(xiàn)出數(shù)學的理性精神。事實上，“感性行為”背后的“理性思維”才是數(shù)學實驗教學的本體價值，這也是數(shù)學實驗教學培養(yǎng)學生“關鍵能力”的價值支撐。在鄭毓信教授看來，“實踐活動，包括感性經(jīng)驗構成了數(shù)學認識活動的重要基礎”[5] 。就認知層面來說，利用學生的生活經(jīng)驗有助于他們理解和掌握概念和知識。這就在一定層面強調(diào)數(shù)學實驗的教育價值，不止于先驗性組織行為，更在于演繹性理解，最終實現(xiàn)理性特征關系的定性與把握。也就是在概念形成過程中，數(shù)學實驗為概念的形成提供了感覺、知覺和表象的基礎，通過不斷地分析綜合、非連續(xù)抽象概括等關系特征定性行為，逐步把握一類概念的本質(zhì)。為此，新的數(shù)學實驗觀重視三個維度的理性思維工作：一是學習主體與思維環(huán)境進行交往，落實提出問題目標;二是學習主體間進行思維交往，落實工具性理解目標;三是行為、主體、環(huán)境之間的交往，落實逆問題意識目標以及關系性理解目標，終于概念圖的重構與組建，進而提升學習主體的理性經(jīng)驗和關鍵能力。

不妨以“三角形中位線的‘形成概念實驗塊”為數(shù)學實驗清樣，說明關系定性特征化能力培養(yǎng)的主體價值，不止于感性經(jīng)驗的有序層級，還在于關系性理解產(chǎn)生式系統(tǒng)的定向形成，包括概念的意義組織與建設。具體思維活動線索如下：第一，任意畫一個三角形，如何將其分成四個全等的三角形？你還發(fā)現(xiàn)了哪些結論？第二，任意畫一個四邊形，并取各邊中點，構造的中點四邊形是什么形狀？為什么？第三，矩形的中點四邊形是什么形狀？為什么？菱形呢？正方形呢？等腰梯形呢？經(jīng)歷上述活動，你認為中點四邊形的形狀與什么有關？為什么？如果說“畫三角形—構造全等三角形—發(fā)現(xiàn)結論”是主體與文本環(huán)境進行思維交往，那么“畫四邊形—構造中點四邊形—理性運演”是主體間的思維交往的普遍范式，“特殊四邊形的中點四邊形的形狀確認與說理”以及一般研究結論（中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的位置關系和數(shù)量關系決定的）的概括提出則是行為、主體和環(huán)境之間的立體交往，反映數(shù)學實驗教學的本質(zhì)是理性思維的生長與擬經(jīng)驗的發(fā)展，最終指向關系定性特征化目標的梯級實現(xiàn)。這與陳重穆等人的數(shù)學教育觀是一致的，即“義務教育中的數(shù)學應該走‘大眾數(shù)學的路子，即不從概念出發(fā)，應從實際出發(fā)歸納概念，使學生掌握概念的實質(zhì)”[6] 。

三、新元添加連續(xù)性能力

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出：“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學?！薄翱臻g形式”隨著變量數(shù)學發(fā)展的階段性而不斷擴展，“數(shù)量關系”的內(nèi)涵和外延也會發(fā)生相應的變化。比如，在有理數(shù)研究范疇中，“x2-2”這樣的多項式是不能分解因式的。為此，引進了實數(shù)運算后，涉及必須把“無理數(shù)”作為“新元”補充到原有結構中，才能使之具有嚴謹?shù)膶崝?shù)體系。而就初中段學生的思維水平來說，無理數(shù)很抽象，只有借助數(shù)軸的形象功能（將2個面積為1的正方形，剪拼成面積為2的正方形，其邊長是無理數(shù)，可以用數(shù)軸上的點表示），才能顯化其內(nèi)部數(shù)學算理，這就是數(shù)學實驗的理性價值。添加了“無理數(shù)”這一新元后，多項式x2-2就可以進行分解了，可分解為（x2+ ?2 ）（x2- ?2 ）。這種指向思想方法屬性的數(shù)學能力稱之為“新元添加連續(xù)性能力”。更為一般地說，在數(shù)學實驗使用概念范疇，站在知識銜接體系論層面，讓概念具有前后聯(lián)系、上下貫通、結構連續(xù)的功能特點，并借助“同化經(jīng)驗結構”和“順應經(jīng)驗結構”的實驗心理條件，將規(guī)則R應用于一個或多個實驗情境，最終實現(xiàn)概念的重組和遷移，落地關鍵能力培養(yǎng)的目標。

蘇聯(lián)學者亞歷山大·洛夫在《數(shù)學——它的內(nèi)容、方法和意義》一書中，將數(shù)學的特點歸結為“三性”：高度的抽象性、嚴密的邏輯性和應用的廣泛性。這里可以把“邏輯性”解釋為數(shù)學概念的連續(xù)性，“廣泛性”解釋為添加新元數(shù)學的心理前提，而把“抽象表征產(chǎn)生式”轉化為數(shù)學經(jīng)驗和擬經(jīng)驗體系是數(shù)學實驗教學變革的關鍵。也就是說數(shù)學實驗教學的目標不止于累積基本活動經(jīng)驗，更在于將抽象的思考轉化為人的關鍵能力，這才是數(shù)學實驗教學應有的價值定位。數(shù)學實驗教學中的“問題解決”“課題學習”“研究性學習”以及分析、綜合、評價等高階思維行為，都突出新元添加連續(xù)性能力的培養(yǎng)功能。事實上，從數(shù)學實驗的研究過程來看，“數(shù)學還具有形象性、似真性、擬經(jīng)驗性、‘可證偽性的特點”[7] 。如何將這些非充分邏輯思考的實驗屬性轉化為可連續(xù)的理性的數(shù)學實驗精神，是當下數(shù)學實驗教學培養(yǎng)學科關鍵能力的一個思維抓手。為此，數(shù)學實驗教學必須做好三個方面的“思維轉向”工作：一是在同化、順應概念中使用概念，實現(xiàn)由非連續(xù)性思維轉向連續(xù)性思維的目標;二是在問題解決中突出添加新元能力培養(yǎng)的新型實驗教學目標;三是通過高階思維培養(yǎng)，實現(xiàn)由感性經(jīng)驗層級轉向理性精神生長的目標，滲透通過數(shù)學實驗教學促進學生“必備品格”發(fā)展的育人思想。

不妨以“三角形中位線的‘使用解釋概念實驗塊”為數(shù)學實驗清樣，說明新元添加連續(xù)性能力培養(yǎng)的實體價值，不止于感性經(jīng)驗的有序緩存，還在于新元添加能力目標的逐級實現(xiàn)，使得概念結構化、體系化和系統(tǒng)化，終于概念的“完形”把握與概念信息網(wǎng)絡化，包括同化概念和順應概念行為。具體新元添加思維活動線索如下：首先，定義組合矩形。通過折疊，原三角形恰好折成兩個重合的矩形，其中一個是內(nèi)接矩形，另一個是拼合（指無縫無重疊）所成的矩形，我們稱這樣的兩個矩形為“組合矩形”;其次，讓學生任意剪一個三角形，并將這個三角形折成組合矩形，并說明折痕的特點;再次，讓學生畫一個三角形，使其能折成組合正方形，探討這樣的三角形必須具備什么條件，并說出為什么。最后，讓學生猜想一個四邊形要想折成組合矩形必須滿足什么條件，并說出為什么，如果組合正方形又必須滿足哪些條件，最終指向通過數(shù)學實驗促進學生高階思維發(fā)展目標的實現(xiàn)。

Lewis和Smith從心理學的視角對高層次思維的定義是：“高層次思維發(fā)生在，當個體需要將新知識和已有知識建立聯(lián)系，或者改變及拓展這些知識來達到一個復雜的認知目的或者在復雜的情境中發(fā)現(xiàn)可能的答案?！盵8]毋庸置疑，折“組合矩形”本身是一種新元添加能力的外顯（這里把“新元”解釋為學習新概念的能力），具有新舊知識聯(lián)系的連續(xù)性特點，投射概念的同化與順應的結構化意義;折“組合正方形”是在改變拓展知識的一個具體表現(xiàn)，反映問題解決助推新元添加能力目標的實現(xiàn);“考問四邊形折成組合矩形的條件”是在復雜情境中發(fā)現(xiàn)可能答案的一個可操作的例子，促進高階思維的發(fā)展和連續(xù)性新元能力目標的實現(xiàn)，進而促進新元能力背后的必備品格的發(fā)展（變換角度看問題）。換句話說，高層次思維能挑戰(zhàn)學生的解釋、分析和使用信息解決問題的關鍵能力，有助于學生扣好實驗認知的理性思維的扣子，反哺新元添加能力的實驗連續(xù)性。

另外，結構關聯(lián)相關性能力，屬于高階心理活動經(jīng)驗，帶有結構性智慧特征，包括創(chuàng)新、決策和批判等審美意識，是復雜思維集合論的重要組成部分，涉及數(shù)學實驗的審美創(chuàng)造性，這里不予落細研究。習近平總書記2018年在北京大學師生座談會上的講話深刻論述了“培養(yǎng)什么人”的重大問題：“培養(yǎng)社會發(fā)展所需要的人，說具體了，就是培養(yǎng)社會發(fā)展、知識積累、文化傳承、國家存續(xù)、制度運行所要求的人?！边@鮮明地指出了合格人才的政治價值尺度、道德價值力度、社會價值維度和個體價值向度?；谶@樣的認識高度，數(shù)學實驗教學變革的關鍵集中指向兩個方面：一方面是數(shù)學實驗教學的目的不止于基本活動經(jīng)驗的發(fā)展，還在于理性數(shù)學精神的建立;另一方面是數(shù)學實驗教學不止于發(fā)展直覺能力，還在于培養(yǎng)能力背后的數(shù)學品格（數(shù)學實驗情意信念、高層次思維心理的建立以及審美需要和自我實現(xiàn)需要等道德目標），終于通過數(shù)學教學實驗促進人的全面發(fā)展和健康發(fā)展目標的梯度實現(xiàn)。

參考文獻：

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[9]習近平.習近平在北京大學師生座談會上的講話（2018年5月2日）[N].人民日報， 2018-05-03（02）.

責任編輯：丁偉紅

Research on the Reform of Mathematics Experimental Education

Based on the Cultivation of “Key Ability”

SUN Chaoren

（Suzhou Institute of Education Science， Suzhou 215004， China）

Abstract： In the mathematical experiment education research categories， “key ability” includes generalization ability of characteristic separation; relationship qualitative characterization ability， ability to add continuity and associated correlation structure rational quality. Through changing mathematics experiment behavior target， to cultivate students “key ability”， it contributes to the formation of students' all-round development and essential character..

Key words： mathematical experiment; key ability; teaching reform; lesson study

本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度重點課題“初中數(shù)學實驗教學支持系統(tǒng)的構建研究”（B-a/2020/02/42）階段性成果。

收稿日期：2020-03-24

作者簡介：孫朝仁，蘇州市教育科學研究院（江蘇蘇州，215004）科研員。