電磁作動器非線性輸出力建模方法

劉偉　高揚

摘 要：針對具有復雜磁場分布的電磁作動器非線性輸出力建模問題，提出一種實驗測試和回歸分析相結(jié)合的建模方法。通過標定實驗測量磁場工作區(qū)域內(nèi)若干不同空間位置點處的電磁力，基于標定實驗數(shù)據(jù)，采用多項式回歸方法和高斯過程回歸方法建立電磁力模型?；诙囗検交貧w方法建立電磁力的多項式形式的參數(shù)模型，通過最小二乘法計算多項式模型系數(shù)?；诟咚惯^程回歸方法建立電磁力的條件概率模型，分析協(xié)方差函數(shù)的選擇以及超參數(shù)的優(yōu)化確定算法。以空間微重力主動隔振裝置中電磁作動器為例，對比多項式電磁力模型和高斯過程回歸電磁力模型的預測精度和計算效率。多項式電磁力模型的一次預測計算時間小于1 ns，主方向電磁力的預測精度優(yōu)于12.5‰。高斯過程回歸電磁力模型的一次預測計算時間約為24 ms，主方向電磁力的預測精度優(yōu)于8‰。

關鍵詞：電磁作動器;非線性;實驗法建模;多項式回歸;高斯過程回歸

DOI：10.15938/j.emc.2020.09.013

中圖分類號：TM 571

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2020）09-0115-11

Modelling method for nonlinear output force of electromagnetic actuator

LIU Wei1，2， GAO Yang1，2

（1.Technology and Engineering Center for Space Utilization， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100094， China;2.University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China）

Abstract：

A modelling method combining experimental test and regression analysis is proposed for nonlinear output force of electromagnetic actuator with complex magnetic field distribution. The electromagnetic force at several different spatial points in the working area of magnetic field was measured through the calibration experiment. Based on the calibration experimental data， the electromagnetic force model was established by polynomial regression method and Gaussian process regression method. Based on the polynomial regression method， the polynomial parameter model of electromagnetic force was established， and the coefficient of the polynomial model was calculated by the least square method. Based on the Gaussian process regression method， the conditional probability model of electromagnetic force was established， and the selection of covariance function and the optimization algorithm of super parameters were analyzed. Taking an electromagnetic actuator used in an active vibration isolation device for space microgravity as an example， the prediction accuracy and calculation efficiency of the polynomial model of electromagnetic force and the Gaussian process regression model of electromagnetic force were compared. The calculation time of the polynomial model of electromagnetic force in one prediction is less than 1 ns， and the prediction accuracy of electromagnetic force in the main direction is better than 12.5‰. The calculation time of the Gaussian process regression model of electromagnetic force in one prediction is about 24 ms， and the prediction accuracy of electromagnetic force in the main direction is better than 8‰.

Keywords：electromagnetic actuator; nonlinear; experimental modelling; polynomial regression; Gaussian process regression

0 引 言

電磁作動器具有無機械接觸、無摩擦、壽命長、輸出力精度高等優(yōu)點，應用廣泛。電磁作動器的工作原理有2種：1）變化的電流產(chǎn)生可控的電磁場，該電磁場對置于其中的導磁材料（也稱銜鐵）產(chǎn)生作用力;2）永磁鐵或電磁鐵產(chǎn)生穩(wěn)定磁場，通電導線在該磁場中受到洛倫茲力從而產(chǎn)生力的輸出。原理1）的電磁作動器輸出力方向不受電流控制，電磁鐵與導磁材料之間的氣隙間隙一般小于1 mm，其典型應用為主動磁懸浮軸承[1-2]以及永磁作動機構斷路器[3-4]等。原理2）的電磁作動器，也稱為音圈電機（voice coil motor，VCM），其輸出力隨通電導線中電流變化而變化，通電導線在磁場區(qū)域的活動行程可達厘米級，其典型應用為空間微重力隔振平臺[5-6]、高精密主動減振機械[7-8]以及電磁對接分離機構[9-10]等。

建立高精度的電磁作動器輸出力模型，是實現(xiàn)電磁作動器高性能控制的關鍵。然而，在具有一定范圍的磁場工作區(qū)域，由于空間和質(zhì)量等工程約束，同時考慮到漏磁通和氣隙邊緣效應等影響，理論上無法設計出具有恒定磁場強度的線性空間。此外，由于加工工藝水平和機裝精度的制約，實際電磁作動器的結(jié)構尺寸、線圈匝數(shù)及其平行度、永磁體與線圈的裝配關系（氣隙距離、垂直關系）等，必然與理論設計值存在一定的差別，進而加劇了磁場分布非線性的復雜度。目前，電磁作動器輸出力建模方法有機理分析方法建模[11-12]、有限元分析法建模[13-15]以及實驗法建模[16-17]。

機理分析方法建模是根據(jù)過程的內(nèi)部機理和運動規(guī)律，基于公認的定律、原理建立數(shù)學模型的方法。機理建模通常是在假定磁場均勻并忽略漏磁通、邊緣效應等因素的理想條件下進行的。由于加工工藝水平的制約，電磁作動器產(chǎn)品與理論設計值有一定的差別，導致機理建模的模型誤差較大。趙志鋒等[18]基于等效磁路法建立的機理模型，應用MTS809獲取電磁作動器的輸出力數(shù)據(jù)，采用最小二乘法辨識機理模型參數(shù)。該方法依賴于機理模型的準確性，具有一定的局限性。

有限元分析法建模是指利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng)進行模擬，基于單元元素，用有限數(shù)量的未知量去逼近連續(xù)的真實系統(tǒng)。有限元分析法建模較為精確，但是計算量較大，過程復雜，且有限元模型的精度仍需通過實驗加以驗證。寧一高等[19]采用ANSYS軟件建立了電磁作動器的輸出力模型，分析了影響電磁力的參數(shù)，通過對比實驗測試結(jié)果得出電磁力模型的最大誤差達11.6%;其有限元分析法建模的電磁力精度仍需實驗法進行驗證。Rita Mbayed等[20]基于電磁作動器的實驗測試數(shù)據(jù)，建立了混合勵磁同步電機的有限仿真模型，考慮了飽和效應、鐵損耗和高階電磁力諧波;其模型精度優(yōu)于Park模型，但過程復雜、計算繁瑣。

實驗法建模是指根據(jù)輸入、輸出的實測數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理后得到的模型。因此，對于具有復雜磁場分布的電磁作動器，可以采用實驗法建立其輸出力模型，無需考慮內(nèi)部機理過程，建模過程簡單，模型精度取決于輸入、輸出數(shù)據(jù)的測量精度以及對數(shù)據(jù)的數(shù)學處理方法。出于改進數(shù)據(jù)數(shù)學處理方法的目的，李鵬等[21]研發(fā)了一套用于靜態(tài)標定電磁作動器等效磁場強度的自動測試系統(tǒng)，使用MATLAB中的regress函數(shù)對測試數(shù)據(jù)進行不同階次擬合處理，從而建立空間位置、通電線圈電流與等效磁場強度的數(shù)學模型，其對實驗測量數(shù)據(jù)的處理方法類似于統(tǒng)計機器學習中的回歸問題。

回歸問題是指根據(jù)已知實驗數(shù)據(jù)，建立輸入變量（自變量）到輸出變量（因變量）之間的映射函數(shù)模型;并且該模型能夠?qū)θ我饨o定輸入的相應輸出做出一個好的預測。這里的已知實驗數(shù)據(jù)，亦稱訓練數(shù)據(jù)集合，即電磁作動器輸出力實驗法建模中測量得到的輸入、輸出數(shù)據(jù)?；貧w問題的建?？梢圆捎枚囗検交貧w方法[22-24]和高斯過程回歸方法[25-27]。多項式回歸方法可以很好地實現(xiàn)對已知實驗數(shù)據(jù)的擬合，只要數(shù)據(jù)沒有重復測量值（重復測量值是指同一輸入變量下輸出值不同），那么總能找到一個足夠高次的多項式回歸模型完全擬合數(shù)據(jù)，但是由此可能產(chǎn)生“過擬合”現(xiàn)象。過擬合是指選擇的多項式模型階次過高，以至于出現(xiàn)這一模型對已知數(shù)據(jù)匹配得很好，但對未知數(shù)據(jù)預測得很差的現(xiàn)象。為防止過擬合，通常采用正則化與交叉驗證的方法確定多項式模型的階次[28]。高斯過程回歸方法是一種統(tǒng)計機器的學習方法，適用于處理高維數(shù)、小樣本和非線性等復雜回歸問題。高斯過程回歸的前提假設條件是：給定一些輸入變量的值，對應的輸出值服從聯(lián)合正態(tài)分布。基于貝葉斯理論和統(tǒng)計機器學習理論，高斯過程回歸建立了非參數(shù)概率模型，不僅能夠?qū)ξ粗斎脒M行預測輸出，而且對預測精度的估計方差進行定量分析，已廣泛應用于時間序列預測分析、動態(tài)系統(tǒng)模型辨識、控制系統(tǒng)設計以及濾波算法狀態(tài)估計等領域。一種好的輸出力模型建立方法應該同時兼?zhèn)漕A測精度高、計算量小的特點，是值得深入研究的問題。

本文結(jié)合實驗測試和回歸分析，提出了一種通用的電磁作動器輸出力高精度混合建模方法。該建模方法包括2個步驟：1）實驗測試設計。參照文獻[21]中電磁作動器靜態(tài)推力標定測試的設計過程，在磁場的工作區(qū)域內(nèi)，在通電線圈輸入恒定電流下，測量一定數(shù)量的位置點處通電線圈的輸出力;2）回歸方法建模。基于實驗測試得到的部分位置處電磁作動器的輸出力數(shù)據(jù)，分別采用多項式回歸方法和高斯過程回歸方法建立了輸出力的參數(shù)模型和條件概率模型。最后，以空間微重力主動隔振裝置[29-30]中實際使用的電磁作動器為例，建立輸出力模型，測試模型的預測精度，并比較一次預測的計算量和計算時間。實驗測試和回歸分析相結(jié)合的輸出力建模方法精度高，不依賴于機理模型，具有很強的通用性，特別適用于解決具有復雜磁場分布的電磁作動器輸出力建模問題。

1 混合建模方法

1.1 實驗測試設計

針對基于洛倫茲力原理的電磁作動器，介紹實驗法建模的測試原理和測試過程。由安培力公式可知，電磁作動器的輸出力F與磁場強度B、等效線圈長度L和通電線圈中的電流I相關，即

F=L·I×B。（1）

電磁作動器的磁場分布在嚴格意義上都是非線性的，其磁場強度與通電線圈在磁場中的空間位置相關。由于通電線圈中電流產(chǎn)生的磁場強度遠弱于永磁鐵產(chǎn)生的磁場強度，因此可以認為磁場強度與通電線圈中的電流無關。電磁作動器的輸出力測量模型可表示為

Fa=∑3i=1fi（x，y，z）·Ii。（2）

式中：Ii（i=1，2，3）分別為通電線圈的電流在X、Y和Z方向的分量，其中X、Y和Z為定義的電磁作動器本體坐標系的三軸方向;當通電線圈的電流方向沿坐標軸正方向時，Ii>0;反之，Ii<0;（x，y，z）是通電線圈在磁場中的空間位置;fi（x，y，z）本質(zhì)上是在位置點（x，y，z）處的磁場強度與等效線圈長度的乘積，定義該乘積為等效磁場強度。當通電線圈在磁場工作區(qū)域中發(fā)生轉(zhuǎn)動時，通電線圈中的電流可以根據(jù)姿態(tài)轉(zhuǎn)動信息分解到X、Y和Z軸3個方向上，再利用式（2）計算電磁作動器的輸出力。由此可知，通電線圈轉(zhuǎn)動運動的影響已體現(xiàn)在電流的方向變化中，故等效磁場強度fi（x，y，z）的實驗測試無需考慮通電線圈的姿態(tài)變化。

根據(jù)電磁作動器的輸出力測量模型，電磁作動器等效磁場強度的實驗測試過程設計如下：

1）確定實驗測試的測試位置點。在磁場的工作區(qū)域內(nèi)進行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格節(jié)點作為實驗測試的位置點。一種實用的網(wǎng)格劃分方式為在X、Y和Z方向的取值范圍內(nèi)等間距地取若干點。當然，針對不同的電磁作動器和應用任務，網(wǎng)格劃分方式可以靈活選擇，例如當工作區(qū)域中某一或某些局部區(qū)域是重點關注或磁場分布更復雜的部分，該局部區(qū)域的網(wǎng)格相對其它區(qū)域可進行更密集地劃分，增加測試位置點的數(shù)量，提高模型的預測精度。

2）確定通電線圈中的電流大小和方向。根據(jù)式（2）表示的電磁作動器輸出力測試模型，通電線圈的電流方向需要分別在沿X、Y和Z方向下進行實驗測試。通電線圈的電流大小可以按照以下原則進行確定：一是考慮電磁作動器輸入電流限制;二是將電磁作動器可能的工作電流值作為實驗測試中通電線圈的輸入電流值，這樣電磁作動器的實驗測試過程更接近于實際工作狀態(tài)，對測量輸出力的實驗法建模更具信服力;三是考慮實驗測試中力傳感器的測量量程和精度約束。通電線圈的輸出力既不能超出力傳感器的測量量程，又不能接近甚至小于力傳感器的測量噪聲，導致測量不精確。

3）測量電磁作動器的輸出力。在第1）步和第2）步的基礎上，設計實驗測試裝置和選擇力傳感器型號，測量電磁作動器的輸出力。實驗裝置主要包括位移臺和輔助工裝。位移臺用于實現(xiàn)通電線圈平行移動到測試位置點處。輔助工裝用于電磁作動器、位移臺和力傳感器的連接。力傳感器選型的主要依據(jù)是測量精度。根據(jù)電磁作動器輸出力的精度要求確定力傳感器的精度。通常實驗測試中力傳感器的精度高出電磁作動器輸出力精度的2～10倍。此外，力傳感器的測量量程以實驗測試過程讀數(shù)處于滿量程的20%～80%區(qū)間為依據(jù)進行確定。

通過上述實驗測試，獲得不同測試位置點的輸出力數(shù)據(jù)，為回歸方法建立電磁作動器輸出力模型奠定基礎。

1.2 回歸方法建模

本文的回歸問題是基于實驗測試獲得的測試位置點、輸出力數(shù)據(jù)集，建立等效磁場強度與位置之間的函數(shù)關系，從而實現(xiàn)對磁場工作區(qū)域內(nèi)任意位置點處等效磁場強度的高精度預測。由式（2）和實驗測試過程可知，根據(jù)通電線圈中輸入電流的方向?qū)嶒灉y試分成3組，每組均包含3個方向的等效磁場強度，因此共計需要建立9個等效磁場強度模型。這9個等效磁場強度模型均可表示為

B=F/I=f（x，y，z）+υ。（3）

式中：B為等效磁場強度的測量值;F為力傳感器測量的輸出力;I為通電線圈中電流;f（x，y，z）為等效磁場強度的真實值;υ為力傳感器的測量誤差。根據(jù)實驗測試的輸出力和輸入電流數(shù)據(jù)計算得到等效磁場強度的測量值，結(jié)合相應的三維位置信息，作為建立等效磁場強度模型的訓練數(shù)據(jù)集合。

1.2.1 多項式回歸

多項式回歸方法是指采用多項式模型擬合訓練數(shù)據(jù)集合中的等效磁場強度和空間位置變量，以空間位置變量的三元多項式形式表征等效磁場強度，即

B=∑nk=0∑n-kp=0∑n-k-pq=0Ckpqxkypzq+Ο（rn+1）+υ。（4）

式中：Ckpq為多項式模型系數(shù);n為多項式模型階次;Ο（rn+1）為空間位置（x，y，z）的高階項。當n=0時，等效磁場強度B與空間位置無關，對應勻強磁場分布。

多項式回歸方法的關鍵是確定多項式模型的階次以及多項式的系數(shù)。多項式模型的階次越高，對訓練數(shù)據(jù)集合的擬合精度越高，但由于可能發(fā)生的“過擬合”問題將導致其預測精度變差，因此通常首先確定多項式模型的階次。對多項式模型的階次有多種方法可以進行辨識，如根據(jù)Hankel矩陣的秩估計模型的階次、F-Test定階法利用殘差的方差估計模型的階次等。另一種簡單的思路是通過對實驗測試數(shù)據(jù)作圖，粗略地判斷模型的可能階次，選擇幾組模型階次建立多項式回歸模型，最后通過模型預測檢驗確定滿足精度要求的多項式模型。

在確定了多項式模型的階次之后，根據(jù)式（4）優(yōu)化計算多項式的系數(shù)，從而實現(xiàn)對任意位置的等效磁場強度進行計算，再代入式（2）中即可得到電磁作動器的輸出力。本文采用最小二乘法計算多項式模型的系數(shù)。針對N組實驗測試數(shù)據(jù)，將式（4）所示的測量模型改寫成矩陣形式，即

BNN=PNN·Cn+ΟNN（rn+1）+υNN。（5）

式中：PNN=[P1P2…PN]T是N組測試數(shù)據(jù)的位置值，其中Pm=[1xmymzm…xnmxn-1mym…znm]T（m=1，2，…，N）表示第m組測試數(shù)據(jù)的位置值;BNN=[B1B2…BN]T為N組測試數(shù)據(jù)的等效磁場強度;Cn=[C000C100…C00n]T為多項式模型系數(shù)。

忽略n+1次高階項誤差和傳感器測量噪聲，采用最小二乘法可得擬合系數(shù)矩陣為

Cn=（PTNN·PNN）-1·PTNN·BNN。（6）

聯(lián)立式（4）和式（6）可得多項式回歸方法建立的電磁作動器等效磁場強度為

B=PT·（PTNN·PNN）-1·PTNN·BNN。（7）

基于式（7）多項式模型即可計算得到磁場工作區(qū)域內(nèi)任意位置點（x，y，z）處的等效磁場強度B。以加、減、乘、除的總次數(shù)評估計算量。在多項式模型系數(shù)Cn確定后，（PTNN·PNN）-1·PTNN·BNN是定常的C3n+3×1維矩陣。一次預測的計算量Np為1×C3n+3維矩陣PT的計算量及其與C3n+3×1維矩陣（PTNN·PNN）-1·PTNN·BNN相乘的計算量之和，即

Np=nC3n+3-∑n+3i=4C3i+2C3n+3-1。（8）

多項式模型對任一位置處等效磁場強度的計算量Np僅與模型階數(shù)n有關，與實驗測試數(shù)據(jù)量N無關。

1.2.2 高斯過程回歸

高斯過程回歸建模是指對實驗測試的空間位置向量r=[xyz]T（輸入向量）與等效磁場強度B（目標輸出）之間的關系f（r）進行推斷，即在給定輸入向量時確定目標輸出的條件分布。此處f（r）即等效磁場強度測量模型式（3）中的f（x，y，z）。

在電磁作動器輸出力高斯過程回歸建模過程中，假設f（r1）、f（r2）、…、f（rN）服從多元聯(lián)合高斯分布，其性質(zhì)完全由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)確定，即

m（r）=E[f（r）]，

k（r，r′）=E{[f（r）-m（r）][f（r′）-m（r′）]}。（9）

式中r、r′為磁場工作區(qū)域內(nèi)的任意隨機變量。因此，高斯過程可以定義為f（r）～GP[m（r），k（r，r′）]。通常為了符號上的簡潔，會對數(shù)據(jù)進行預處理，即讓其均值函數(shù)為0。

電磁作動器等效磁場強度測量模型如式（3）所示，包含了力傳感器的測量噪聲。力傳感器的測量噪聲可以看成是獨立同分布的高斯噪聲，即υ～N（0，σ2n）。等效磁場強度的先驗分布為

BNN～N（0，K（R，R）+σ2nIN）。（10）

式中：R是實驗測試中N個空間位置矢量構成的3×N維矩陣;IN是N×N維單位矩陣;K（R，R）=（kij）為N×N階對稱正定的協(xié)方差矩陣，矩陣元素kij=k（ri，rj）用來度量ri和rj之間的相關性。

對于磁場工作區(qū)域中任意空間點的位置矢量r=[xyz]T及對應的預測等效磁場強度B，與實驗測試數(shù)據(jù)集的聯(lián)合分布為

BNNB～N0，K（R，R）+σ2nINK（R，r）K（r，R）k（r，r）。（11）

式中：K（R，r）=K（r，R）T為預測點r與實驗測試數(shù)據(jù)集的輸入R之間的N×1階協(xié)方差矩陣;k（r，r）為預測點r自身的協(xié)方差矩陣。

根據(jù)貝葉斯定理，可以計算出預測等效磁場強度B的后驗分布為：

B|R，BNN，r～N（B-，cov（B）），

B-=K（r，R）·[K（R，R）+σ2nIN]-1·BNN，

cov（B）=k（r，r）-K（r，R）·

[K（R，R）+σ2nIN]-1·K（R，r）。（12）

式中：B-是等效磁場強度B的預測均值;cov（B）是等效磁場強度B的預測方差。由此可見，協(xié)方差函數(shù)k（r，r′）是確定高斯過程回歸模型的關鍵。

1）協(xié)方差函數(shù)確定。

在高斯回歸過程建模中，任何半正定矩陣在理論上都可以是協(xié)方差函數(shù)。表1列舉了一些典型的協(xié)方差函數(shù)。其中：d=r-r′和參數(shù)l是過程中的特征長度尺寸;δ是克羅內(nèi)克函數(shù);σ是噪聲波動的標準差。

由于半正定矩陣的和、差、乘積仍為半正定矩陣，因此在建立高斯過程回歸電磁力模型時，可以通過對實驗測試數(shù)據(jù)作圖，分析圖像的分布特性、周期特性、是否帶有噪聲等特點，采用表1中的協(xié)方差函數(shù)或其組合作為協(xié)方差函數(shù)的結(jié)構假設。

2）超參數(shù)確定。

高斯過程回歸建模的關鍵是找到一個協(xié)方差函數(shù)k（r，r′，θ）能最好地擬合數(shù)據(jù)集（R，BNN），其中θ是協(xié)方差函數(shù)的超參數(shù)。根據(jù)概率計算貝葉斯公式可得f（r）的后驗概率為

式中H是對協(xié)方差函數(shù)結(jié)構的假設功能。由式（13）可得基于f（r）的一個邊緣似然為

對協(xié)方差函數(shù)的超參數(shù)θ的優(yōu)化可通過最大化邊緣對數(shù)似然來實現(xiàn)，即

θ=arcmaxlogp（BNN|R，H，θ）。（15）

以平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)為例，超參數(shù)θ={l，σ，σn}。條件概率的對數(shù)似然函數(shù)及其關于超參數(shù)θ的偏導數(shù)為：

采用共軛梯度法、牛頓法等優(yōu)化方法對偏導數(shù)進行最大化以得到超參數(shù)的最優(yōu)解，然后利用式（12）高斯過程回歸模型便可計算磁場工作區(qū)域內(nèi)任意空間點r處的等效磁場強度B的預測值B-和預測方差cov（B）。在統(tǒng)計高斯過程回歸模型的計算量時，[K（R，R）+σ2nIN]-1看成是1個N×N維的常值矩陣?；谑剑?2）計算預測值B-的計算量為

NG=（N+1）（2N-1）。（17）

高斯過程回歸模型對任一位置處等效磁場強度的計算量NG僅與實驗測試數(shù)據(jù)量N有關。

2 測試驗證

中國科學院空間應用工程與技術中心研制的空間微重力主動隔振裝置（microgravity active vibration isolation system， MAIS），如圖1所示，于2017年4月20日搭載中國第一艘貨運飛船TZ-1進行了在軌實驗，采用磁懸浮控制技術，隔離從航天器傳來的各種振動，為科學實驗載荷提供高微重力環(huán)境。MAIS主體由浮子和定子兩部分組成。浮子是科學實驗載荷的支承平臺，為其提供高微重力環(huán)境。定子固聯(lián)在航天器上，通過臍帶線為浮子和載荷提供通訊和電接口。

MAIS是利用非接觸式電磁激勵器、高精度加速度計和位移傳感器進行隔振控制的定子和浮子結(jié)構平臺。通過加速度計感知實驗載荷所受的振動加速度，通過位移傳感器來感知實驗載荷與隔振平臺相對位置的變化。加速度和位移信息送到系統(tǒng)控制器，采取閉環(huán)控制策略計算需要施加給電磁作動器的電流，產(chǎn)生與擾動大小相等、方向相反的作用力來抵消擾動對載荷的干擾，同時保持浮子不與定子碰撞，起到振動隔離的目的。MAIS執(zhí)行機構由8組單軸電磁作動器構成，為主動隔振控制系統(tǒng)輸出空間六自由度控制所需的力和力矩作用。電磁作動器[31]由永磁鐵、通電線圈和磁軛組成，如圖2所示。永磁鐵固聯(lián)安裝在浮子支撐板的同一平面上，通電線圈固聯(lián)安裝在定子底板的同一高度上。永磁鐵為釹鐵硼磁鐵N50M，截面為15 mm邊長的正方形，厚度為20 mm。通電線圈厚度為6 mm，線轂邊寬1 mm。磁軛材料為DT4純鐵，截面積為145 mm2，磁軛上部下端與永磁體上端的距離為42 mm。2塊永磁鐵端面距離為28 mm。電磁作動器坐標系，簡稱系，定義如下：坐標原點O為永磁鐵N、S極端面中心連線段的中點;X軸為永磁鐵N、S極端面中心連線且由N極指向S極;Z軸指向電流正方向;Y軸垂直于X軸和Z軸，構成右手坐標系;電流自a端進入若干圈后從b端流出;永磁鐵N、S極如圖2所示。

為實現(xiàn)MAIS執(zhí)行機構的高精度輸出控制作用，需要建立電磁作動器的高精度輸出力模型。由于MAIS浮子相對定子的行程設計范圍為±10 mm，故通電線圈相對永磁鐵間隙大于20 mm（實際為24 mm），磁場分布的非線性無法忽略。因此，采用實驗法建立MAIS電磁作動器輸出力模型，并對本文所提出的回歸方法進行測試驗證。

電磁作動器輸出力靜態(tài)標定測試系統(tǒng)，包括硬件和測試軟件。測試系統(tǒng)硬件設備主要包括含力傳感器（精度2 mN）、力值顯示控制儀、三軸位移臺、電機驅(qū)動器模塊及數(shù)據(jù)接收分發(fā)模塊。測試系統(tǒng)軟件采用LabVIEW編程技術，具有電機驅(qū)動、力值采集和數(shù)據(jù)處理等功能。在電磁作動器等效磁場強度建模的過程中，通電線圈電流分別沿X、Y、Z三軸方向進行3組測試。3組測試過程和數(shù)據(jù)處理方法完全一致，因此下文僅以通電線圈電流沿Z方向為例展開詳細說明。

2.1 標定測試實驗

電磁作動器的實驗測試設計如下：電磁作動器線圈輸入1 A恒定電流，且線圈平行于永磁鐵N、S極端面。在電磁作動器坐標系±9 mm的立體三維工作空間內(nèi)，以1.8 mm為步長進行等間距網(wǎng)格劃分，共計113=1331個測試位置點。在每個測試位置點，用高精度力傳感器（精度2 mN）測量永磁鐵受到的X、Y和Z方向的作用力，如圖3所示。

2.2 實驗數(shù)據(jù)處理

1）作圖分析。

根據(jù)實驗測試數(shù)據(jù)和式（3）計算得到不同空間位置點處的等效磁場強度。通過作圖獲得等效磁場強度在工作空間的分布情況，如圖4～圖6所示。

圖4～圖6中，（a）圖表示Z=0時，等效磁場強度在XY平面的分布情況，用單位電流輸出力大小表征;（b）圖表示X=0時，等效磁場強度在YZ平面的分布情況;（c）圖表示Y=0時，等效磁場強度在XZ平面的分布情況;（d）圖表示等效磁場強度在三維空間中的分布情況。

分析圖4～圖6可知，Y方向為該電磁作動器的輸出力主方向，滿足安培力左手定則。Z方向（電流方向）輸出力小于主方向輸出力的10%。X方向（磁鐵N極指向S極方向）輸出力沿空間位置Z方向變化很小;在空間位置X、Y方向的中心區(qū)域較小，邊緣位置達到甚至超過主方向輸出力的50%。從整體的分布情況看，等效磁場強度與空間位置的關系呈現(xiàn)線性或二次曲線的分布特點。因此，采用多項式回歸方法建模時多項式模型階數(shù)可取n=2～4;采用高斯過程回歸方法建模時協(xié)方差函數(shù)可選擇平方指數(shù)協(xié)方差形式。

為了檢驗并比較多項式模型和高斯過程回歸模型的精度水平，當不進行額外的位置點測試時，需要從目前的實驗測試數(shù)據(jù)中選擇部分數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)集合，其余數(shù)據(jù)作為建立模型所依據(jù)的訓練數(shù)據(jù)集合。本文測試數(shù)據(jù)集合選擇空間位置坐標X、Y、Z為±1.8 mm、±5.4 mm和±7.2 mm的任意組合構成的數(shù)據(jù)點集合，該集合共計216個數(shù)據(jù)點;實驗測試的其余數(shù)據(jù)點的集合作為訓練數(shù)據(jù)集合，共計1 115個數(shù)據(jù)點。

2）建模和評價。

基于上述訓練數(shù)據(jù)集合，采用多項式回歸方法建立電磁作動器等效磁場強度的多項式參數(shù)模型;采用高斯過程回歸方法建立電磁作動器等效磁場強度的條件概率模型。其中，二階多項式模型和高斯過程回歸模型的相關參數(shù)如表2、表3所示。

基于多項式回歸方法建立的多項式參數(shù)模型和高斯過程回歸方法建立的條件概率模型，對測試數(shù)據(jù)集合進行預測。比較模型預測結(jié)果與實驗測量結(jié)果，二者之差稱之為預測誤差，如圖7～圖9所示。

評價模型的優(yōu)劣主要體現(xiàn)在預測精度和計算效率2個方面，如表4～表6所示。預測誤差反應了模型的預測精度。預測誤差的主要特征包括均值、均方差和最大值。計算量是衡量模型的計算效率的一個方面。當然，計算方法，如并行計算，可以大大提高計算效率。此外，當代計算機硬件水平的發(fā)展，計算效率也有了很大提高。采用ThinkPad X250筆記本電腦和MATLAB R2015b軟件，計算不同模型一次預測的計算時間。

分析上述結(jié)果可知：

1）電磁作動器輸出力主方向（Y方向）的等效磁場強度在-2.2 ～ -1.2 N/A，多項式模型和高斯過程回歸模型的預測誤差均小于0.024 N/A，故最大相對誤差小于2%。驗證了多項式回歸方法和高斯過程回歸方法建立MAIS電磁作動器輸出力模型的有效性。

2）二階、三階和四階多項式模型相比較，多項式模型的階數(shù)越高，模型預測誤差的均值、均方差和最大值都越小，但是一次預測的計算量越大，計算時間越長。

3）多項式模型與高斯過程回歸模型相比較，基于本次實驗測試數(shù)據(jù)量和多項式模型階數(shù)，高斯過程回歸模型的模型預測誤差的均方差、最大值都更小，但計算量和計算時間更大。

3 結(jié) 論

針對復雜磁場分布的電磁作動器輸出力建模問題，基于實驗測試數(shù)據(jù)，采用多項式回歸方法建立了多項式形式的參數(shù)模型;采用高斯過程回歸方法建立了條件概率模型。多項式模型的階數(shù)越高，對實驗數(shù)據(jù)集的擬合精度越高，但由于可能發(fā)生的“過擬合”問題將導致其預測精度變差。多項式模型的一次預測的計算量僅與模型階數(shù)有關，模型階數(shù)越高計算量越大。高斯過程回歸模型是基于多元高斯聯(lián)合分布假設條件下采用貝葉斯方法建立的條件概率模型，其核心問題是協(xié)方差函數(shù)的確定和超參數(shù)的優(yōu)化。高斯過程回歸模型的一次預測的計算量僅與實驗測試數(shù)據(jù)量有關，實驗測試數(shù)據(jù)量越大計算量越大，同時預測精度越高。

在MAIS的電磁作動器的輸出力建模過程中，多項式回歸方法和高斯過程回歸方法都得到了有效驗證。多項式模型隨著模型階數(shù)的增大（從二階到四階），輸出力主方向的預測誤差的均方差從87 mN/A降低到3.3 mN/A，預測誤差的最大值從20 mN/A降低到15 mN/A，一次預測的計算量從25次增大到140次，計算時間都在1 ns以內(nèi)。在該算例中，高斯過程回歸模型對電磁作動器輸出力主方向的預測誤差的均方差為1.9 mN/A、最大值為9.6 mN/A，一次預測的計算量達到約250萬次，計算時間約為24 ms。與四階多項式模型相比，高斯過程回歸模型的預測精度提高了約1倍，但一次預測的計算量增加了約1萬倍。在實際工程應用中，應當綜合權衡計算效率和模型預測精度需求。通過調(diào)節(jié)多項式模型的階數(shù)以及用于建立高斯過程回歸模型的訓練數(shù)據(jù)集合的數(shù)據(jù)量，平衡計算量和預測精度;并通過研究并行算法來縮短計算時間，提高計算效率，最終確定在允許的計算時間約束下具有最高預測精度的電磁作動器輸出力模型，本文的研究可為未來電磁作動器高精度輸出力建模提供有價值的參考。

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（編輯：邱赫男）

收稿日期： 2018-11-22

基金項目：“空間科學（二期）”先導專項“空間科學預先研究項目”（XDA15015200）;載人航天領域預先研究項目概念創(chuàng)新類項目（0103）

作者簡介：劉 偉（1988—），男，博士研究生，研究方向為航天器動力學與控制、主動隔振控制技術、無拖曳控制技術;

高 揚（1974—），男，博士，教授，博士生導師，研究方向為空間飛行軌道優(yōu)化與任務設計、航天器精密軌道確定與自主導航技術。

通信作者：劉 偉