思維留痕，于過程中看學生的“數學思考”水平
——談小學數學過程視角測評題的實踐意義與命制形式

浙江嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓中心 費嶺峰

一、從結果看思維的局限——由一道測試題說起

如下圖，這是一道人教版數學四年級上冊配套的期末測試卷中的填空題?？疾榈氖菍W生對本冊教材第六單元“除數是兩位數的除法”中“商不變規(guī)律”的理解與掌握狀況。我們知道，填空題一般是從“結果”來評判學生對知識的掌握狀況，評改時較為容易，卻較難了解學生在解答問題時的思維過程與認知差異。

檢測后，一位教師針對本題學生的答題情況做了統(tǒng)計：共68人參與本次檢測，其中正確人數為31人，正確率45.6%。這看似一道簡單的習題，居然有37人做錯，表明超過半數的學生對于這一知識內容的理解還存在問題。當時，筆者對此結果也表示疑惑，于是請這位教師了解了一下其他班的情況，正確率居然更低。這樣的結果還是頗出乎意料的。筆者后又與出題教師進行了交流，他也有同樣的感覺，比預想的正確率低了不少。

我們先來看概念內涵，“商不變規(guī)律”的核心是“被除數和除數同時乘（或除以）一個相同的數，商不變”。當學生學習了“商不變規(guī)律”之后再解決以上習題，其能力水平應該能達到“從左邊除法算式中的被除數300、除數11到右邊除法算式中的被除數600、除數22，正好都是乘以2得到”的水平，即符合“商不變規(guī)律”中的“被除數和除數同時乘一個相同的數”的前提，所以結論應該是“相等”。

但從測評結果來看，錯誤率相當高，又因為本題為填空題，也就是我們以往說的客觀題，學生在答題時也只給出了一個或“＞”、或“＜”、或“＝”的結果，缺少在解答此題時思維的表現過程。這無疑給教師了解學生對“商不變規(guī)律”的理解水平帶來了困難。

另外，對于填了“＝”的學生的思維狀況，我們也是缺乏了解的。通過訪談，我們了解到，在解答正確的學生中，同樣有兩種不同的思考過程：一種是不計算，直接以“商不變規(guī)律”對結果做出判定，這當然是在準確理解“商不變規(guī)律”基礎上的技能運用，在思維層面上達到了“能夠抓住本質，準確運用規(guī)律”的水平。還有一種是算出左右兩邊除法的商，因為都等于“27”，不考慮余數，判定結果相等。這種思考方式，與上一種相比，至少在對“商不變規(guī)律”的理解上還是存在著差異的，幾乎是回到了“商不變規(guī)律”知識學習前的水平，而且這樣的判別缺乏嚴謹性，理由是不充分的（當然對于四年級學生要理解到余數也是影響到算式是否相等的因素，還是有難度的），屬于典型的“知識的應用”能力不夠高的。事實上，教師因為對于學生的思維過程缺少了解，后續(xù)在“商不變規(guī)律”的補救教學上仍然缺少針對性。這也就是我們經常碰到的僅僅通過結果看思維的局限，也是客觀題測評的局限。

二、過程視角測評題在考查學生“數學思考”水平中的優(yōu)勢

所謂過程視角，是與結果視角相對而言的，即從過程角度來看學生解決問題的表現狀況，可以較全面、準確地反映對象的情況。學生在解題時的過程視角一般包含兩個層面：一是顯性層面的解答過程；二是隱性層面的思考過程。兩者有時是一致的，有時不完全一致。小學數學監(jiān)測中設計過程視角的測評題，意在從過程角度全面、準確地檢測小學生通過數學學習后的知識技能、基本活動經驗或數學思想方法的習得與形成水平，考查學生在數學思考、問題解決以及情感態(tài)度等方面的達成情況，是一種突出過程、側重于能力水平和素養(yǎng)水平的測評習題或任務，在實踐中體現出兩個方面的意義。

（一）過程視角測評題，使測評既知結果，又了解過程

這也是過程視角測評題的基本特點。因此，在設計時，需要對學生提出展示思維過程的要求，同時也需要留給學生展示思維過程的空間。

比如在學生學習了小數的乘除運算之后，請學生計算4.8×3.1與42÷2.8這樣的習題。作為了解學生基本算法是否掌握的考查，只要讓學生自主計算即可。但如果我們將監(jiān)測目標定位在“了解學生是否具有根據數據特點，靈活選擇合理算法的能力”時，則需要提出類似于“不列豎式，你會怎樣計算出它們的結果呢？請將你的思考過程寫在下面”的答題要求。兩個要求：一個指向于數據特征分析基礎上靈活運算的能力測評；另一個需要展示過程，有利于了解學生對知識的理解與掌握狀況，以及思考過程與思維水平，即我們會了解到“學生到底是怎樣想的” 這一過程。

（二）過程視角測評題，使評價既能關注思維狀況，又能關注能力差異

這也是過程視角測評題相對于結果視角測評題的優(yōu)勢。我們知道，結果視角測評題更多以唯一結果來判定學習者的學習水平，不能了解到被測者間的個性差異，這對于分析被測者的思維狀態(tài)不利。而過程視角測評題，因為有被測者的解答過程，便能從顯性層面的過程表現去分析他們的隱性思維、能力水平，發(fā)現不同對象的思維習慣，甚至于高階思維水平，還能有利于把握被測者在知識理解與掌握中的缺陷，為后續(xù)學習的改進提供支持。

如本文開頭提到的習題，若設計成“結果+說理”式的過程測評題，便能從說理中發(fā)展學生不同的思考過程，從而了解學生對“商不變性質”從“理解”到“應用”間的水平差距。

三、考查學生“數學思考”水平的過程視角測評題的形式

學生的“數學思考”水平更多的是反映在習題解答或問題解決的過程方法中，表現為思路是否清晰、方法是否合理巧妙以及結論是否正確。過程視角測評題正是突出過程的考查，從而了解學生的“數學思考”及素養(yǎng)水平。實踐中一般有以下幾種形式。

（一）解答式

解答式測評題是比較常用的過程視角測評題，一般在考查學生解題技能時采用。比如針對“兩位數乘兩位數” “除數是兩位數的除法”等運算技能掌握情況考查時，便可以直接采用計算題，由學生直接計算完成，然后根據學生的計算過程，看學生相關運算方法的掌握水平。當然，有時可以改變要求，調整測評目標。

比如前文談到的請學生計算4.8×3.1與42÷2.8時，提出了“不列豎式你會如何算？”這樣的解答要求，便是指向于對學生“根據數據特點，靈活選擇恰當算法”的能力水平的考查，并通過學生解答的過程看其水平差異。

從測評結果可以發(fā)現，有些學生在有了“不允許列豎式”的要求后，便不知道該如何計算此類習題了，還有些學生則直接寫上得數，當然也會有學生應用“乘法分配律”或“商的變化規(guī)律”等知識進行計算。如以下的解答：

4.8×3.1=4.8×（3+0.1）=4.8×3+4.8×0.1=14.4+0.48=14.88和4.8×3.1=（5-0.2）×3.1=5×3.1-0.2×3.1=15.5-0.62=14.88

42÷2.8=420÷28=420÷7÷4=60÷4=15

以上解答過程，較之前面“不知道該怎樣算”與“直接寫出得數”的學生來說，已經表現出了高一層次的數學思考水平了。而且有了解答過程的呈現，學生的思維差異也真切地展示了出來，有利于教師準確把握學情，反思運算律教學的效果，改進此類內容的教學過程。

（二）說理式

說理式測評題是過程視角測評題命制中的典型題型，一般表現為請被測者針對某個問題或知識點采用“畫圖”或“寫文字”的方式來闡述自己的想法、理由。其最大的特點是追“究”深“探”，即在考查學生對基礎知識的掌握狀況的同時，采用追問或直接設問的方式，考查學生對知識“所以然”的理解水平或學習方法的遷移水平。

比如，以往考查學生對“分數意義”的理解，一般以“表示把單位‘1’平均分成（ ）份，表示這樣的（ ）”，或者設計成“把一根2米長的繩子平均剪成5段，每段是這根繩子的（ ），3段是這根繩子的（ ）。”或者再問“每段長（ ）米。”這樣的形式。我們說，此類習題因為只有結果，而無法看出學生的認知差異。以下我們是從過程視角設計的考查學生“分數意義”理解水平的測評題：

此題考查的是學生對分數、假分數意義的理解水平，教師可以根據學生的答題情況，全面了解學生對分數概念的理解水平，同時發(fā)現學生的認識差異，為后續(xù)進行針對性指導做準備。

關于學生學習方法遷移水平的考查，則如我們在四年級下冊“運算定律”單元學習之后的測評卷中設計的測評題：

a-（b-c）和a-b+c相等嗎？請用學過的方法加以說明。

本題的測評意圖就是通過觀察學生在解釋規(guī)律成立的過程中，看學生在學習了一個單元的“規(guī)律認識與探索”之后，對數學規(guī)律探索方法的遷移與應用水平。顯然，這樣的測評題既著眼于過程，又著眼于能力。

（三）追問式

追問式測評，顧名思義是在學生回答出結果后，加以追問以了解學生得出某個結論的想法，以便做出精準分析。追問式過程視角測評題一般在采用客觀題測評后，追加一個（或一組）問題或要求。比如，在學生學習了公頃與平方千米的知識之后，請學生完成下面習題：

下面哪個場所的面積大約是1公頃？（ ）

A.學校籃球場 B.我們班教室

C.學校運動場 D.某地區(qū)的面積

我是這樣想的： ________________________________________________________ 。

這原本是一道典型的客觀題，學生只要選出某個答案即可，但因為跟進了一個要求“我是這樣想的”，其實就是想讓學生表達自己的想法。實際測試后，答案選擇正確的學生在表述想法時，有的是從“1公頃”的描述性定義出發(fā)去分析以上四個場所的；有的則是根據自己積累的“1公頃量感的經驗”采用排除法做出判斷的；還有的說不清楚或無法表達。于是，我們通過學生的想法，就能更準確地了解學生在“1公頃”面積建構時的不同思考水平。

如同這樣的測評題設計，在日常的檢測中還會以“為什么？”“你是怎樣想的？”“請說明理由。”等方式呈現，這些要求都屬于追問式的測評。

（四）究思式

新課程背景下，學生學業(yè)評價內容變得更為開放，測評目標也變得更為多元，于是打破傳統(tǒng)測評題的命制思路，創(chuàng)新過程視角測評題命制形式，是一種必然要求。究思式測評題便是一種有新意的測評題設計嘗試。所謂究思式測評題，即考查目標直接指向于數學思考的測評題設計。比如以下兩道考查學生問題解決能力的習題：

（1）一般住宅樓層高2.8米。為了保證住戶有充足的陽光，要求樓與樓之間的距離是整幢樓高的1.2倍?，F有兩幢6層高的樓，請根據以上信息，畫一幅示意圖，并標上相應的數據。

（2）右圖是一個不規(guī)則圖形。要知道這個圖形的面積，一般分幾步？請寫出你的思考過程。（不必計算）

以上兩題，均在考查學生問題解決的能力，但與以往的問題解答不同的是，這兩題并沒有要求學生通過解答求得結果，而是重在關注學生“問題解決”中對信息的解讀與問題解決計劃能力的考查，在測評視角上有一定的創(chuàng)新性。

在實際的檢測中，學生的解答過程也能清晰地反映出不同的思維水平。如第（1）問中，以下三位學生的圖示體現了三個層次的信息解讀水平。

答案一：

答案二：

答案三：

這三位學生的答案，顯然第一位的分析能力最強，第二位次之，第三位最弱。第一位學生在描述信息間的關系時，無論是數據與圖示中的物體間的距離，都是相對比較準確的；第二位數據信息的理解是準確的，但圖示比例不當；第三位則有的信息的解讀是錯誤的。

總之，過程視角的測評題是基于新課程理念下的教育質量綜合評價探索的產物，是著眼于學生學習素養(yǎng)的，以“思維留痕”的方式便于對學生的數學思考水平做出準確判斷的重要手段。實踐中除了上文談到了四種形式之外，肯定還有許多的方式有待一線教師做進一步探索。