基于混合Bang-bang控制的直接力姿態(tài)控制方法研究

金一歡，劉 露，彭一洋，程 笠，鄭子元

(上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引 言

在戰(zhàn)斗機性能不斷升級的背景下[1]，未來空戰(zhàn)對空空導(dǎo)彈機動能力、響應(yīng)速度、全方位攻擊能力以及全空域攻擊能力的要求越來越高。具有全方位攻擊能力的空空導(dǎo)彈對擦肩目標(biāo)或載機后半球目標(biāo)都能發(fā)起攻擊，從而最大程度提高了戰(zhàn)斗機的戰(zhàn)斗能力與生存概率[2]。要實現(xiàn)導(dǎo)彈的敏捷轉(zhuǎn)彎，導(dǎo)彈必將經(jīng)歷大攻角飛行狀態(tài)。大攻角飛行過程中，氣動力具有強不確定性，氣動舵效甚至?xí)l(fā)生反效的情況。故本文在大攻角轉(zhuǎn)彎過程中只使用側(cè)向直接力裝置完成空空導(dǎo)彈姿態(tài)控制。側(cè)向直接力裝置不同于氣動舵，具有離散特性，需進一步研究其在彈體姿態(tài)控制上的應(yīng)用。

導(dǎo)彈在快速轉(zhuǎn)彎過程中，氣動力和力矩非線性特性十分明顯。針對轉(zhuǎn)彎過程中強氣動干擾，需要開展具有強魯棒性的側(cè)向直接力姿態(tài)控制方法研究。側(cè)向直接力輸出具有開關(guān)特性，該控制問題屬于常數(shù)控制問題(stabilization by constant controls problem，SCCP)。對于側(cè)向直接力控制，目前一般是兩種思路：其一是先設(shè)計連續(xù)的控制律再通過脈沖寬度調(diào)制(pulse width modulation, PWM)等調(diào)制技術(shù)獲得離散的控制量[3-5]；其二是利用具有離散特性的控制律如滑模變結(jié)構(gòu)控制直接設(shè)計開關(guān)量[6-7]。第一種設(shè)計方案可以利用成熟的連續(xù)控制技術(shù)解決離散控制量的問題，但是連續(xù)控制量離散化過程中控制性能會出現(xiàn)損失。第二種設(shè)計方案充分利用了滑模變結(jié)構(gòu)控制的離散特性，但是會出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，不能滿足直接力裝置的工程應(yīng)用。為了削弱抖振的影響，文獻[8-9]在滑模面附近引入遲滯帶，但是遲滯帶的大小直接影響了平衡點收斂誤差。文獻[10]中Edoardo在時間最優(yōu)Bang-bang切換線的基礎(chǔ)上引入控制量反饋，提出了混合Bang-bang控制器，避免抖振現(xiàn)象。但是文獻[10]中只涉及經(jīng)典雙積分系統(tǒng)，未考慮系統(tǒng)存在大擾動情況；同時其設(shè)計的控制量較理想，實際情況中執(zhí)行機構(gòu)存在時延，當(dāng)時延導(dǎo)致的極限環(huán)包含平衡點遲滯區(qū)域時，控制誤差受時延影響。針對空空彈道越肩轉(zhuǎn)彎姿控的問題，需對文獻[10]中混合Bang-bang控制器進一步設(shè)計。

本文以使用側(cè)向直接力裝置的空空導(dǎo)彈為研究對象，對敏捷轉(zhuǎn)彎空空導(dǎo)彈俯仰平面內(nèi)姿態(tài)控制方法進行了研究。在混合Bang-bang控制律的基礎(chǔ)上，引入擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer，ESO)修正切換線以適應(yīng)大攻角飛行過程中大擾動的情況。利用Runge-Kutta法預(yù)測未來狀態(tài)量，削弱執(zhí)行機構(gòu)大時延帶來的控制問題。針對大攻角的飛行條件，對引入ESO的混合Bang-bang控制器進行了全局漸進穩(wěn)定證明，分析了穩(wěn)定條件。最后通過數(shù)字仿真驗證了所設(shè)計控制器的有效性。

1 混合Bang-bang控制律原理

(1)

經(jīng)典雙積分系統(tǒng)如式(1)所示，其控制量具有開關(guān)特性，可采用Bang-bang控制。根據(jù)最優(yōu)控制原理，取性能指標(biāo)函數(shù)J=tf，設(shè)計時間最優(yōu)開關(guān)曲線。根據(jù)龐特里亞金極小值原理[11]可得時間最優(yōu)控制量切換線如圖1所示。

圖1 時間最優(yōu)控制量切換線Fig.1 Switching condition of time optimal control

(2)

該控制律可以使得位于相平面上的任何一點在最短時間內(nèi)收斂至原點。實際過程中，擾動會使得狀態(tài)量在滑模面附近出現(xiàn)抖振，引起執(zhí)行機構(gòu)高頻切換。為解決以上問題，引入控制量反饋，設(shè)計切換線遲滯空間?？刂屏壳袚Q線如圖2所示[10]。

圖2 混合Bang-bang控制切換線Fig.2 Switching condition of hybrid Bang-bang control

圖2中，γ1,γ2區(qū)域表述如下：

(3)

(4)

式中：ε1>0、ε2>0為橢圓集參數(shù)。

混合Bang-bang控制律設(shè)計見圖3。

圖3 混合Bang-bang控制律原理圖Fig.3 Rules of hybrid Bang-bang control

圖3中：u(q1)=-1;u(q2)=1;u(q3)=0；x0為狀態(tài)初始值。Bδ1與Bδ2定義如下:

(5)

式中：δ1、δ2、δ3、δ4∈R且滿足δ3>δ1>0,δ4>δ2>0。

2 導(dǎo)彈動力學(xué)模型的建立

本文將側(cè)向直接力裝置作為執(zhí)行機構(gòu)。裝備直接力裝置的導(dǎo)彈模型示意圖見圖4。圖4中：l為側(cè)向直接力作用力臂，直接力裝置閥門可開關(guān)控制；俯仰方向設(shè)置兩個大推力引流噴管3和6，控制彈體俯仰；4個小推力噴管(1、2、4、5)穩(wěn)定彈體的偏航和滾轉(zhuǎn)通道。由于俯仰通道為轉(zhuǎn)彎控制通道，所受干擾最大，其他通道控制律設(shè)計一致，本文僅研究俯仰通道的控制技術(shù)。

圖4 導(dǎo)彈模型Fig.4 Pattern of missile

側(cè)向直接力裝置的響應(yīng)特性可用圖5(a)描述，在t=0時刻給出噴管的開關(guān)指令，經(jīng)過時長為τ的延遲后推力F開始輸出，經(jīng)過過渡時間ts達到穩(wěn)定值。本文將響應(yīng)過程簡化為一個純時延響應(yīng)過程，如圖5(b)所示。

圖5 直接力響應(yīng)圖Fig.5 Response of the direct force

為了簡化模型提出如下假設(shè)：

1) 側(cè)向直接力裝置產(chǎn)生的力矩為常值；

2) 不考慮反作用噴氣的噴流干擾效應(yīng)。

基于上述假設(shè)，根據(jù)導(dǎo)彈動力學(xué)公式[12]，可獲得導(dǎo)彈俯仰通道動力學(xué)模型，如式(6)所示。

(6)

式中：?,ωz為俯仰角以及俯仰角速度；Mz a,Mz t分別為氣動力矩和直接力控制力矩在彈體系z1軸方向分量；Ty為3、6噴管產(chǎn)生的直接力推力；l為直接力作用力臂；Jx,Jy,Jz分別為彈體繞x1,y1,z1軸的轉(zhuǎn)動慣量；uy∈{-1,0,1}為俯仰通道開關(guān)輸入。

敏捷轉(zhuǎn)彎過程中，轉(zhuǎn)彎指令以俯仰角指令形式[13]給出，控制系統(tǒng)設(shè)計的目的為控制彈體姿態(tài)跟蹤程序指令。根據(jù)式(6)可得

(7)

式中：Δ為干擾誤差，如通道間耦合、彈體參數(shù)誤差等。

(8)

(9)

式中：uy∈{-1,1,0}。

2 控制律設(shè)計

2.1 大擾動下混合Bang-bang控制律設(shè)計

越肩轉(zhuǎn)彎過程中，為縮短轉(zhuǎn)彎時間，導(dǎo)彈需保持大攻角飛行狀態(tài)。此時式(9)所示系統(tǒng)中的氣動力矩項a較大，且近似以常值形式存在。根據(jù)這一特性，實時觀測氣動力矩項a，在混合Bang-bang控制律的基礎(chǔ)上，修正切換線提高控制器性能，修正為式(10)所示系統(tǒng)。式(10)中，計算切換線時考慮了大攻角產(chǎn)生的力矩項，能夠更加準(zhǔn)確地反映越肩轉(zhuǎn)彎的氣動特性。

(10)

實際系統(tǒng)中氣動力矩項a未知，本文設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器實時獲取的氣動力矩產(chǎn)生角加速度項a。同時，與式(1)所示理論模型系統(tǒng)中的理想控制量不同，實際系統(tǒng)中的執(zhí)行機構(gòu)存在響應(yīng)時延，會導(dǎo)致切換滯后，增大控制誤差。針對該問題，本文基于預(yù)測控制的思想對狀態(tài)進行時延補償，減小控制誤差。設(shè)計內(nèi)容如下文所示。

2.2 擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計

(11)

(12)

式中：α,δ為fal函數(shù)參數(shù)，α可取0.5，δ可取0.001。

2.3 時延補償

由圖5可見側(cè)向直接力裝置存在響應(yīng)時延，當(dāng)時延存在時，控制量切換出現(xiàn)滯后，最后狀態(tài)會收斂至極限環(huán)，導(dǎo)致較大的控制誤差，如圖6所示。

圖6 極限環(huán)Fig.6 Limit cycle

(13)

圖7 控制流程圖Fig.7 Flowchart of control

2.4 漸進穩(wěn)定性證明

混合Bang-bang控制律中引入擴張狀態(tài)觀測器修改了切換線，可能喪失文獻[10]中Bang-bang控制律的收斂特性。擴張狀態(tài)觀測器觀測a項時，會存在觀測誤差；同時實際系統(tǒng)運動過程中建模不確定性會帶來擾動。為了保證導(dǎo)彈在越肩飛行過程中可控，需要分析上文所設(shè)計控制律的漸進穩(wěn)定性條件。實際狀態(tài)下，式(9)所示系統(tǒng)等價為式(14)。

(14)

引理2：當(dāng)控制量滿足引理1要求時，對于任意點p1∈L1(p2∈L2,‖p1‖=‖p2‖)存在正不變集P，當(dāng)狀態(tài)初值x0=p1時，x(t)∈P(?t>0)。

圖8 不變集PFig.8 Invariance set P

3 仿真驗證

為了驗證以上控制律設(shè)計的有效性，對空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎過程進行數(shù)字仿真。三通道仿真的主要參數(shù)見表1。側(cè)向直接力裝置開啟上升沿限速1/6 ms，下降沿限速-1/6 ms。

表1 三通道仿真初值Tab.1 Initial conditions of three-channel simulation

實際過程中發(fā)動機推力、質(zhì)心位置以及彈體轉(zhuǎn)動慣量都存在上下偏差，數(shù)字仿真需對其進行拉偏實驗。根據(jù)式(7)中直接力力矩計算式可見，以上三者的拉偏等價于直接力推力Ty的拉偏，故仿真僅考慮推力拉偏。數(shù)字仿真時對推力進行上下拉偏30%。仿真結(jié)果如圖9～12所示。

圖9 推力拉偏仿真結(jié)果Fig.9 Result of simulation under thrust disturbance

圖10 控制量輸出Fig.10 Output of control command

圖11 氣動力矩拉偏仿真結(jié)果Fig.11 Result of simulation under aerodynamics disturbance

圖12 時延拉偏仿真結(jié)果Fig.12 Result of simulation under delay disturbance

由圖9可見，俯仰角指令跟蹤效果較好，能夠通過推力拉偏實驗。圖10為標(biāo)稱狀態(tài)下實際控制量輸出，可見控制量未出現(xiàn)高頻切換現(xiàn)象，降低了控制律對執(zhí)行機構(gòu)的要求。大攻角飛行過程中氣動參數(shù)具有強非線性，圖11給出了對氣動力矩Mz a上下拉偏50%的數(shù)字仿真結(jié)果，由俯仰角跟蹤結(jié)果可見，加入了ESO的混合Bang-bang控制器能夠補償氣動非線性帶來的影響，具有較好的控制效果。圖12給出了時延拉偏仿真結(jié)果，通過曲線可見當(dāng)時延下拉偏50%時，控制律依舊收斂，能夠保證較好的效能。

4 結(jié)束語

為解決空空導(dǎo)彈大攻角飛行狀態(tài)下姿態(tài)控制問題，針對側(cè)向直接力裝置開關(guān)特性設(shè)計了大擾動下混合Bang-bang控制律。使用擴張狀態(tài)觀測器補償大攻角帶來的氣動不確定性，用于修正經(jīng)典時間最優(yōu)切換線，提高控制律魯棒性，同時利用Runge-Kutta法解決側(cè)向直接力帶來的時延問題。仿真結(jié)果表明，在不同拉偏工況條件下，本文設(shè)計的控制律具有較好的控制效果。