基于遞推最小二乘法的變體飛行器模型參數(shù)在線辨識

劉昊東，張慶振，郭云鶴，茅佳雯

(1. 北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100083； 2. 上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

高馬赫數(shù)飛行器是指飛行速度超過5Ma的有翼或無翼飛行器，如各類導(dǎo)彈、飛機、炮彈等[1]，具有巨大的軍事價值和經(jīng)濟價值，是21世紀航空航天領(lǐng)域的一個重要研究方向[2-3]。相比于傳統(tǒng)的飛行器，高馬赫數(shù)飛行器具有以下4個明顯的優(yōu)勢：飛行速度快；突防成功率高，攔截困難；射程遠，殺傷力大；稍縱即逝，探測難度大[4-5]。基于以上優(yōu)勢，各國都相繼對高馬赫數(shù)飛行器展開了深入的研究，并且取得了一定的研究成果[6]。變體飛行器是指一類能夠依據(jù)具體的飛行環(huán)境和任務(wù)要求實時調(diào)整外形結(jié)構(gòu)的飛行器[7]。變體飛行器將外形參數(shù)作為可控變量，利用外形參數(shù)對氣動特性的影響來改變飛行器的性能，使其能夠適應(yīng)更寬的飛行空域和速域，從而能夠適應(yīng)更復(fù)雜的飛行任務(wù)和環(huán)境；同時，它在飛行過程中能夠根據(jù)飛行環(huán)境及任務(wù)實時調(diào)整外形，以獲得最優(yōu)的氣動和操縱性能，從而達到減小能耗的目的。高馬赫數(shù)變體飛行器則是指具有變形能力的高馬赫數(shù)飛行器，憑借高馬赫數(shù)以及變形帶來的雙重優(yōu)點，大大提升了其適用范圍，在未來軍事或商業(yè)航天中將具有巨大的應(yīng)用潛力[8-9]。

目前高馬赫數(shù)變體飛行器大多采用機體/發(fā)動機一體化設(shè)計技術(shù)，這種設(shè)計會導(dǎo)致高馬赫數(shù)變體飛行器的各個狀態(tài)量之間存在非線性、強耦合等特點。并且，相比于傳統(tǒng)飛行器，高馬赫數(shù)變體飛行器自身的氣動特性更為復(fù)雜，這些因素就導(dǎo)致高馬赫數(shù)變體飛行器在制導(dǎo)、控制等方面存在著巨大的困難。同時，高馬赫數(shù)變體飛行器相比于傳統(tǒng)飛行器在飛行過程中馬赫數(shù)和飛行高度的變化范圍更大，環(huán)境因素變化情況更為復(fù)雜，這就會導(dǎo)致高馬赫數(shù)變體飛行器中某些模型參數(shù)發(fā)生較大變化[10-11]。因此，有必要采用在線辨識的方法，實時地獲取高馬赫數(shù)變體飛行器模型的各個參數(shù)，為飛行控制系統(tǒng)的在線更新、飛行能力的在線評估以及飛行器故障檢測等提供更加準確的模型[12]。

系統(tǒng)辨識是利用系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)獲取系統(tǒng)模型的技術(shù)，主要包括試驗設(shè)計、模型辨識、參數(shù)估計和系統(tǒng)驗證4部分。目前系統(tǒng)辨識中常用的辨識算法有遞推最小二乘法(recursive least squares，RLS)[13]、遞推極大似然法[14]和卡爾曼濾波方法[15]等。

高馬赫數(shù)變體飛行器模型的非線性較強、耦合性較高且導(dǎo)致模型階次較高且未知參數(shù)較多，因此高馬赫數(shù)變體飛行器模型參數(shù)辨識比傳統(tǒng)飛行器模型參數(shù)辨識更加復(fù)雜。對于非線性模型的辨識問題，可以通過辨識非線性模型里的線性子系統(tǒng)來得到整個非線性模型的辨識結(jié)果。本文選擇對高馬赫數(shù)變體飛行器的動力學(xué)模型進行簡化，忽略耦合因素，選取縱向小擾動線性化模型，分析設(shè)計辨識激勵信號，采用經(jīng)典的遞推最小二乘法對多輸入多輸出的線性運動模型進行辨識，通過仿真驗證了遞推最小二乘算法的有效性。

1 高馬赫數(shù)變體飛行器辨識模型

辨識模型的建立是系統(tǒng)辨識的一個重要環(huán)節(jié)，本章建立了高馬赫數(shù)變體飛行器的縱向小擾動線性運動模型，并以此模型為辨識模型，對其進行了分解。

1.1 縱向小擾動線性運動模型

在對高馬赫數(shù)變體飛行器模型進行參數(shù)辨識之前首先需要建立辨識模型?？紤]到高馬赫數(shù)變體飛行器的六自由度運動方程過于復(fù)雜，多個參數(shù)之間存在耦合，辨識難度較大，本文對高馬赫數(shù)變體飛行器的運動方程進行簡化，將飛行器的運動分解為縱向運動和橫側(cè)向運動，忽略耦合項?？紤]到飛行器的縱向運動模型中包含升力系數(shù)、阻力系數(shù)、俯仰力矩系數(shù)等表征飛行能力的主要參數(shù)，本文采用下反角可以變化的高馬赫數(shù)變體飛行器縱向運動模型為基礎(chǔ)建立辨識模型。

通過對高馬赫數(shù)變體飛行器縱向受力進行分析，可得到式(1)所示微分方程組。

(1)

式中：m為飛行器質(zhì)量；g為重力加速度；v為速度；X為阻力；Y為升力；α為攻角；?為俯仰角；θ為航跡角；Jz為繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量；ωz為俯仰角速度；Mz為俯仰力矩；x,y為沿x軸和y軸的位移。

基于建立縱向運動方程的假設(shè)，忽略二階及三階小量，同時采用以下基本假設(shè)，將縱向擾動運動方程組線性化：

1) 忽略橫側(cè)向參數(shù)的基準值及縱向角速度。即假定在未擾動運動中，側(cè)向運動參數(shù)β、γ、γc、ψ、ψc、ωx、ωy、z，舵偏角δx、δy，縱向運動參數(shù)中的ωz、α都是小量，可以在方程中忽略其乘積以及這些參數(shù)與其他微量的乘積。此外還假定側(cè)向氣動力及其力矩對縱向參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在基準狀態(tài)下均為零。

2) 干擾只改變縱向運動參數(shù)，不改變側(cè)向參數(shù)，即側(cè)向運動參數(shù)的偏量為零。

利用偏導(dǎo)數(shù)的簡略表示法，可得航向靜不穩(wěn)定飛行器縱向小擾動線性化模型為

(2)

1.2 辨識模型的分析

式(2)為一個MIMO系統(tǒng)，由4個多輸入單輸出(multiple input single output，MISO)子系統(tǒng)組成。由于這4個MISO子系統(tǒng)的輸出都毫無關(guān)聯(lián)，并且每個子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相同，通過分析研究其中一個MISO子系統(tǒng)的辨識問題就可以得到整個MIMO系統(tǒng)的辨識結(jié)果。一個MISO系統(tǒng)可以分解為兩個單輸入單輸出(single input single output，SISO)系統(tǒng)，并且這兩個SISO子系統(tǒng)滿足疊加原理，通過分別研究每一個SISO子系統(tǒng)，最終可以得到整個MIMO系統(tǒng)的辨識結(jié)果。

2 參數(shù)辨識方法

目前，最小二乘法在參數(shù)辨識領(lǐng)域中是應(yīng)用最為廣泛的方法之一。最小二乘法的改進算法——遞推最小二乘法，相比于傳統(tǒng)的最小二乘法，由于狀態(tài)方程非線性較強，可以得到更加精確的辨識結(jié)果，有效地解決線性系統(tǒng)的模型參數(shù)辨識問題。對于非線性系統(tǒng)，可以通過辨識非線性系統(tǒng)中的線性子系統(tǒng)來獲得整個非線性系統(tǒng)的辨識結(jié)果。本文采用時域遞推最小二乘法對高馬赫數(shù)變體飛行器的縱向小擾動線性模型進行參數(shù)辨識。

2.1 最小二乘法

(3)

基于殘差建立最小二乘指標函數(shù)

(4)

(5)

取殘差展開式的一階項得

(6)

聯(lián)立式(4)和式(6)得

(7)

(8)

聯(lián)立式(7)和式(8)得

(9)

將式(9)簡記為

A(χ-χ0)+B=0

(10)

式中，

(11)

(12)

2.2 遞推最小二乘法

由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程之間的非線性較強，對式(12)進行一次求解難以得到參數(shù)的精確值。因此，利用迭代最小二乘方法進行參數(shù)辨識，迭代格式為

(13)

式中，

(14)

3 辨識激勵信號設(shè)計

在對高馬赫數(shù)變體飛行器進行系統(tǒng)辨識之前，需要設(shè)計適合該系統(tǒng)的辨識激勵信號，合適的激勵信號可以有效地激發(fā)系統(tǒng)的各種運動模態(tài)，從而獲得足夠多的信息，來滿足系統(tǒng)辨識的需要。不同的輸入激勵形式會激發(fā)高馬赫數(shù)變體飛行器不同的運動模態(tài)。工程上最常見的激勵信號為方波信號，包括3-2-1-1方波、偶極方波、2-1-1方波以及階躍信號等。在相同的基頻條件下，相比于正弦信號，方波激勵信號的邊緣可以產(chǎn)生更寬的信號頻譜，是較為理想的系統(tǒng)辨識激勵輸入，因此本文采用3-2-1-1方波作為激勵信號。

3-2-1-1方波信號的特點是幅值呈正負交替出現(xiàn)，寬度比為3∶2∶1∶1，其激勵形式及功率譜分布如圖1所示。

圖1 3-2-1-1方波輸入激勵信號及其頻譜圖Fig.1 3-2-1-1 square wave input excitation signal and its spectrum diagram

由圖1可以看出，3-2-1-1方波信號的頻帶較寬，并且在一定的頻帶范圍內(nèi)具有較高的能量；3-2-1-1方波信號正負交替的特點使飛行器不會過于偏離原有航跡，并且可以有效地激發(fā)飛行器的各種運動模態(tài)，是飛行器系統(tǒng)辨識較為理想的輸入信號。

4 仿真驗證

本章在已建立的高馬赫數(shù)變體飛行器辨識模型的基礎(chǔ)上把狀態(tài)空間轉(zhuǎn)化成傳遞函數(shù)，將得到的傳遞函數(shù)離散化，最后轉(zhuǎn)化為差分方程，對高馬赫數(shù)變體飛行器進行參數(shù)辨識。

4.1 由狀態(tài)空間模型構(gòu)建辨識差分方程

根據(jù)式(2)所示的已建立的飛行器縱向小擾動線性運動模型，定義

(15)

(16)

則式(2)可以表示為

(17)

式(17)描述的是多輸入多輸出系統(tǒng)的模型，本文將其分解為8個單輸入單輸出的子系統(tǒng)，對8個子系統(tǒng)分別進行最小二乘遞推辨識，這種思路便于理解和算法實現(xiàn)。

將式(17)所示的縱向小擾動線性狀態(tài)模型離散化，可以得到其脈沖傳遞函數(shù)為

(18)

傳遞函數(shù)G(z)可由輸出量與輸入量之比表示，即

(19)

式中：Y(z)為輸出量；U(z)為輸入量。

可得系統(tǒng)的差分方程為

b13δe(k-3)+b14δe(k-4)+c11δr(k-1)+c12δr(k-2)+c13δr(k-3)+c14δr(k-4)

(20)

α(k)=-a1α(k-1)-a2α(k-2)-a3α(k-3)-a4α(k-4)+b21δe(k-1)+b22δe(k-2)+

b23δe(k-3)+b24δe(k-4)+c21δr(k-1)+c22δr(k-2)+c23δr(k-3)+c24δr(k-4)

(21)

?(k)=-a1?(k-1)-a2?(k-2)-a3?(k-3)-a4?(k-4)+b31δe(k-1)+b32δe(k-2)+

b33δe(k-3)+b34δe(k-4)+c31δr(k-1)+c32δr(k-2)+c33δr(k-3)+c34δr(k-4)

(22)

ωz(k)=-a1ωz(k-1)-a2ωz(k-2)-a3ωz(k-3)-a4ωz(k-4)+b41δe(k-1)+b42δe(k-2)+

b43δe(k-3)+b44δe(k-4)+c41δr(k-1)+c42δr(k-2)+c43δr(k-3)+c44δr(k-4)

(23)

選取式(20)～式(23)為參數(shù)辨識模型，采用遞推最小二乘法對其差分方程中的未知參數(shù)進行辨識。

4.2 仿真實例

本文以采樣頻率為100 Hz、飛行高度為25 000 m、飛行速度為2 200 m/s的某變下反角飛行器(下反角可以變化的飛行器，下反角為翼梢小翼與機翼基準面的夾角)為例對其縱向小擾動線性運動模型進行了遞推最小二乘參數(shù)辨識。本文仿真實驗中數(shù)據(jù)來源為文獻[9]。

各參數(shù)取值為A11=-0.064 1，A12=0.004 3，A13=-0.004 4，A21=-0.040 4，A22=-0.015 9，A41=1.039 2×10-14，A42=8.806 6×10-16，A44=8.103 1×10-21，B21=0.000 437，B22=0.000 063，B41=0.000 809，B42=0.000 422。

升降舵和下反角輸入激勵信號均選取3-2-1-1方波信號，如圖2所示。

圖2 輸入激勵信號Fig.2 Input excitation signal

高馬赫數(shù)變體飛行器飛行過程中的噪聲干擾大部分來自觀測噪聲，過程噪聲的影響相對較小，因此本文在仿真過程中只考慮輸出的觀測噪聲的影響?；谶f推最小二乘辨識算法，對式(20)所示的縱向模型子系統(tǒng)進行參數(shù)辨識。

在辨識過程中在輸出觀測量上加入期望為0、方差為10×10-7數(shù)量級的白噪聲。

圖3 攻角系統(tǒng)辨識過程Fig.3 Attack angle system identification process

在加入噪聲后，由圖3可以看出，在約4 s內(nèi)，攻角系統(tǒng)參數(shù)辨識結(jié)果收斂，仿真結(jié)果表明遞推最小二乘算法計算效率較高、收斂速度較快，能夠滿足在線辨識算法的時間要求。同時，由表1可知，辨識結(jié)果與參數(shù)真值之間誤差小于6%，辨識結(jié)果達到10×10-7數(shù)量級，辨識精度較高，基本滿足工程要求。

5 結(jié)束語

本文研究了基于遞推最小二乘法的高馬赫數(shù)變體飛行器動力學(xué)模型中一些未知參數(shù)的在線識別和計算方法。首先，根據(jù)高馬赫數(shù)變體飛行器的六自由度運動模型，建立了適用于飛行品質(zhì)評估、控制律設(shè)計的高馬赫數(shù)變體飛行器縱向小擾動線性運動模型。將多輸入多輸出系統(tǒng)分解為多個單輸入單輸出子系統(tǒng)，并以此作為飛行器在線辨識的基礎(chǔ)模型。之后，對高馬赫數(shù)變體飛行器參數(shù)辨識所需要的輸入激勵信號進行了分析與設(shè)計，選取了可以有效激發(fā)飛行器各種運動模態(tài)并且能有效避免飛行器過于偏離原有飛行航跡的3-2-1-1方波信號。最后，以某高馬赫數(shù)變體飛行器為例，采用遞推最小二乘算法，對飛行器縱向小擾動線性運動模型里的單輸入單輸出線性子系統(tǒng)的在線辨識進行了仿真驗證。仿真的過程和結(jié)果表明，本文基于遞推最小二乘法對飛行器模型參數(shù)進行在線辨識的方法收斂速度快、計算效率高，辨識的平均誤差小于6%，辨識精度較高，整體辨識精度滿足工程要求。