基于能量法的軸橫向荷載作用下單樁受力變形分析

張 玲，陳金海，歐 強(qiáng)

(湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

在橋梁、海洋等樁基的施工與服役過(guò)程中，樁基除承受豎向荷載外，往往還可能同時(shí)受到風(fēng)荷載、汽車制動(dòng)力、波浪沖刷、地震作用等水平荷載的作用。因此軸向、橫向荷載作用下單樁的受力變形分析非常重要。目前高層建筑、橋梁及海洋工程的樁基設(shè)計(jì)中，常規(guī)的做法是將軸向荷載與橫向荷載分開考慮，分別計(jì)算軸向與橫向荷載作用下樁身的內(nèi)力與位移，而后基于小變形假定進(jìn)行疊加，該種疊加的方法雖計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但未考慮軸向荷載與橫向荷載作用引起的耦合效應(yīng)，不能充分反映軸橫向荷載作用下單樁的受力變形實(shí)際。

已有的室內(nèi)試驗(yàn)及數(shù)值分析結(jié)果均表明[1-5]：軸向荷載對(duì)水平受荷樁的承載性狀有較大影響，如“P-△效應(yīng)”等，且軸橫向荷載存在較為復(fù)雜的相互作用。日本學(xué)者橫山幸滿曾指出[6]：應(yīng)力疊加的原理并不適用樁體同時(shí)承受軸向與橫向荷載的情況。

為此，軸橫向荷載共同作用下單樁的受力變形應(yīng)考慮軸橫向應(yīng)力的耦合作用，目前相關(guān)的理論研究成果主要有：趙明華等[7-8]基于“m法”，求得了考慮軸橫向荷載共同作用下的柔性樁解析解，并對(duì)基樁的特性進(jìn)行了深入的研究。李微哲等[9]通過(guò)假定地基系數(shù)滿足(mz+C)的線性增長(zhǎng)，探討分析了軸橫向荷載偏心情況下的單樁內(nèi)力與位移；梁發(fā)云等[10]基于小變形假定對(duì)軸橫向荷載共同作用下的單樁進(jìn)行了研究，并針對(duì)其主要影響因素進(jìn)行了分析。張磊等[11-12]利用地基反力法求得了軸橫向受荷樁的半解析解，研究了自由段樁長(zhǎng)及地基反力系數(shù)的分布情況等因素對(duì)單樁內(nèi)力與變形的影響；Liang等[13]基于Mindlin方程提出了軸橫向受荷樁的有限元解。張玲等[14]基于Winkler彈性地基梁理論，利用相鄰單元的連續(xù)條件與矩陣傳遞法研究了地基成層性對(duì)軸橫向受荷樁的影響。周立朵等[15]基于p-y曲線法研究了軸橫向荷載作用下的單樁樁土相互作用，得到了荷載-位移曲線、彎矩分布等規(guī)律。Zhu等[16]通過(guò)矩陣傳遞法研究了軸向力及其沿樁身的分布對(duì)水平受荷響應(yīng)的影響。

但上述理論分析方法中，m值的選取與p-y曲線形式的確定不能直接從土工試驗(yàn)中獲得，而能量法的優(yōu)點(diǎn)在于所需的土體參數(shù)較易獲得，且可在一定程度上考慮樁土復(fù)雜的相互作用。因此有學(xué)者嘗試采用能量法研究荷載作用下單樁的受力變形[17-18]。而對(duì)于水平荷載作用下的單樁，Sun等[19]建立了土體在柱坐標(biāo)下的位移方程，并采用能量法去考慮水平受荷樁的受力與變形，Zhang等[20]、徐洞斌等[21]分別通過(guò)能量原理建立了水平荷載作用下樁土體的能量方程，并通過(guò)有限差分求得了單樁在水平荷載作用下的受力響應(yīng)。但上述研究?jī)H針對(duì)水平受荷樁而言，未考慮軸向荷載的影響。為此，本文擬在前人的基礎(chǔ)上，基于最小勢(shì)能原理，并結(jié)合冪級(jí)數(shù)法得到軸橫向荷載作用下單樁樁身水平位移及內(nèi)力的解答，以期為工程實(shí)際中軸橫向荷載下樁基的計(jì)算分析提供參考。

1 軸橫向荷載作用下單樁的受力變形分析

1.1 計(jì)算模型的建立

單樁在軸橫向荷載作用時(shí)，其樁身因水平荷載產(chǎn)生了較大的水平位移與彎矩，而軸向力作用使得樁身會(huì)產(chǎn)生附加彎矩，出現(xiàn)一定的壓曲，這個(gè)附加彎矩的存在又會(huì)使得樁身的水平位移增大，而軸向力引起的樁身水平位移是非線性的，故建立如圖1所示模型。

圖1 單樁受力計(jì)算模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the calculation model for pile

如圖1所示的樁-土體系中：樁長(zhǎng)為L(zhǎng)(m)；樁身半徑為R(m)；樁身抗彎剛度為EPIP；樁頂作用水平力H0，軸向荷載P0，彎矩M0。樁周土體彈性模量為Es，泊松比為νs；考慮樁周土體模量沿深度的變化，其變化形式參考文獻(xiàn)[20]，樁周土體在地面處的彈性模量為Es1，在樁底處彈性模量為Es2，樁身范圍內(nèi)距樁頂z深度處土體的彈性模量為：

Es=Es2[αs+(1-αs)z/L]

(1)

式中：αs——樁周土彈性模量沿深度的變化系數(shù)，αs=Es1/Es2。

1.2 樁土體系能量方程的建立

本文采用Sun等[19]提出的土體在柱坐標(biāo)下的位移模式：

(2)

式中：u，w，v——沿徑向、軸向、轉(zhuǎn)角方向的位移，如圖2所示；

r，θ，z——柱坐標(biāo)徑向、軸向與轉(zhuǎn)角方向；

u(z)——樁身隨深度z變化的位移函數(shù)；

φ(r)——r方向土體的無(wú)量綱位移函數(shù)。

圖2 坐標(biāo)系與位移分量圖Fig.2 The coordinate system and displacement components

根據(jù)彈性力學(xué)幾何關(guān)系與本構(gòu)關(guān)系可得：

(3)

(4)

式中：εrr，εθθ，εzz——r，θ，z方向的正應(yīng)變分量；

γrθ，γθz，γzr——rθ，θz，zr方向的剪應(yīng)變分量；

σrr，σθθ，σzz——r，θ，z方向的正應(yīng)力分量；

τrθ，τθz，τzr——rθ，θz，zr方向的剪應(yīng)力分量。

則樁土體系中各部分能量分別可表示為[22]：

(5)

(6)

(7)

(8)

ΠH=-H0·u|z=0

(9)

(10)

式中：c——樁截面周長(zhǎng)；

τ——樁側(cè)摩阻力，根據(jù)文獻(xiàn)[23]可采用靜載試驗(yàn)獲得或根據(jù)地區(qū)經(jīng)驗(yàn)值取得；

Πpile，Πsoil，Πf，Πp，ΠH，ΠM——樁身應(yīng)變能、土體應(yīng)變能、樁側(cè)土體摩阻力勢(shì)能、樁頂豎向荷載勢(shì)能、樁頂水平荷載勢(shì)能及樁頂彎矩勢(shì)能。

樁土體系總能量方程為：

Π=Πpile+Πsoil+Πf+ΠP+ΠH+ΠM=

(11)

將式(3)、式(4)代入式(11)，可得樁土體系總能量方程為：

(12)

1.3 樁、土位移控制方程

由最小勢(shì)能原理可知，δП=0，由式(12)求變分可得式(13)：

(13)

故由式(13)可推得樁身位移控制方程(14)及沿樁身任意深度處彎矩M及剪力H的表達(dá)式(17)：

(0≤z≤L)

(14)

其中令：

(15)

即樁身位移控制方程可化為：

(0≤z≤L)

(16)

樁身任意深度處彎矩M及剪力H為：

(17)

同理，式(12)對(duì)φ取變分可得土體位移控制方程：

(18)

式中：ψ——無(wú)量綱系數(shù)，決定了水平位移隨徑向r方向減小的速度。

ψ可以表示為：

(19)

其中Χ1，Χ2，Χ3，Χ4分別為：

式(18)滿足邊界條件：當(dāng)r=R時(shí)，φ(r)=1，當(dāng)r→∞時(shí)，φ(r→∞)=0，則有：

(20)

(γ2+1)[K1(γ)]2}

(21)

式中：K0(·)，K1(·)——修正后的第二類貝塞爾函數(shù)。

1.4 樁身位移控制方程的解

式(14)可采用冪級(jí)數(shù)法求解，具體求解過(guò)程參考文獻(xiàn)[7]，故可得其解為：

(22)

式中：a0，a1，a2，a3——待定系數(shù)。

(23)

由式(22)可知樁身位移方程的冪級(jí)數(shù)函數(shù)均可由系數(shù)a0，a1，a2，a3表示，而a0，a1，a2，a3可通過(guò)聯(lián)立樁頂與樁底的邊界條件進(jìn)行求解。

其中邊界條件可由式(13)推得，表達(dá)式為：

(24)

(25)

假定樁頂位移u0、轉(zhuǎn)角φ0、彎矩M0以及剪力H0已知，結(jié)合式(22)、(24)、(25)可得：

(26)

由上述邊界條件可求得a0，a1，a2，a3的值。再選定合適的項(xiàng)數(shù)，即可求得水平位移的函數(shù)表達(dá)式，其具體流程如圖3所示。當(dāng)樁底嵌入巖層或者樁底土層較堅(jiān)硬的時(shí)候，認(rèn)為樁端為固定邊界。為方便求解，下文將采用樁頂自由、樁底固定的邊界條件進(jìn)行求解驗(yàn)證。

圖3 樁身水平位移求解程序圖Fig.3 Program diagram for solving horizontal displacement of pile

2 算例分析

2.1 算例1

Kerisel等[24]對(duì)水平受荷單樁進(jìn)行了室內(nèi)模型試驗(yàn)。模型樁樁長(zhǎng)L=4.65 m，樁徑D=0.36 m，樁頂自由，樁底嵌固。受到的水平荷載H0=60 kN，彎矩M0=69 kN·m，樁身的彈性模量Ep=20 GPa，土體的彈性模量Es=9.233 MPa。土體的泊松比νs=0.3，樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1。Filho等[25]通過(guò)有限元與邊界元軟件驗(yàn)證了其試驗(yàn)結(jié)果，圖4給出了本文方法計(jì)算結(jié)果與Kerisel等模型試驗(yàn)結(jié)果、Filho等有限元結(jié)果、《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》(以下簡(jiǎn)稱規(guī)范法)推薦的簡(jiǎn)化方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析。

圖4 水平荷載作用下的樁身水平位移Fig.4 Lateral displacement of pile due to the horizontal load

由圖4可知，本文方法計(jì)算所得樁身水平位移結(jié)果與上述幾種方法所得結(jié)果都比較接近，而且相比較于Filho等有限元方法，本文計(jì)算方法所得的樁身水位位移更接近于Kerisel模型試驗(yàn)結(jié)果。就樁頂(z=0 m)水平位移而言，Kerisel模型試驗(yàn)結(jié)果為9.7 mm；Filho等有限元方法結(jié)果為10.1 mm，相對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果誤差為4.12%；本文方法計(jì)算所得樁頂位移為10.08 mm，相對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果誤差為3.9%。由此可見(jiàn)本文方法可用于分析水平受荷樁的受力變形分析。

2.2 算例2

肖世偉等[26]利用有限元方法對(duì)馬橋河橋鉆孔樁基足尺試驗(yàn)所得結(jié)果進(jìn)行了模擬分析，并將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行反算，給出了地基系數(shù)m=1.398×104kN/m4與樁身彈性模量Eh=3.188×107kN/m2，試驗(yàn)的樁體參數(shù)分別為：樁長(zhǎng)L=17.0 m，樁徑D=0.85 m，土層泊松比νs=0.3，樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1，則公式(1)即簡(jiǎn)化為Es=Es2，土體彈性模量Es2=6 MPa，本文方法計(jì)算所得樁頂位移與文獻(xiàn)[26]結(jié)果如表1所示。此外，為比較本文計(jì)算樁身位移沿樁身的分布情況，以文中參數(shù)建立彈性有限元模型，取樁頂軸向荷載為313.60 kN的情況，本文方法計(jì)算的樁身位移與有限元模擬的樁身位移對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

表1 本文方法與文獻(xiàn)[26]結(jié)果對(duì)比

圖5 樁身水平位移圖Fig.5 Lateral displacement of pile

由表1可知，本文方法計(jì)算所得結(jié)果與文獻(xiàn)[26]所得結(jié)果基本吻合，且隨著軸向荷載的增大，對(duì)樁頂水平位移的影響也隨之增大，且由圖5可知，本文方法計(jì)算所得的樁身位移與彈性有限元分析所得結(jié)果擬合較好，可應(yīng)用于工程實(shí)際。

2.3 算例3

Cho等[27]對(duì)水平受荷的嵌巖樁基進(jìn)行了多組現(xiàn)場(chǎng)橫向荷載試驗(yàn)，該工程位于美國(guó)北卡羅來(lái)納州的一個(gè)橋梁替換項(xiàng)目，其中一組其樁側(cè)有2層地基土，第一層為深度L0=1 m的砂土層，第二層為深度L1=3.3 m的泥板巖；樁長(zhǎng)為L(zhǎng)=4.3 m，樁體半徑R=0.38 m，樁體彈性模量Ep=24.8 GPa。

Yang等[28]采用地基反力法與變分原理對(duì)該工程進(jìn)行了驗(yàn)證分析，并根據(jù)Cho等試驗(yàn)所得結(jié)果的p-y曲線進(jìn)行反算，假設(shè)樁側(cè)路基反力模量Kh0在地面處為0，沿深度線性增加，求得首層土其增加系數(shù)為nhs，0=19.5 MN/m3。泥板巖內(nèi)的路基反力模量Kh1=180.6 MPa，nhs，1=393.3 MN/m3，路基反力模量的經(jīng)驗(yàn)公式如式(27)所示，其計(jì)算模型如圖6所示。

(27)

Dr=0.305 m，Dref=1.0 m

式中：K——路基反力模量；

EM——巖體模量。

圖6 Yang等計(jì)算模型圖Fig.6 Schematic diagram of the Yang calculation model

利用本文能量法對(duì)該算例進(jìn)行驗(yàn)證分析，樁體與土體參數(shù)如上所述，本文所用的土體彈性模量與路基反力模量的換算公式為[29]：

(28)

式中：Kh——路基反力模量。

樁體在泥板巖內(nèi)基本不發(fā)生水平位移，因此為簡(jiǎn)便計(jì)算，本文利用砂土層的參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，由式(28)可得砂土層底土體彈性模量Es2=17.73 MPa，取樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=0.1，土體泊松比取為νs=0.3，計(jì)算結(jié)果如圖7所示，其中Yang所用p-y曲線法為利用Cho試驗(yàn)結(jié)果反算求得。

圖7 水平荷載作用下的樁身水平位移Fig.7 Lateral displacement of pile due to the horizontal load

由圖7可知，本文方法所得的樁頂位移較文獻(xiàn)[28]更接近實(shí)測(cè)值。

3 參數(shù)分析

3.1 樁土彈性模量比的影響分析

取樁頂自由，樁底嵌固，樁的長(zhǎng)徑比為L(zhǎng)/D=15，取樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1，土的泊松比取為νs=0.3，樁土的彈性模量比值Ep/Es2分別為100，500，1 000，2 000與5 000。樁頂水平荷載與軸向荷載分為取為H0=120 kN，P0=60 kN。其計(jì)算結(jié)果如圖8所示。

圖8 樁土彈性模量比變化下的樁身水平位移和樁身彎矩Fig.8 Horizontal displacement and bending moment of pile under the variation of elastic modulus ratio of pile to soil

由圖8可知，樁身水平位移隨著樁土模量比的增大而逐漸增大，樁頂處水平位移在樁土模量比Ep/Es2=5 000處急劇增大，在軸向壓力的作用下，樁身最大彎矩點(diǎn)不斷向下移動(dòng)。而當(dāng)軸向荷載由0變?yōu)?0 kN時(shí)，其樁頂水平位移減小，樁身最大彎矩點(diǎn)下移，軸向荷載的存在使得樁身出現(xiàn)一定的壓曲現(xiàn)象，樁身的水平位移與彎矩均出現(xiàn)了增大的情況。

3.2 樁體長(zhǎng)徑比的影響分析

取樁頂自由，樁底嵌固，樁土彈性模量比Ep/Es2=1 000，取樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1，土體的泊松比為νs=0.3，樁體長(zhǎng)徑比L/D分別為5，10，15，20，25。樁頂水平荷載與軸向荷載分為取為H0=120 kN，P0=60 kN。為比較方便，將樁長(zhǎng)進(jìn)行歸一化可得圖9。

圖9 長(zhǎng)徑比變化下的樁身水平位移和樁身彎矩Fig.9 Horizontal displacement and bending moment of pile under the variation of length-diameter ratio

由圖9可見(jiàn)，當(dāng)樁頂軸向荷載為60 kN時(shí)，樁的工作性狀會(huì)隨樁長(zhǎng)徑比的變化而發(fā)生改變。當(dāng)樁的長(zhǎng)徑比L/D大于10時(shí)，樁身出現(xiàn)反彎。其原因是隨樁的長(zhǎng)徑比增大，樁體表現(xiàn)出柔性樁性質(zhì)，近地面處的土體發(fā)生屈服，導(dǎo)致樁頂水平位移增大；而當(dāng)長(zhǎng)徑比L/D小于10時(shí)，樁體受力近似于剛性樁，樁身位移曲線近似為直線，且樁身不出現(xiàn)反彎點(diǎn)。此外，樁的長(zhǎng)徑比對(duì)樁身彎矩也有較大影響。隨著樁的長(zhǎng)徑比L/D的增大，樁身中上部的彎矩變化明顯，樁身最大彎矩減小，且最大彎矩點(diǎn)逐漸上移。當(dāng)長(zhǎng)徑比變化時(shí)，軸向荷載對(duì)樁身位移與彎矩的影響與樁土模量比變化時(shí)的影響類似。

3.3 軸向荷載的影響分析

取樁頂自由，樁底嵌固，樁的長(zhǎng)徑比L/D=15，取樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1，土的泊松比取為νs=0.3，樁土彈性模量比值Ep/Es2=1 000。樁頂水平荷載取H0=120 kN，軸向荷載P0分別為0，600，1 200，2 400，4 800 kN。計(jì)算結(jié)果如圖10所示。

圖10 軸向荷載變化下的樁身水平位移和樁身彎矩Fig.10 Horizontal displacement and bending moment of pile under the variation of axial load

由圖10可知，軸向荷載對(duì)樁身水平位移的影響主要位于樁身上部2 m，約為10倍樁徑范圍內(nèi)。隨著軸向荷載的增加，樁身最大彎矩點(diǎn)不斷下移，其影響范圍約位于地面以下4 m，約為20倍樁徑范圍內(nèi)。與文獻(xiàn)[10]所得結(jié)論基本一致。而且，隨著P0/H0比值的增大，軸向荷載對(duì)樁身水平位移及彎矩的影響明顯增大，其主要原因在于由軸向荷載引起的樁身?yè)锨冃问欠蔷€性的。

3.4 αs的影響分析

樁周土體的彈性模量對(duì)樁身內(nèi)力及變形有較大影響，由式(1)可知，系數(shù)αs決定了樁周土體彈性模量沿深度的變化趨勢(shì)，故對(duì)該系數(shù)做參數(shù)分析。

取樁頂自由，樁底嵌固，樁的長(zhǎng)徑比為L(zhǎng)/D=15，土的泊松比取為νs=0.3，樁土的彈性模量比值Ep/Es2=1 000，αs分別取為1，0.8，0.6，0.4，0.2。樁頂水平荷載與軸向荷載分為取為H0=120 kN，P0=60 kN，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。

由圖11可知，當(dāng)樁頂軸向荷載由0增加到60 kN時(shí)，樁頂水平位移從3.17 mm增大為3.86 mm，增大比例為21.7%，樁身最大彎矩由22.2 kN·m增大到31.36 kN·m，增大比例為41.3%。而當(dāng)樁頂軸向荷載不變時(shí)，隨樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs從1減小到0.2時(shí)，樁頂水平位移的增大比例分別為19.17%、47.67%、94.3%、190.2%，樁頂彎矩的增大比例分別為10.9%、25.7%、50.7%、95.7%。可知當(dāng)樁周土模量沿深度的變化系數(shù)過(guò)小時(shí)，即上部土層彈性模量過(guò)小，會(huì)導(dǎo)致樁頂位移急劇增大，樁身彎矩急劇增大，最大彎矩點(diǎn)逐漸下移，故在實(shí)際工程中可采取對(duì)淺部土層進(jìn)行換填等方法去改善土質(zhì)，從而控制樁頂?shù)乃轿灰婆c樁身彎矩。

圖11 αs變化下的樁身水平位移和樁身彎矩Fig.11 Horizontal displacement and bending moment of pile under the variation of αs

4 結(jié)論

(1)本文基于最小勢(shì)能原理建立了軸橫向荷載作用下單樁的能量方程，一定程度上考慮了軸橫向荷載的耦合作用，將樁頂?shù)妮S橫向荷載、樁側(cè)摩阻力及樁土相互作用視為一個(gè)整體進(jìn)行分析，并給出了冪級(jí)數(shù)解答。

(2)參數(shù)分析結(jié)果表明：①樁土彈性模量比對(duì)單樁內(nèi)力與變形有較大影響。②樁身長(zhǎng)徑比小于10時(shí)，樁體受力近似剛性樁容易引起樁身失穩(wěn)。③軸向荷載對(duì)樁身水平位移與彎矩的影響主要集中與樁身上部20倍樁徑范圍內(nèi)，而對(duì)深處影響較小。④樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs小于0.6時(shí)，單樁樁身水平位移與彎矩受其影響很大。

(3)本文方法可進(jìn)一步推廣到多層地基以及樁身變截面等情況。此外，為求解方便，本文僅以土體彈性模量沿深度線性變化的角度考慮土體的非線性，未考慮土體的彈塑性變形，這將在后續(xù)的工作中進(jìn)一步深入研究。