剛性基礎(chǔ)下砼芯水泥土樁復(fù)合地基沉降計(jì)算

俞建霖，徐山岱，楊曉萌，陳張鵬，龔曉南

(1.浙江大學(xué)濱海和城市巖土工程研究中心，浙江杭州，310058；2.浙江省城市地下空間開發(fā)工程技術(shù)研究中心，浙江杭州，310058)

隨著工程建設(shè)對(duì)軟土地基承載力和沉降要求的不斷提高，各種地基處理技術(shù)不斷發(fā)展涌現(xiàn)。傳統(tǒng)的水泥攪拌樁存在樁身強(qiáng)度低和承載力小的缺點(diǎn)；混凝土樁承載力高，但作為摩擦樁使用時(shí)提供的側(cè)摩阻力小，當(dāng)樁周土的承載力達(dá)到極限時(shí)，樁身強(qiáng)度未完全發(fā)揮，浪費(fèi)樁身材料。砼芯水泥土樁通過(guò)在水泥攪拌樁中插入預(yù)制砼芯，利用水泥攪拌樁較大的比表面積提高側(cè)摩阻力，同時(shí)利用高強(qiáng)度的砼芯承擔(dān)上部荷載，充分發(fā)揮2種樁型的優(yōu)勢(shì)，從而有效地提高承載力，減小沉降量，具有較好的經(jīng)濟(jì)性。根據(jù)砼芯和水泥攪拌樁樁長(zhǎng)的差異，可分為短芯、等芯和長(zhǎng)芯樁。目前國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)足尺試驗(yàn)、室內(nèi)模型實(shí)驗(yàn)、數(shù)值分析和理論解析法研究砼芯水泥土樁作為樁基礎(chǔ)的荷載傳遞機(jī)理和變形特性[1-6]，但對(duì)砼芯水泥土樁作為復(fù)合地基中增強(qiáng)體的工作性狀研究成果較少。鮑鵬等[7]采用數(shù)值分析方法研究了復(fù)合地基中砼芯的樁身應(yīng)力、位移以及砼芯長(zhǎng)度和含芯率對(duì)極限承載力的影響；JAMSAWANG等[8]采用室內(nèi)試驗(yàn)和數(shù)值分析方法研究了砼芯與水泥土樁界面的工作特性以及砼芯長(zhǎng)度對(duì)樁體承載力和沉降的影響規(guī)律；洪波[9]基于等截面模量的概念，提出了一種砼芯水泥土樁復(fù)合地基的沉降計(jì)算方法；李俊才等[10]根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)靜載試驗(yàn)及有限元計(jì)算結(jié)果，分析了復(fù)合地基中砼芯、水泥土樁和樁周土的荷載分擔(dān)比，研究了地表處應(yīng)力分布以及砼芯軸力隨深度的變化規(guī)律；王馳等[11]探討了不同芯長(zhǎng)比和含芯率條件下砼芯水泥土樁復(fù)合地基的荷載傳遞機(jī)理和沉降變化規(guī)律；葉觀寶等[12]推導(dǎo)了剛性基礎(chǔ)下砼芯水泥土樁復(fù)合地基樁土應(yīng)力比的計(jì)算公式，并分析了砼芯直徑和樁長(zhǎng)以及水泥土樁樁長(zhǎng)的影響；徐禮閣等[13]基于荷載傳遞法推導(dǎo)了層狀地基中樁身-水泥土-土體相互耦合作用的靜鉆根植樁單樁沉降計(jì)算公式；張振等[14]通過(guò)室內(nèi)模型試驗(yàn)，研究了短芯勁芯水泥土樁承載路堤失穩(wěn)破壞模式，綜合分析了樁體漸進(jìn)式破壞模式和路堤整體失穩(wěn)規(guī)律。對(duì)于砼芯水泥土樁而言，砼芯、水泥土樁和樁周土三者之間的界面摩擦特性是影響荷載傳遞規(guī)律的重要因素。大量實(shí)測(cè)試驗(yàn)結(jié)果表明，樁側(cè)摩阻力的發(fā)揮與樁土接觸面上相對(duì)位移有關(guān)[15]。彭濤等[16]通過(guò)直剪試驗(yàn)研究了水泥土-混凝土界面特性，發(fā)現(xiàn)二者之間的界面剪切應(yīng)力與位移有著密切關(guān)系，前期近似呈線性增長(zhǎng)，峰值過(guò)后緩慢降低。但現(xiàn)有的理論解析法大多假定水泥土樁與樁周土之間的側(cè)摩阻力完全發(fā)揮，認(rèn)為砼芯和水泥土樁之間不發(fā)生相對(duì)位移，采用樁體復(fù)合模量或側(cè)摩阻力沿深度不變來(lái)進(jìn)行分析，未考慮界面相對(duì)位移對(duì)側(cè)摩阻力的影響。本文在前人基礎(chǔ)上，針對(duì)砼芯和水泥土樁長(zhǎng)度相等的等芯長(zhǎng)樁，考慮砼芯、水泥土樁和樁周土三者之間的相互作用和變形特性，基于理想彈塑性荷載傳遞函數(shù)，采用荷載傳遞法，提出一種在剛性基礎(chǔ)下計(jì)算砼芯水泥土樁復(fù)合地基沉降的理論解析法并研究復(fù)合地基沉降的影響因素及變化規(guī)律。

1 沉降計(jì)算方法

1.1 研究對(duì)象

圖1所示為砼芯水泥土樁布置圖。由圖1可見：研究對(duì)象是由剛性基礎(chǔ)下單樁有效處理范圍內(nèi)的復(fù)合地基(包括砼芯、水泥土樁和地基土體)所形成的典型單元體。根據(jù)典型單元體對(duì)稱性，典型單元體側(cè)表面上剪力為零。在荷載的作用下，樁周土、水泥土樁和砼芯都會(huì)發(fā)生壓縮。由于三者的彈性模量呈數(shù)量級(jí)差異，因此，產(chǎn)生的壓縮量各不相同。但在剛性基礎(chǔ)下三者頂面的沉降一致，勢(shì)必導(dǎo)致三者之間的砼芯-水泥土樁和水泥土樁-樁周土界面出現(xiàn)相對(duì)位移。

圖1 砼芯水泥土樁布置圖Fig.1 Sketch for the concrete-cored DCM pile arrangement

圖2所示為復(fù)合地基變形前后示意圖。由圖2可見：水泥土樁相對(duì)于樁周土產(chǎn)生向下的相對(duì)位移，砼芯相對(duì)于水泥土樁產(chǎn)生向下的相對(duì)位移，因此，在2個(gè)界面產(chǎn)生正摩擦力，從而引起三者之間的荷載傳遞；同時(shí)，在樁端平面上，水泥土樁和砼芯分別產(chǎn)生向下的刺入變形，且后者大于前者。

1.2 基本假設(shè)

1)水泥土樁、砼芯及樁周土為各向同性線彈性體，剛性基礎(chǔ)板剛度無(wú)窮大。

2)不考慮水泥土樁的徑向變形。

3)砼芯、水泥土樁與樁周土均只發(fā)生一維壓縮，同一水平面上樁間土應(yīng)力相等。

圖2 復(fù)合地基變形前后示意圖Fig.2 Schematic diagrams of composite foundation before and after deformation

4)樁周土和水泥土樁之間的界面?zhèn)饶ψ枇?以下統(tǒng)稱外界面?zhèn)饶ψ枇?與水泥土樁和砼芯之間的界面?zhèn)饶ψ枇?以下統(tǒng)稱內(nèi)界面?zhèn)饶ψ枇?的發(fā)揮與界面相對(duì)位移有關(guān)，且均符合理想彈塑性荷載傳遞函數(shù)假設(shè)。荷載傳遞法通過(guò)選擇合理的模型和參數(shù)，能夠較好地反映樁-土相互作用特性。

5)樁端阻力的發(fā)揮也符合理想彈塑性模型假設(shè)。

1.3 樁與樁間土的分析模型

取樁頂中心為z軸零點(diǎn)，沿著深度向下為正方向。通過(guò)分析典型單元體中的樁周土、水泥土樁和砼芯之間相互作用與受力平衡條件，可以得到三者各自的平衡微分方程：

式中：Ws(z)，Wm(z)和Wc(z)分別為樁頂至深度z處樁周土、水泥土樁和砼芯的壓縮量；U1和U2分別為水泥土樁和砼芯周長(zhǎng)；As，Am和Ac分別為單樁有效處理范圍內(nèi)樁周土、水泥土樁和砼芯的截面積；Es，Em和Ec分別為樁周土、水泥土樁和砼芯的彈性模量；τs和τm分別為外界面和內(nèi)界面?zhèn)饶ψ枇Α?/p>

根據(jù)理想彈塑性荷載傳遞函數(shù)假設(shè)，且相對(duì)位移用壓縮量之差表示，外界面?zhèn)饶ψ枇Ζ觭表達(dá)式為[17-18]

式中：ks為外界面?zhèn)饶ψ枇Πl(fā)揮剛度系數(shù)；τu1為外界面極限側(cè)摩阻力。

內(nèi)界面?zhèn)饶ψ枇Ζ觤表達(dá)式為

式中：km為內(nèi)界面?zhèn)饶ψ枇Πl(fā)揮剛度系數(shù)；τu2為內(nèi)界面極限側(cè)摩阻力。

令外界面和內(nèi)界面?zhèn)饶ψ枇_(dá)到極限值的深度分別為h1和h2。由于內(nèi)界面砼芯與水泥土樁之間的臨界相對(duì)位移值較小(2～4 mm)，在樁體受力過(guò)程中相對(duì)容易達(dá)到[16]，因此，可以認(rèn)為h1>h2。內(nèi)界面和外界面的極限側(cè)摩阻力τu計(jì)算表達(dá)式為

式中：β為界面?zhèn)饶ψ枇ο禂?shù)；z為深度；γ為土的天然重度。

根據(jù)理想彈塑性模型假設(shè)，樁端阻力qp表達(dá)式為[17-18]

式中：kp為樁端土剛度系數(shù)；qu為極限樁端阻力；qs為樁底土應(yīng)力；L為樁長(zhǎng)；Ws(L)為樁長(zhǎng)范圍內(nèi)樁周土的總壓縮量；Wp(L)為樁體的總壓縮量。Ws(L)與Wp(L)兩者差值即為樁端刺入變形。

1.4 方程建立

將式(2)和(3)代入式(1)中可以得到各分段的微分方程表達(dá)式。下文中Ws(z)，Wm(z)和Wc(z)分別用Ws，Wm和Wc代替。

1)當(dāng)0

求解方程可得到復(fù)合地基中樁周土、水泥土樁和砼芯在本段的壓縮量Ws1，Wm1和Wc1表達(dá)式如下：

D1=a1+a2-ma2；D2=a1+a2+na2；Δ=(a1+a2-a3-a4)2+4a2a3；C1，C2，C3，C4，C5和C6為積分常數(shù)。

2)當(dāng)h2≤z

求解方程可得到復(fù)合地基中樁周土、水泥土樁和砼芯在本段的壓縮量Ws2，Wm2和Wc2表達(dá)式如下：

式中：D3=C7，C8，C9，C10，C11和C12為積分常數(shù)。

3)當(dāng)h1≤z≤L時(shí)，內(nèi)界面和外界面?zhèn)饶ψ枇_(dá)到極限值。平衡微分方程如下

求解方程可得到復(fù)合地基中樁周土、水泥土樁和砼芯在本段的壓縮量Ws3，Wm3和Wc3表達(dá)式如下：

式中：C13，C14，C15，C16，C17和C18為積分常數(shù)。

1.5 邊界條件

1)在基礎(chǔ)底面，即z=0 時(shí)，復(fù)合地基中樁周土、水泥土樁和芯樁相對(duì)于基礎(chǔ)底面的壓縮層厚度為0，故不產(chǎn)生壓縮量，且三者承擔(dān)的荷載之和等于上部荷載F。由此可得：

2)在h1和h2深度處，復(fù)合地基中砼芯、水泥土樁和樁周土滿足位移和應(yīng)力連續(xù)條件，得到以下12個(gè)方程。

在z=h2處，

在z=h1處，

3)在h1和h2深度處，內(nèi)界面和外界面?zhèn)饶ψ枇_(dá)到極限值。由此可得

式中：β1和β2分別為外界面和內(nèi)界面的側(cè)摩阻力系數(shù)。

4)在樁端，即z=L處由式(5)可得

1.6 方程求解

上述方程中有C1，…，C18，h1和h2共20 個(gè)未知數(shù)，邊界條件有式(12)～(31)共20 個(gè)。由于直接求解困難，根據(jù)文獻(xiàn)[17]和[19]，采用Wolfram Mathematica 編程求解。將具體參數(shù)代入邊界條件中，求得h1，h2和積分常數(shù)的數(shù)值，代入方程Ws(z)，Wm(z)和Wc(z)中即可得到復(fù)合地基中樁身范圍內(nèi)的樁周土、水泥土樁、砼芯的壓縮量。若實(shí)際工況是非均質(zhì)的層狀土，則考慮將樁間土的參數(shù)采用樁長(zhǎng)范圍內(nèi)各土層的加權(quán)平均值。

1.7 下臥層沉降計(jì)算

復(fù)合地基下臥層沉降計(jì)算的關(guān)鍵是下臥層土體附加應(yīng)力的計(jì)算。本文采用Boussinesq-Mindlin聯(lián)合求解的方法：

1)地表樁間土壓力引起的附加應(yīng)力可由Boussinesq解求得。

2)樁側(cè)阻力和端阻力在下臥層引起的附加應(yīng)力可由Mindlin解求得。

上述兩者迭加后得到下臥層土體附加應(yīng)力，采用分層總和法就可以計(jì)算下臥層土體的沉降量，與樁周土的壓縮量相加后就可得到復(fù)合地基的總沉降量。

2 界面模型參數(shù)的選取

2.1 界面?zhèn)饶ψ枇Πl(fā)揮剛度系數(shù)

對(duì)于外界面，即樁周土-水泥土樁界面，當(dāng)應(yīng)力水平較低時(shí)，樁側(cè)土處于彈性變形狀態(tài)，此時(shí)可以用彈性解確定樁側(cè)土的剛度系數(shù)[20]：

式中：Gs為樁周土體的剪切模量；rm為影響半徑；r0為樁身半徑；ln(rm/r0)通?？山迫?[21]。

對(duì)于內(nèi)界面，即水泥土樁和砼芯界面，由文獻(xiàn)[22]中直剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，內(nèi)界面?zhèn)饶ψ枇Φ闹蹬c相對(duì)位移呈正比，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)反算和文獻(xiàn)[12]的建議可以得到km的取值為70～100 MPa/m。

2.2 界面?zhèn)饶ψ枇ο禂?shù)

界面極限側(cè)摩阻力采用β法確定，計(jì)算公式為

式中：α為修正系數(shù)；K為靜止土壓力系數(shù)；φ1為土的內(nèi)摩擦角。

內(nèi)界面極限側(cè)摩阻力系數(shù)可根據(jù)水泥土樁內(nèi)外界面的水平向受力平衡換算得到β2的計(jì)算公式為

式中：D為水泥土樁外徑；d為水泥土樁內(nèi)徑；φ2為內(nèi)界面摩擦角，可根據(jù)文獻(xiàn)[16]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果取值。

由文獻(xiàn)[1]可知，勁性攪拌樁實(shí)測(cè)側(cè)摩阻力是鉆孔灌注樁實(shí)測(cè)值的1.41～1.62 倍，是勘察報(bào)告取值的1.26～1.47倍，因此，取修正系數(shù)α=1.4。

2.3 樁端土剛度系數(shù)

RANDOLPH 等[23]基于剛性體壓入彈性半空間的解給出了樁端土剛度系數(shù)的計(jì)算式，將樁頂作用力換成壓強(qiáng)[20]得

式中：Gu為樁端土體的剪切模量；υ為樁端土體的泊松比。

3 數(shù)值模擬結(jié)果及對(duì)比驗(yàn)證

通過(guò)ABAQUS 軟件建模分析并驗(yàn)證本文提出的理論解析法的合理性。數(shù)值模擬采用二維軸對(duì)稱模型，模型兩側(cè)受到水平向約束，底部受到水平向和豎直向約束。內(nèi)界面、外界面和基礎(chǔ)底面分別設(shè)置接觸屬性，切向行為采用“罰”公式，分別取摩擦因數(shù)為0.4，0.2 和0.3，法向行為采用“硬”接觸，接觸剛度取2 種介質(zhì)模量的較小值。在模型尺寸方面，徑向長(zhǎng)度取20倍水泥土樁半徑，豎向取1.5倍樁長(zhǎng)，土頂部布設(shè)基礎(chǔ)板。樁間距為2 m，極限樁端阻力qu為1 000 kPa，km為100 MPa/m。表1所示為水泥土樁、砼芯與基礎(chǔ)板材料參數(shù)，表2所示為土層參數(shù)。

表1 水泥土樁、砼芯與基礎(chǔ)板材料參數(shù)Table 1 DCM pile and concrete-cored material parameters

表2 土層參數(shù)Table 2 Soil parameters

根據(jù)表1和表2的具體參數(shù)，代入前文已有的解析表達(dá)式得到了復(fù)合地基的荷載-沉降曲線與樁頂荷載分擔(dān)比隨荷載的變化曲線，最后將數(shù)值模擬的結(jié)果與本文方法計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果如圖3所示。由圖3(a)可見：二者整體變化趨勢(shì)一致，并且所得的極限承載力也比較接近。由圖3(b)可見：1)由于基礎(chǔ)剛度大，在上部荷載作用下砼芯承擔(dān)了大部分荷載，水泥土樁次之，樁周土的荷載分擔(dān)比最??；2)隨著上部荷載增加，砼芯的荷載分擔(dān)比逐漸減小，樁周土和水泥土樁的荷載分擔(dān)比逐漸增加。荷載由砼芯向外逐步傳遞到水泥土樁與樁周土；3)本文方法所得結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果比較接近。綜合分析圖3，認(rèn)為本文提出的砼芯水泥土樁復(fù)合地基分析方法是可靠的。

4 復(fù)合地基沉降的影響因素

剛性基礎(chǔ)下砼芯水泥土樁復(fù)合地基總沉降由樁長(zhǎng)范圍內(nèi)樁周土壓縮量和下臥層壓縮量2部分組成。圖4所示為復(fù)合地基沉降的變化規(guī)律及影響因素，計(jì)算參數(shù)同表1和表2。

圖4(a)所示為上部荷載與復(fù)合地基沉降的關(guān)系曲線。從圖4(a)可見：隨著荷載增加，沉降量均表現(xiàn)為逐漸增大；當(dāng)荷載大于225 kPa之后，樁周土壓縮量和總沉降量均急劇增大，說(shuō)明此時(shí)復(fù)合地基變形進(jìn)入塑性階段，變形發(fā)展速率加快，此時(shí)已達(dá)到極限承載力；下臥層沉降量仍未表現(xiàn)出明顯的拐點(diǎn)，說(shuō)明荷載水平的變化對(duì)復(fù)合地基樁身范圍內(nèi)樁周土壓縮量的影響較大。

圖3 理論解析法和數(shù)值模擬的結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison between the results of theoretical analysis and numerical simulation

圖4 復(fù)合地基沉降的變化規(guī)律及影響因素Fig.4 Change regularity and influence factors of composite foundation settlement

圖4(b)所示為含芯率與沉降的關(guān)系曲線。保持水泥土樁徑不變，通過(guò)改變砼芯樁徑來(lái)分析含芯率的影響。由圖4(b)可見：隨著含芯率增大，樁周土的壓縮量逐漸減小，下臥層壓縮量略有降低，復(fù)合地基總沉降表現(xiàn)為減小；此外，隨著含芯率增大，沉降的減小趨勢(shì)越來(lái)越緩，說(shuō)明含芯率對(duì)沉降的控制是有限的。在建設(shè)成本一定的條件下，存在最優(yōu)含芯率，建議取值為0.3。

圖4(c)所示為面積置換率與沉降的關(guān)系曲線。保持砼芯和水泥土樁的樁徑不變，通過(guò)改變樁間距來(lái)分析面積置換率的影響。由圖4(c)可見：隨著面積置換率增加，樁周土的壓縮量明顯減小，下臥層壓縮量略有減小。這是因?yàn)槊娣e置換率增加導(dǎo)致樁間距降低，在總面積一定的情況下，布樁數(shù)增多，提高了復(fù)合地基承載力，故復(fù)合地基總沉降明顯減小，但減小幅度在不斷放緩。

圖4(d)所示為樁周土壓縮模量與沉降的關(guān)系曲線。由圖4(d)可見：隨著樁周土模量增加，樁周土的壓縮量明顯減小，而下臥層沉降有所增大。這是由于下臥層附加應(yīng)力有所增長(zhǎng)，但復(fù)合地基總沉降明顯減小，說(shuō)明樁周土模量主要影響樁長(zhǎng)范圍內(nèi)土體的壓縮。

圖4(e)所示為下臥層壓縮模量與沉降的關(guān)系曲線。由圖4(e)可見：隨著下臥層模量增加，下臥層沉降顯著減小，但減小趨勢(shì)逐漸放緩；樁周土的壓縮量有所減小，但減小幅度明顯比下臥層的小，復(fù)合地基總沉降表現(xiàn)為顯著減小，說(shuō)明下臥層模量主要影響下臥層土體的壓縮。

5 結(jié)論

1)通過(guò)與數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文提出的剛性基礎(chǔ)下砼芯水泥土樁復(fù)合地基沉降計(jì)算方法的可靠性，說(shuō)明該方法具有一定的工程實(shí)用性。

2)對(duì)于剛性基礎(chǔ)下砼芯水泥土樁復(fù)合地基，砼芯承擔(dān)了較大部分的上部荷載，水泥土樁次之，樁周土的荷載分擔(dān)比最小。隨著上部荷載增加，砼芯的荷載分擔(dān)比逐漸減小，樁周土和水泥土樁的荷載分擔(dān)比逐漸增加，荷載由砼芯向外逐步傳遞到水泥土樁與樁周土。

3)復(fù)合地基總沉降、樁周土壓縮量與含芯率、面積置換率、樁周土和下臥層模量呈負(fù)相關(guān)，與上部荷載呈正相關(guān)。

4)下臥層模量主要影響下臥層沉降且呈負(fù)相關(guān)發(fā)展趨勢(shì)，而樁周土模量的增長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致下臥層沉降增大。