研究函數(shù)零點問題四法

馬俊強 戴松沅

[摘 要]函數(shù)的零點問題，歷來是高考的命題熱點.探討函數(shù)零點問題的求解方法，以幫助學(xué)生突破難點，提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]函數(shù);零點;策略

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）26-0020-02

在函數(shù)與方程有關(guān)的問題中，函數(shù)零點是最值得研究的問題之一.依據(jù)函數(shù)零點理論，可以研究方程的近似解，也可以探究函數(shù)圖像的變化趨勢.函數(shù)的零點問題一直是高考的一個重要考點.那么涉及這個考點的主要問題和方法有哪些？本文舉例說明.

一、解方程法

函數(shù)與方程可謂一對孿生兄弟，它們之間是可以相互轉(zhuǎn)化的.所謂解方程法，就是求方程[f（x）=0]的實數(shù)根，這些根就是函數(shù)[f（x）]的零點.因此，函數(shù)的零點是一個數(shù)，而不是一個點.

評注：函數(shù)零點的存在性定理是解決函數(shù)零點問題的主要根據(jù).這個定理不僅能判斷函數(shù)零點的存在，且也能發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點落在哪個區(qū)間.運用函數(shù)零點存在性定理時，應(yīng)特別注意兩點：一是當(dāng)函數(shù)值在某區(qū)間上恒正或恒負時，無論這個函數(shù)是否單調(diào)，這個函數(shù)在這個區(qū)間上都不會存在零點;二是函數(shù)零點存在性定理只能斷定函數(shù)零點是存在的，卻無法斷定在這個區(qū)間上零點有多少個.

三、數(shù)形結(jié)合法

函數(shù)[y=f（x）]的零點，從數(shù)形結(jié)合角度看，即它的圖像與[x]軸交點的橫坐標.當(dāng)這個函數(shù)圖像無法作出，但可以變成兩個函數(shù)的差的形式時，那么原函數(shù)的零點就是這兩個函數(shù)的圖像的交點的橫坐標.于是，我們可以先畫出這兩個函數(shù)的圖像，再觀察它們的交點情況，最后對零點個數(shù)做出判斷，此法就是判斷函數(shù)零點個數(shù)最常用的數(shù)形結(jié)合法.

綜上可知，正確答案為B.

評注：利用單調(diào)性分析法解決函數(shù)零點問題的基本思想實際上就是數(shù)形結(jié)合的思想，其要點是“在指定區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)至多有一個零點.如果有零點，那么函數(shù)就有唯一的一個零點”，這是解決函數(shù)在指定的區(qū)間上零點唯一性問題的主要思想方法.

函數(shù)的零點問題，歷來是高考的命題熱點，主要題型有判斷函數(shù)的零點個數(shù)，或已知含有參數(shù)的函數(shù)的零點或零點個數(shù)求參數(shù)的值或參數(shù)的取值范圍.以上四種方法是求解這類問題的基本方法.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）