多邊形內(nèi)角和與外角和拓展探究

張振鋒

[摘 要]通過探究五角星中角之間的關(guān)系、剪切圖形后角之間的關(guān)系、凹多邊形中角之間的關(guān)系，可以提高學(xué)生合作探究的能力，學(xué)生能夠在新情境問題中，把陌生的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形，通過代數(shù)式的不斷轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論.

[關(guān)鍵詞]多邊形;內(nèi)角;外角;探究

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2020）26-0007-02

由若干條線段把它們的頭尾順次連接，形成封閉的平面圖形就是多邊形.這些線段就形成了多邊形的邊，這些線段的夾角形成了多邊形的內(nèi)角.把多邊形的各邊順次延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線與相鄰邊的夾角形成了多邊形的一組外角.從m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線，能把多邊形分成數(shù)量最少的三角形，這些三角形的個(gè)數(shù)為m-2.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，所以m邊形的內(nèi)角和為（m-2）×180°.由于多邊形的內(nèi)角與相鄰的外角互為補(bǔ)角，所以每個(gè)多邊形的一組外角和為固定值，即360°.四邊形、五邊形等多邊形具有不穩(wěn)定性，也就是說同樣邊長(zhǎng)的多邊形可以具有多種形狀.

一、探究五角星中角之間的關(guān)系

顧名思義，五角星是指有五個(gè)尖角的星形圖案.任何一個(gè)正五角星都由周圍的五個(gè)三角形和中心的一個(gè)正五邊形組成.因?yàn)槲暹呅蔚膬?nèi)角和為540°，所以正五邊形每個(gè)內(nèi)角均為108°，因?yàn)橹車切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角就是正五邊形的一個(gè)外角，所以周圍三角形的一個(gè)內(nèi)角是72°，又由于它們都是等腰三角形，所以尖角的角度均為36°.

[例1]（1）如圖1所示的圖形是一個(gè)五角星圖案，那么這個(gè)圖案五個(gè)尖角的度數(shù)和是多少？（2）如圖2所示的圖形也是一個(gè)五角星圖案，如果五個(gè)尖角的度數(shù)彼此相等，那么∠1的度數(shù)是多少？

分析：（1）設(shè)CE與BD、AD的交點(diǎn)分別為M、N，可分別在△MBE和△NAC中，由三角形的外角性質(zhì)求得∠DMN=∠B+∠E、∠DNM=∠A+∠C，進(jìn)而在△DMN中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出所求的結(jié)論.

如圖3，設(shè)BD、AD與CE的交點(diǎn)為M、N;△MBE和△NAC中，由三角形的外角性質(zhì)知：∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C;△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;

（2）根據(jù)多邊形的外角和等于360°解答.

如圖4所示，因?yàn)椤螦=∠B=∠C=∠D=∠E，所以每個(gè)角的度數(shù)為360°除以5等于72°，因?yàn)椤?與∠2互補(bǔ)，所以∠1的度數(shù)為108°.

評(píng)注：五角星五個(gè)尖角的和為180°，從這里可以看出，它的五個(gè)尖角可以集中在同一個(gè)角三角形中，集中的依據(jù)是三角形外角的性質(zhì).

二、探究剪切圖形后角之間的關(guān)系

將三角形的一個(gè)角剪切后，得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形的兩個(gè)內(nèi)角是原三角形的兩個(gè)內(nèi)角，另兩個(gè)內(nèi)角是新三角形的兩個(gè)外角，這兩個(gè)外角的和等于180°與原三角形剪去角的和，這兩個(gè)外角平分線的夾角等于90°與原三角形剪去角一半的和.如果將四邊形再剪切一刀，可得兩個(gè)四邊形，其中一個(gè)四邊形的內(nèi)角平分線的夾角剛好是另一個(gè)四邊形兩個(gè)外角的夾角.

[例2]如圖5，在一張三角形紙片上，剪去△ABC，得到四邊形BCHG，∠1與∠2分別為△ABC的兩個(gè)外角，

（1）請(qǐng)你試著說明：∠1+∠2=180°+∠A;

（2）如圖6，如果沿著EF再剪一刀，∠3與∠4分別為△AEF的兩個(gè)外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的數(shù)量關(guān)系為? ? ? ? ?;

（3）如圖7，EP，F(xiàn)P分別平分外角∠FEG、∠EFH，求∠EPF與∠A的數(shù)量關(guān)系;

（4）如圖8，在四邊形BCFE中，EP、FP分別平分外角∠FEG、∠EFH，請(qǐng)寫出∠EPF、∠1、∠2這三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

分析：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，求得∠1+∠2=360°-（∠ABC +∠ACB），根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到結(jié)論.即∵∠1與∠2分別為△ABC的兩個(gè)外角，∴∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，∴∠1+∠2=360°-（∠ABC +∠ACB），∵三角形的內(nèi)角和為180°，∴∠ABC +∠ACB=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-（180°-∠A）=180°+∠A;

（2）由（1）得，∠1+∠2=180°+∠A，同理，∠3+∠4=180°-∠A，∴∠1+∠2=∠3+∠4，故答案為：∠1+∠2=∠3+∠4;

（3）由（1）得，∠GEF+∠HFE=180°-∠A，根據(jù)角平分線的定義得到結(jié)論.即

由（1）得，∠GEF+∠HFE=180°-∠A，∵EP，F(xiàn)P分別平分外角∠FEG、∠EFH，∴∠PEF=[12]∠GEF，∠PFE= [12]∠HFE，∴∠PEF+∠PFE= [12]（∠GEF+∠HFE）= [12]（180°-∠A），∴∠P=180°- [12]（∠PEF+∠PFE）=180°- [12]（180°+∠A）=90°+ [12]∠A;

（4）由（3）得到∠A+2∠P=180°，由（1）得到∠1+∠2=180°+∠A，于是得到結(jié)論：∠1+∠2+2∠P=360°.由（3）可知，∠A+2∠P=180°，由（1）可知，∠1+∠2=180°+∠A，∴（∠1+∠2-180°）+2∠P=180°，∴∠1+∠2+2∠P=360°.

評(píng)注：以上分析不難發(fā)現(xiàn)，一個(gè)四邊形相鄰兩條內(nèi)角平分線的夾角等于其他兩個(gè)內(nèi)角和的一半;一個(gè)四邊形兩條外角平分線的夾角等于180°減去其他兩個(gè)內(nèi)角和的一半.

三、探究凹多邊形中角之間的關(guān)系

將一個(gè)多邊形的任何一邊向兩個(gè)方向延長(zhǎng)，可以得到一條直線，如果其余各邊不是全部在直線的同側(cè)，這樣的多邊形就是凹多邊形.凹多邊形一定有一個(gè)內(nèi)角大于180°，一定有兩個(gè)頂點(diǎn)連線后不在多邊形的內(nèi)部，生活中的五角星、四角星、六角星等星形圖案都屬于凹多邊形.凹多邊形的內(nèi)角和與凸多邊形的內(nèi)角和一樣，均為（m-2）×180°，但凹多邊形的外角和不是360°，而是（m+2）×180°.

[例3]發(fā)現(xiàn)：如圖9，在有一個(gè)“凹角∠A1A2A3”的n邊形A1A2A3A4…An中（n為大于3的整數(shù)），∠A1A2A3=∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An-（n-4）×180°.

驗(yàn)證：（1）如圖10，在有一個(gè)“凹角∠ABC”的四邊形ABCD中，求證：∠ABC=∠A+∠C+∠D.

（2）如圖11，在有一個(gè)“凹角∠ABC”的六邊形ABCDEF中，求證：∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F-360°.

延伸：（3）如圖12，在有兩個(gè)連續(xù)“凹角A1 A2 A3和∠A2 A3 A4”的四邊形A1 A2 A3 A4……An中（n為大于4的整數(shù)），∠A1 A2 A3+∠A2 A3 A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6…+∠An-（n- ）×180°.

分析：（1）如圖10，延長(zhǎng)AB交CD于E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到結(jié)論.延長(zhǎng)AB交CD于E，則∠ABC=∠BEC+∠C，∠BEC=∠A+∠D，∴∠ABC=∠A+∠C+∠D;

（2）如圖11，延長(zhǎng)AB交CD于G，則∠ABC=∠BGC+∠C，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)得到結(jié)論.延長(zhǎng)AB交CD于G，則∠ABC=∠BGC+∠C，∵∠BGC=180°-∠BGD，∠BGD=3×180°-（∠A+∠D+∠E+∠F），∴∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F-360°;

（3）如圖12，延長(zhǎng)A2A3交A5A4于C，延長(zhǎng)A3A2交A1An于B，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠2+∠A4+∠4，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和得到∠1+∠3=（n-2-2）×180°-（∠A5+∠A6+…+∠An）.即如圖12，延長(zhǎng)A2A3交A5A4于C，延長(zhǎng)A3A2交A1An于B，則∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠2+∠A4+∠4，∵∠1+∠3=（n-2-2）×180°-（∠A5+∠A6+…+∠An），而∠2+∠4=360°-（∠1+∠3）=360°-[（n-2-2）×180°-（∠A5+∠A6+…+∠An）]，∴∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An-（n-6）×180°.故答案為6.

評(píng)注：對(duì)于解決凹多邊形問題，要通過作輔助線分割為三角形和凸多邊形，然后利用三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)，凸多邊形的內(nèi)角和與外角和加以解決.本題探究了凹多邊形有一個(gè)凹角、有兩個(gè)凹角時(shí)，凹角和與其他內(nèi)角和之間的關(guān)系，是對(duì)多邊形知識(shí)的有益拓展.

其實(shí)，對(duì)于多邊形的內(nèi)角和與外角和，它的考查方式還包括已知邊數(shù)求內(nèi)角和、已知內(nèi)角和求邊數(shù)、已知內(nèi)角和與外角和的關(guān)系求邊數(shù)、求對(duì)角線等，這些問題的解決需要應(yīng)用內(nèi)角和與外角和公式建立方程求解.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）