基于荷載包絡(luò)圖的鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)安定性分析

莊 妍，王康宇，董曉強(qiáng)，張 軍，苗晨曦

（1.太原理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，太原030006；2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院 混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096；3.河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，南京210098；4.山西交通科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司，太原030000）

隨著我國(guó)高速鐵路建設(shè)的迅速發(fā)展，特別是近年來(lái)“一帶一路”戰(zhàn)略的實(shí)施和我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)車(chē)組“復(fù)興號(hào)”的投入運(yùn)營(yíng)，列車(chē)高速、平穩(wěn)運(yùn)行的需求對(duì)軌道及路基結(jié)構(gòu)的變形提出了嚴(yán)格的控制標(biāo)準(zhǔn)。鑒于道床和路基結(jié)構(gòu)的散粒體特性，及列車(chē)荷載的長(zhǎng)期循環(huán)特性，至今尚未有可靠的道床和路基結(jié)構(gòu)累積塑性變形的預(yù)測(cè)方法。如何從理論上解決高速列車(chē)荷載長(zhǎng)期循環(huán)作用下道床和路基結(jié)構(gòu)的累積塑性變形控制，同時(shí)提出科學(xué)合理高速鐵路服役性能安全評(píng)價(jià)方法是亟待開(kāi)展的關(guān)鍵科學(xué)問(wèn)題。

對(duì)于鐵路道床和路基結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，交變塑性和增量塑性破壞狀態(tài)都是不允許出現(xiàn)的，純彈性狀態(tài)的設(shè)計(jì)由于不能考慮材料的塑性行為，偏于保守。因此，基于安定理論確定結(jié)構(gòu)各響應(yīng)階段之間的臨界荷載，對(duì)于結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和分析具有非常重要的經(jīng)濟(jì)和安全意義。目前的安定分析方法主要可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是基于數(shù)學(xué)規(guī)劃思想的方法［1-2］，當(dāng)單元數(shù)比較多或荷載空間的頂點(diǎn)比較多時(shí)，數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題的約束條件就會(huì)急劇增加，從而形成大規(guī)模線(xiàn)性或非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，導(dǎo)致維數(shù)障礙的產(chǎn)生，增加安定荷載求解的難度。另一類(lèi)是適當(dāng)簡(jiǎn)化和改進(jìn)經(jīng)典安定理論的方法［3-5］，此類(lèi)方法降低了結(jié)構(gòu)安定分析的復(fù)雜程度，克服了維數(shù)障礙的難題，但也存在著適用性受限的問(wèn)題。由于高速鐵路道床-路基等工程結(jié)構(gòu)及其所承擔(dān)荷載的復(fù)雜性，僅僅依靠解析方法已無(wú)法準(zhǔn)確揭示結(jié)構(gòu)中的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律，因此必須借助于數(shù)值軟件對(duì)工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真模擬。將有限元與數(shù)值規(guī)劃技術(shù)相結(jié)合是目前國(guó)內(nèi)外研究中常用的靜力安定數(shù)值分析方法［6］，并已在鐵路結(jié)構(gòu)研究中取得了一定的成果［7-8］，但研究大多側(cè)重于輪軌間接觸應(yīng)力和輪軌表面疲勞、磨損等問(wèn)題，對(duì)道床和路基結(jié)構(gòu)這樣的鐵路線(xiàn)路的重要基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，其安定行為的研究仍然相對(duì)較少［9-10］，尤其在多個(gè)輪載作用下的高速鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)承載性能安全評(píng)價(jià)的安定性研究尚屬空白。

本文將靜力安定解析方法與數(shù)值模型相結(jié)合發(fā)展了一種高速鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)承載性能安全評(píng)價(jià)的安定分析方法，通過(guò)引入安定荷載包絡(luò)圖的概念，系統(tǒng)研究了道床摩擦系數(shù)、道床與基床表層的彈性模量比和厚度比對(duì)結(jié)構(gòu)安定荷載的影響規(guī)律，為列車(chē)荷載長(zhǎng)期作用下道床-路基結(jié)構(gòu)累積塑性變形控制提供參考和借鑒。

1 靜力安定分析理論

1.1 靜力安定解析方法

1.1.1 基于Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的安定分析

Melan安定定理也稱(chēng)為靜力安定定理，可表述為：若存在一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的自平衡殘余應(yīng)力場(chǎng)σirj，它與給定荷載范圍內(nèi)的任意外荷載所產(chǎn)生的彈性應(yīng)力場(chǎng)σiej相疊加后，處處不違反屈服準(zhǔn)則f（·），則結(jié)構(gòu)是安定的，即存在：

若采用λp表示外荷載（p是單位荷載；λ是無(wú)量綱因子，又稱(chēng)安定乘子），假設(shè)σyy是中主應(yīng)力，則Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則可以表示為［11］：

式中：c為材料的粘聚力，φ為材料的內(nèi)摩擦角。

式（2）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

其中：

同樣的，若使得式（3）成立，則必然存在N≤0，即存在：

需要注意的是根據(jù)式（5）求得的安定乘子僅為屈服準(zhǔn)則成立的必要條件，在計(jì)算中認(rèn)為式（3）的第一項(xiàng)為零，而實(shí)際上這種假設(shè)并不是對(duì)所有情況都成立，因此這種方法實(shí)際上并不嚴(yán)格滿(mǎn)足屈服條件。為了求得準(zhǔn)確的靜力安定荷載，就需要對(duì)殘余應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行合理的優(yōu)化調(diào)整，以滿(mǎn)足式（2）的要求，因此安定荷載的求解即轉(zhuǎn)化為殘余應(yīng)力場(chǎng)的優(yōu)化問(wèn)題。

1.1.2 靜力安定解析方法的優(yōu)化與求解

由式（3）可知，若N≤0成立，令f＝0，可以得到方程的2個(gè)根：

在循環(huán)荷載作用下，結(jié)構(gòu)由于經(jīng)歷了相同的應(yīng)力歷史，因此，殘余應(yīng)力場(chǎng)和荷載的移動(dòng)方向（x方向）無(wú)關(guān)，同一深度處（z＝j(luò)）的殘余應(yīng)力分量σrxx不隨時(shí)間和位置而發(fā)生變化，且其值必然處于下式定義的范圍內(nèi)：

在給定的荷載參數(shù)情況下，可以根據(jù)式（6）計(jì)算任意深度處殘余應(yīng)力場(chǎng)的最大的小根.如圖1所示，若在結(jié)構(gòu)某一深度處，最大的小根與最小的大根相等，則結(jié)構(gòu)在此處可取得安定荷載值，且這兩個(gè)根將構(gòu)成可能的殘余應(yīng)力場(chǎng)的分布范圍；若最小的大根小于最大的小根，則表明由式（5）計(jì)算的安定乘子過(guò)大，結(jié)構(gòu)中不存在可能的殘余應(yīng)力場(chǎng)，對(duì)于這種情況，就需要對(duì)殘余應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化，使其適當(dāng)?shù)臏p小以滿(mǎn)足靜力安定定理的條件。

圖1 殘余應(yīng)力場(chǎng)范圍與安定荷載關(guān)系的示意圖Fig.1 Relationship between the possible residual stress field range with shakedown load

基于以上分析，通過(guò)如圖2所示的優(yōu)化過(guò)程，可以得到循環(huán)荷載作用下單層半無(wú)限空間結(jié)構(gòu)的靜力安定荷載。

2 鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)安定分析方法

2.1 高速鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)的安定分析方法

圖2 靜力安定解析方法的優(yōu)化過(guò)程Fig.2 Optimization procedure for the static shakedown solution

高速鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)的工程設(shè)計(jì)，其承載性能并不僅依賴(lài)于某一結(jié)構(gòu)層的物理力學(xué)參數(shù)，而是取決于整體結(jié)構(gòu)的整體工作性狀，尤其是各結(jié)構(gòu)層的組合或材料性質(zhì)不協(xié)調(diào)時(shí)，在給定荷載作用情況下的工程結(jié)構(gòu)通常會(huì)呈現(xiàn)出不同的承載能力和使用壽命。從安全性和經(jīng)濟(jì)性的角度來(lái)講，安定荷載是設(shè)計(jì)容許的最大荷載，能使結(jié)構(gòu)在保證安全性的前提下，充分利用其塑性潛力。對(duì)于多層結(jié)構(gòu)，為了保證結(jié)構(gòu)的安全性，需確保在安定荷載作用下各結(jié)構(gòu)層均處于安全狀態(tài)，則安定荷載可取為各結(jié)構(gòu)層容許荷載的最小值，即：

2.2 等效道床有效支承荷載模型

《鐵路路基設(shè)計(jì)規(guī)范》（TB 10001-2016）［12］指出，若列車(chē)輪載由5根軌枕承擔(dān)，分擔(dān)比例為0.1∶0.2∶0.4∶0.2∶0.1，則道床表面應(yīng)力應(yīng)以軌枕的有效支承面積作為分布面積，如圖3所示。圖中pd為動(dòng)輪載，可按照式（9）計(jì)算；b為軌枕的平均寬度；e為軌枕的平均有效支承長(zhǎng)度，一般以軌枕端部至鋼軌中軸線(xiàn)距離的2倍作為軌枕單側(cè)的平均有效支承長(zhǎng)度，對(duì)于長(zhǎng)度為2.6m的軌枕，其有效支承長(zhǎng)度為e＝1.09m.

根據(jù)《重載鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范》（TB 10625-2017）［13］和 《高 速 鐵 路 設(shè) 計(jì) 規(guī) 范》（TB10621-2014）［14］的相關(guān)規(guī)定，pd計(jì)算公式如下：

式中：pd為單個(gè)動(dòng)輪載，kN；ps為單個(gè)靜輪載，kN；α為動(dòng)力沖擊系數(shù)或速度影響系數(shù)；v為列車(chē)行駛速度，km／h；若v＝300～350km／h，則α＝0.003；若v＝200～250km／h，則α＝0.004；重載貨車(chē)的行駛速度一般為120km／h，其α值可取為0.004；（1＋αv）為沖擊系數(shù)，最大可取為1.9.

圖3 列車(chē)軸載在道床表面的分布規(guī)律Fig.3 Wheel load distribution on the surface of ballast layer

3 鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)安定荷載計(jì)算結(jié)果分析

采用2.2節(jié)提出的簡(jiǎn)化軌道模型，施加圖4所示的均布荷載形式及相應(yīng)的荷載分擔(dān)比［15］，重點(diǎn)研究道床和基床表層的厚度比、彈性模量比和道床摩擦角隨輪軌摩擦系數(shù)的影響規(guī)律，同時(shí)引入安定荷載包絡(luò)圖的概念，為全面評(píng)價(jià)高速鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)承載性能的安全性提供參考。

圖4 雙輪軸作用下道床表面的荷載分布規(guī)律示意圖Fig.4 Load distribution on the ballast surface under two wheel loads

3.1 安定荷載包絡(luò)圖的概念

安定荷載包絡(luò)圖是指安定荷載的豎向、水平和力矩分量之間的相互關(guān)系圖，這三個(gè)分量組合成為一個(gè)三維外凸的曲面，即為安定荷載包絡(luò)曲面。若固定其中的一個(gè)荷載分量，則另外兩個(gè)荷載分量之間所形成的外凸的關(guān)系曲線(xiàn)被稱(chēng)為安定荷載包絡(luò)曲線(xiàn)，曲線(xiàn)的性狀和大小取決于第三個(gè)荷載分量的特性。圖5為復(fù)雜荷載條件下結(jié)構(gòu)穩(wěn)定包絡(luò)線(xiàn)圖，其中實(shí)線(xiàn)表示穩(wěn)定包絡(luò)線(xiàn)，可以是極限荷載包絡(luò)線(xiàn)，也可以是安定荷載包絡(luò)線(xiàn)。明顯可知，圖中的L點(diǎn)為穩(wěn)定狀態(tài)（靜力安全或動(dòng)力安定），若沿著LA方向增大豎向荷載或沿著LB方向增大水平荷載，或者沿LC方向同時(shí)增大兩個(gè)荷載分量，都可以使結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，但不同的加載路徑所引起的結(jié)構(gòu)破壞形式各有不同：沿著LA方向加載所發(fā)生的破壞為豎向承載力破壞，沿LB方向加載所發(fā)生的破壞為滑動(dòng)破壞，而沿LC方向加載所引起的為混合破壞。由此可知，對(duì)于任意荷載狀態(tài)，使得結(jié)構(gòu)發(fā)生整體破壞的加載路徑有多種方式，依據(jù)結(jié)構(gòu)的初始荷載狀態(tài)及加載路徑的可能變化，相應(yīng)的，結(jié)構(gòu)也將具有不同的破壞形式。高速鐵路結(jié)構(gòu)承受著復(fù)雜的列車(chē)荷載作用，基于安定荷載包絡(luò)圖，由外荷載在荷載空間中可能的變化形式及加載路徑，確定結(jié)構(gòu)在各種荷載組合情況下的最可能的破壞模式，由此可以全面評(píng)價(jià)高速鐵路結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，并根據(jù)荷載條件提出相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

圖5 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定包絡(luò)圖Fig.5 Envelope diagram for stability evaluation of foundation under complex loading pattern

3.2 內(nèi)摩擦角對(duì)安定荷載的影響規(guī)律

圖6 （a）為道床內(nèi)摩擦角不同情況下安定荷載豎直和水平分量的包絡(luò)圖，當(dāng)荷載組合位于包絡(luò)線(xiàn)以?xún)?nèi)時(shí)，結(jié)構(gòu)處于安定狀態(tài)。對(duì)于任意給定的道床內(nèi)摩擦角，其包絡(luò)圖始終是外凸的，包絡(luò)圖中存在“最優(yōu)”道床內(nèi)摩擦角，使得安定荷載包絡(luò)圖處于最外圍。當(dāng)小于“最優(yōu)”道床內(nèi)摩擦角時(shí)，隨著道床內(nèi)摩擦角的增大，包絡(luò)線(xiàn)不斷向外擴(kuò)大；而當(dāng)?shù)来矁?nèi)摩擦角大于“最優(yōu)”道床內(nèi)摩擦角時(shí)，安定荷載包絡(luò)圖反而隨著道床內(nèi)摩擦角的增大而向內(nèi)收縮。摩擦系數(shù)μ能夠較為明顯地降低結(jié)構(gòu)靜力安定荷載，當(dāng)摩擦系數(shù)μ由0.0增大到0.5時(shí)，結(jié)構(gòu)的靜力安定荷載減小了61%～77%.根據(jù)荷載包絡(luò)圖，在給定的荷載條件下，可以通過(guò)調(diào)整道床結(jié)構(gòu)的內(nèi)摩擦角使得結(jié)構(gòu)在外荷載作用下達(dá)到安定狀態(tài)。

3.3 彈性模量比對(duì)安定荷載的影響規(guī)律

圖6 不同因素對(duì)安定荷載包絡(luò)圖的影響規(guī)律Fig.6 Influence of factors on on the envelope diagrams of shakedown loads

對(duì)于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)而言，道床與基床的彈性模量比并非越大越好，由圖6（b）可知，當(dāng)彈性模量比等于“最佳”彈性模量比時(shí)，結(jié)構(gòu)具有最大的承載能力，所對(duì)應(yīng)的荷載包絡(luò)線(xiàn)位于包絡(luò)圖的最外側(cè)，當(dāng)小于該值時(shí)，隨著彈性模量比的增大，荷載包絡(luò)線(xiàn)不斷向外擴(kuò)大；而大于該值時(shí)，由于道床和基床表層的剛度差異增大，荷載包絡(luò)線(xiàn)不斷向內(nèi)收縮。對(duì)于某一給定的荷載組合，可根據(jù)荷載包絡(luò)圖，增大或者減小彈性模量比，使得結(jié)構(gòu)恰好處于安定狀態(tài)，在盡可能保證結(jié)構(gòu)安全穩(wěn)定的前提下，最大程度發(fā)揮其塑性潛力，節(jié)省工程造價(jià)。

3.4 厚度比對(duì)安定荷載的影響規(guī)律

道床和基床表層的厚度比對(duì)結(jié)構(gòu)安定荷載包絡(luò)圖的影響規(guī)律如圖6（c）所示，道床和基床表層的總厚度為1.4m，分析中同時(shí)改變道床和基床表層的厚度使之達(dá)到要求的厚度比。由圖可知，對(duì)道床-路基結(jié)構(gòu)中安定荷載的影響存在一個(gè)臨界的道床和基床表層厚度比，當(dāng)?shù)来埠穸刃∮谠撆R界值時(shí)，結(jié)構(gòu)的靜力安定荷載隨著道床厚度的增大而增大；而當(dāng)?shù)来埠穸却笥谠撆R界值時(shí)，繼續(xù)增大道床厚度對(duì)結(jié)構(gòu)承載力基本上沒(méi)有影響。當(dāng)?shù)来才c基床表層的厚度比大于3∶7時(shí)，結(jié)構(gòu)安定荷載的包絡(luò)線(xiàn)重合，而在小于該比值時(shí)，結(jié)構(gòu)的安定荷載包絡(luò)線(xiàn)隨著比值的增大不斷向外擴(kuò)張。由此可知，在某一荷載條件下，基于經(jīng)濟(jì)性的考慮，通過(guò)調(diào)整道床和基床表層的厚度比可以大幅提高高速鐵路結(jié)構(gòu)的承載力。

4 結(jié)論

1）在任意給定的摩擦系數(shù)情況下，始終存在“最佳”的道床摩擦角、道床與基床表層的厚度比和彈性模量比，使得道床-路基結(jié)構(gòu)在外荷載作用下具有最優(yōu)的承載性能。

2）引入安定荷載包絡(luò)圖的概念，可以給出在某一結(jié)構(gòu)組合和材料參數(shù)情況下道床-路基結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載組合，對(duì)既有高速鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)承載性能的安全性評(píng)價(jià)提供參考。

3）在某一荷載組合條件下，可以通過(guò)調(diào)整道床-路基結(jié)構(gòu)的厚度比、彈性模量比和道床的內(nèi)摩擦角等，使得結(jié)構(gòu)在該荷載作用下恰好處于安定狀態(tài)，以達(dá)到高速鐵路道床-路基結(jié)構(gòu)累積塑性變形控制的目的，且在滿(mǎn)足安全性和穩(wěn)定性的前提下，最大程度地發(fā)揮材料的塑性潛力，節(jié)省工程造價(jià)。