基于固定時(shí)間收斂的終端角約束滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

張曉宇，張 鵬，鄭 鑫，倪元華

(1. 南開大學(xué)人工智能學(xué)院,天津 300350； 2. 哈爾濱工程大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001； 3. 上海航天技術(shù)研究院，上海 201109)

0 引 言

隨著技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代戰(zhàn)爭對導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的要求也不斷提高，不僅希望導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的脫靶量最小，而且要求導(dǎo)彈以指定的角度攔截目標(biāo)以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)最大的摧毀效果。為了滿足特殊制導(dǎo)任務(wù)的需求，需要對帶有終端角約束的制導(dǎo)律進(jìn)行進(jìn)一步研究[1]。比例導(dǎo)引法由于其結(jié)構(gòu)簡單、便于應(yīng)用的特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于帶有終端角約束的制導(dǎo)方法中[2-3]。然而，比例導(dǎo)引法對于大機(jī)動目標(biāo)的攔截，不能達(dá)到所要求的攔截精度。

變結(jié)構(gòu)控制由于其能有效抑制系統(tǒng)不確定性而被廣泛應(yīng)用于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中[4-5]。由于導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的末制導(dǎo)階段時(shí)間短，因此提出了一些基于變結(jié)構(gòu)滑模控制的有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律[6-8]。但是這些制導(dǎo)律的收斂時(shí)間依賴導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，如果制導(dǎo)系統(tǒng)的初始狀態(tài)選擇不當(dāng)會導(dǎo)致制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)收斂時(shí)間無窮大。

針對上述問題，本文提出一種基于固定時(shí)間收斂的終端角度約束滑模制導(dǎo)律[9]，針對目標(biāo)機(jī)動，設(shè)計(jì)一種固定時(shí)間收斂的擾動觀測器，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)擾動的固定時(shí)間估計(jì)，并在此基礎(chǔ)上證明了制導(dǎo)系統(tǒng)的固定時(shí)間穩(wěn)定特性。

1 數(shù)學(xué)建模

假設(shè)導(dǎo)彈與目標(biāo)均為質(zhì)點(diǎn)，則導(dǎo)彈與目標(biāo)的平面作戰(zhàn)運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。M和T代表導(dǎo)彈和目標(biāo)，vM與vT代表導(dǎo)彈與目標(biāo)的速度，aM與aT代表導(dǎo)彈與目標(biāo)的加速度，θM與θT代表導(dǎo)彈與目標(biāo)的航跡角，r與q分別代表彈-目的相對距離和視線角。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)的平面作戰(zhàn)相對關(guān)系Fig.1 The planar engagement between missile and target

不失一般性，設(shè)計(jì)制導(dǎo)律時(shí)引入如下假設(shè)：

1) 假設(shè)1：在末制導(dǎo)階段，導(dǎo)彈與目標(biāo)的速度大小不變。

2) 假設(shè)2：導(dǎo)彈與目標(biāo)的導(dǎo)引頭和執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)特性是理想的，即不考慮控制指令延遲。

則導(dǎo)彈與目標(biāo)在極坐標(biāo)系下的相對運(yùn)動方程如式(1)所示[10]。

(1)

(2)

(3)

本文的目的是設(shè)計(jì)制導(dǎo)律aM，在保證導(dǎo)彈有較小的脫靶量的同時(shí)，狀態(tài)變量x1和x2在有界的有限時(shí)間內(nèi)收斂到足夠小且接近于零的鄰域。技術(shù)上講，當(dāng)r∈[rmin,rmax]時(shí)，導(dǎo)彈可以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的碰撞攔截，其中rmin和rmax代表較小的正常數(shù)。

2 定義及引理

定義1： 考慮式(4)所示非線性系統(tǒng)

(4)

式中：x∈Rn是狀態(tài)，f(x(t)):D→Rn是非線性函數(shù)。如果式(4)表示的系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的并且收斂時(shí)間T(x0)∈R一致有界，若存在正常數(shù)Tmax滿足T(x0)≤Tmax,?x0∈Rn，那么式(4)表示的系統(tǒng)是固定時(shí)間穩(wěn)定的[13]。

引理1[9]： 設(shè)計(jì)如式(5)所示的系統(tǒng)，即

(5)

(6)

(7)

對式(7)所描述的非線性導(dǎo)彈-目標(biāo)動力學(xué)構(gòu)造一個(gè)三階固定時(shí)間擾動觀測器

(8)

(9)

3 固定時(shí)間收斂的終端角約束制導(dǎo)律設(shè)計(jì)與分析

非奇異固定時(shí)間收斂滑模面設(shè)計(jì)如式(10)所示。

(10)

φ(x1)=

(11)

(12)

式中：p1和q1是兩個(gè)正奇數(shù)滿足q1>p1；l1=(2-p1/q1)εp1/q1-1,l2=(p1/q1-1)εp1/q1-2，并且ε是一個(gè)充分小的正常數(shù)。

定理1： 針對式(3)所示系統(tǒng)，設(shè)計(jì)式(10)固定時(shí)間收斂滑模面，考慮式(8)設(shè)計(jì)的固定時(shí)間擾動觀測器，設(shè)計(jì)制導(dǎo)律為

(13)

φ(x1)=

(14)

由此可得：

1) 滑模變量固定時(shí)間內(nèi)收斂于

(15)

2)狀態(tài)變量固定時(shí)間內(nèi)收斂于

(16)

固定時(shí)間T將在證明中給出。

證明：考慮如下李雅普諾夫函數(shù)

V=s2

(17)

對式(17)進(jìn)行微分并代入式(3)，可得

(18)

將式(13)制導(dǎo)律代入到式(18)，可得

(19)

式中，a1≤N(s)<1。

式(19)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為式(20)和(21)兩種形式，即

(20)

(21)

由式(20)可知，如果η1> 0，則式(20)的結(jié)構(gòu)與式(5)類似。因此，保證了滑模變量s固定時(shí)間收斂。滑模變量s將在固定時(shí)間內(nèi)收斂到以下區(qū)域

(21)

式(21)的分析與式(20)類似，可得滑模變量s將在固定時(shí)間內(nèi)收斂到以下區(qū)域

(22)

|s|≤Ψs=min{Ψs1,Ψs2}

(23)

固定時(shí)間Tr=max{Tr1,Tr2}。

當(dāng)非奇異固定時(shí)間收斂滑模變量s收斂到集合Ψs，需要對以下3種情況進(jìn)行分析。

情況一：

(24)

情況二：

(25)

式(25)可以改寫為

(26)

(27)

(28)

(29)

情況三：

(30)

綜合情況一、情況二和情況三，可以得到當(dāng)滑模變量s收斂到集合Ψs，狀態(tài)x1和x2將在固定時(shí)間Ts內(nèi)收斂區(qū)域，如式(31)所示。

(31)

因此，系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2將分別在固定時(shí)間內(nèi)收斂到集合Ψx1和集合Ψx2，固定時(shí)間T=Tr+Ts，證明完畢。

4 數(shù)值仿真

本章通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提制導(dǎo)律的有效性。仿真場景為單一導(dǎo)彈對單一目標(biāo)的攔截。導(dǎo)彈的初始位置xM=0 m，yM=0 m，速度vM=500 m/s；導(dǎo)彈航跡角θM=15°,30°,60°,90°,120°,150°；目標(biāo)的初始位置xT=10 000 m，yT=10 000 m，速度vT=250 m/s，航跡角θT=180°；目標(biāo)機(jī)動aT=8gsin(πt/10)，g=9.81 m/s2；期望終端視線角qd=40°；導(dǎo)彈的最大加速度20g。蒙特卡洛仿真條件：假設(shè)導(dǎo)彈的初始彈道角范圍為15°～150°并服從均勻分布，導(dǎo)彈其他條件與上述情況一致，進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真。

制導(dǎo)律參數(shù)為：m1=n1=9/7,p1=q1=7/9,k1=0.2,k2=0.2，γ1=0.15,γ2=0.2，a1=0.8,b1=7,c1=2,ε=0.01。

圖2～7分別給出了導(dǎo)彈和目標(biāo)彈道、視線角、視線角速率、滑模變量、導(dǎo)彈過載、蒙特卡洛仿真結(jié)果。

圖2 導(dǎo)彈和目標(biāo)彈道Fig.2 Trajectories of missile and target

圖3 視線角Fig.3 LOS angles

圖4 視線角速率Fig.4 LOS angular rates

圖5 滑模變量Fig.5 Sliding mode variables

圖6 導(dǎo)彈過載Fig.6 Missile overloads

圖7 蒙特卡洛仿真結(jié)果Fig.7 Monte Carlo simulation results

由圖2可以看出，所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律可以使得導(dǎo)彈在不同初始條件下均能成功攔截目標(biāo)。由圖3可以看出，在導(dǎo)彈不同初始條件下終端視線角可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到期望值。由圖4可以看出，在導(dǎo)彈不同初始條件下視線角速率可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到零，固定時(shí)間約為15 s。圖5可以看出，所設(shè)計(jì)的滑模變量在導(dǎo)彈不同初始條件下可以在固定時(shí)間收斂到零，固定時(shí)間約為10 s。圖6可以看出，導(dǎo)彈的過載均在最大允許范圍內(nèi)，且在末制導(dǎo)段不存在由于目標(biāo)機(jī)動引起的抖振和峰值現(xiàn)象。圖7可以看出，導(dǎo)彈在不同初始條件下對目標(biāo)攔截的脫靶量均小于0.6 m。因此，本文提出的制導(dǎo)律在不考慮初始系統(tǒng)狀態(tài)的一定條件下，可實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)和滑模變量固定時(shí)間收斂，對未知機(jī)動目標(biāo)具有強(qiáng)魯棒性，并且在終端角約束條件下可以精確地?cái)r截目標(biāo)。

5 結(jié)束語

本文提出了一種固定時(shí)間收斂的終端角約束滑模制導(dǎo)律，可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，并且閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)收斂時(shí)間的上界在一定條件下與制導(dǎo)系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)。通過采用固定時(shí)間擾動觀測器對集成不確定性進(jìn)行補(bǔ)償，導(dǎo)彈加速度不存在由機(jī)動目標(biāo)引起的抖振和峰值現(xiàn)象。通過大量的數(shù)值模擬，對所提出的制導(dǎo)律進(jìn)行了性能檢驗(yàn)。所提制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)對不同初值制導(dǎo)系統(tǒng)的固定時(shí)間收斂，對未知目標(biāo)機(jī)動具有強(qiáng)魯棒性和較高的制導(dǎo)精度及較小的視線角跟蹤誤差。