基于區(qū)間Orthopair模糊Heronian測度的多屬性群決策方法

陳艷如，王潤瑋，林志超，徐 鑫，周禮剛

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

多屬性決策問題中通常會存在一定的模糊性和不確定性，使得對問題的評價或決策不夠精準(zhǔn)。為了描述事物的模糊性，在不確定環(huán)境下準(zhǔn)確地評價問題，ZADEH[1]提出了模糊集理論。ATANASSOV[2]則提出了直覺模糊集的概念，在[0,1]區(qū)間上用隸屬度和非隸屬度描述事物。YAGER[3]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集的概念，以[0,1]區(qū)間上隸屬度與非隸屬度的平方之和小于1來刻畫事物特征。但有時會出現(xiàn)平方和大于1的情況，例如0.72+0.92>1。在此基礎(chǔ)上，YAGER[4]又提出了Orthopair模糊集的概念，以[0,1]區(qū)間上隸屬度與非隸屬度的q次方之和小于1來度量事物的模糊性。隨后，JU等[5]提出了區(qū)間Orthopair模糊集，更加細(xì)致地度量了模糊性問題。

解決Orthopair模糊環(huán)境下的多屬性群決策問題時，有時需要考慮屬性之間存在的相關(guān)關(guān)系，并對已知的信息進(jìn)行集成。王軍等[6]利用Maclaurin對稱平均算子集結(jié)模糊信息，提出了基于廣義正交模糊集結(jié)算子的多屬性決策方法。LIANG等[7]在貝葉斯決策的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了Orthopair模糊決策粗糙集的基本模型，推理出了相應(yīng)的三支決策方法。LIU等[8]將屬性之間的相互關(guān)系與Heronian平均相結(jié)合，提出了Heronian平均算子及其加權(quán)形式。陳雯等[9]基于Theil不等系數(shù)提出梯形模糊相似測度，構(gòu)建以梯形模糊相似測度最大化為目標(biāo)的最優(yōu)化模型獲取屬性的權(quán)重。關(guān)于兩個Orthopair模糊向量之間的測度研究，LIU等[10]用余弦相似測度和歐式距離度量兩向量間距離。

在解決區(qū)間Orthopair模糊環(huán)境中的復(fù)雜問題時，有學(xué)者針對實際問題提出了相應(yīng)的相似測度和決策方法。如BELIAKOV等[11]提出的Heronian平均算子是一個經(jīng)典的集成算子，但是Heronian平均算子還尚未被運(yùn)用于描述區(qū)間Orthopair模糊信息的集成。劉煥章等[12]對Heronian平均算子進(jìn)行了推廣，提出了廣義Heronian平均算子，將其與OWA算子相結(jié)合應(yīng)用于銀行對企業(yè)投資決策的實際問題中。劉衛(wèi)鋒等[13]提出了廣義加權(quán)Heronian平均算子、三參量Heronian平均算子及其加權(quán)形式，并推廣到語言決策中。

基于上述研究，筆者先定義了一種區(qū)間Orthopair模糊向量之間的加權(quán)余弦相似測度，并將其與廣義Heronian平均加權(quán)算子相結(jié)合，提出一種新的區(qū)間Orthopair模糊Heronian測度，通過研究該測度方法的性質(zhì)，最終提出一種基于區(qū)間Orthopair模糊Heronian測度的多屬性群決策方法。

1 基本概念

定義1設(shè)X為一論域，稱I={〈x,μI(x),vI(x)〉|0≤μI(x)+vI(x)≤1,x∈X}為X上的一個直覺模糊集。其中，映射μI:X→[0,1],x→μI(x)表示X中的元素x屬于集合I的隸屬度，映射vI:X→[0,1],x→vI(x)表示X中的元素x屬于集合I的非隸屬度。

定義5設(shè)a=([μL,μU],[vL,vU])為一區(qū)間Orthopair模糊數(shù)，可定義如下得分函數(shù)S(a)和精確函數(shù)P(a)：

(1)

(2)

由上述定義可以看出，0≤S(a)≤1,0≤P(a)≤1。得分函數(shù)值或精確函數(shù)值越大，說明相對應(yīng)的區(qū)間Orthopair模糊數(shù)越大。特別地，當(dāng)a=([1,1],[0,0])時，S(a)=1；當(dāng)a=([0,0],[1,1])時，S(a)=0。采用文獻(xiàn)[5]給出的定理對區(qū)間Orthopair模糊數(shù)的大小進(jìn)行比較。

在多屬性群決策問題中，屬性之間有時會存在某些關(guān)系，而廣義Heronian加權(quán)平均算子則是度量這些關(guān)系的一個十分有用的工具。

(3)

2 區(qū)間Orthopair模糊Heronian測度

CIVqOF(α,β)=

(4)

定理2設(shè)X為一論域，α=(a1,a2,…,am),β=(b1,b2,…,bm)為兩個區(qū)間Orthopair模糊向量，則α和β之間的余弦相似測度CIVqOF(α,β)滿足以下性質(zhì)。①有界性：0≤CIVqOF(α,β)≤1；②交換性：CIVqOF(α,β)=CIVqOF(β,α)；③自反性：CIVqOF(α,β)=1，當(dāng)且僅當(dāng)α=β時成立。

在對模糊數(shù)進(jìn)行集結(jié)的過程中，不同的模糊數(shù)可能會對應(yīng)不同的權(quán)重，因此區(qū)間Orthopair模糊環(huán)境下的加權(quán)余弦測度可定義為：

WCSIVqOF(α,β)=

(5)

定理3設(shè)X為一論域，α=(a1,a2,…,am),β=(b1,b2,…,bm)為兩個區(qū)間Orthopair模糊向量，則α和β之間的加權(quán)余弦相似測度WCSIVqOF(α,β)滿足以下性質(zhì)。①有界性：0≤WCSIVqOF(α,β)≤1；②交換性：WCSIVqOF(α,β)=WCSIVqOF(β,α)；③自反性：WCSIVqOF(α,β)=1，當(dāng)且僅當(dāng)α=β時成立。

在多屬性群決策問題中，通常需要考慮多個模糊向量與一個模糊向量或者多個模糊向量與多個模糊向量之間的關(guān)系。因此，可將問題轉(zhuǎn)化成考量兩個由模糊向量組成的模糊矩陣之間的相似測度。在集成多個模糊向量之間的相似測度時，考慮到不同的模糊向量對問題的影響程度不同，運(yùn)用廣義加權(quán)Heronian平均算子對相似測度進(jìn)行集結(jié)。

(6)

3 基于IVqOFWHCS測度的多屬性群決策方法

(2)因?qū)傩苑譃槌杀拘秃托б嫘蛢煞N，故需要對決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，如式(7)所示。

(7)

(8)

(9)

(6)利用IVqOFWHCS測度集結(jié)加權(quán)余弦相似測度，得到備選方案Fk的綜合評價值rk(k=1,2,…,p)：

(10)

(7)對各個備選方案的綜合評價值rk由大到小進(jìn)行排序，得到最優(yōu)方案。

4 案例分析與比較

4.1 實例分析

某公司為宣揚(yáng)公司文化，決定建立一個帶有其特色文化的小鎮(zhèn)，筆者將基于IVqOFWHCS測度的多屬性群決策方法，解決該公司建立特色文化基地的選址問題，以考量基于IVqOFWHCS測度的多屬性群決策方法的合理性和實用性。已知4個選址的備選方案集F={F1,F2,F3,F4}，屬性集U={U1,U2,U3}，即從地理位置(U1)、文化氛圍(U2)、交通便利程度(U3)3個方面對選址進(jìn)行考量，并假設(shè)q=3。

(1)3位決策者Dj(j=1,2,3)在每個屬性下對4個選址方案進(jìn)行評價，以[0,1]區(qū)間形式給出方案的滿意度和不滿意度，從而構(gòu)成了3個評價矩陣A(1),A(2),A(3)，分別如表1～表3所示。

表1 決策者D1給出的評價矩陣A(1)

表2 決策者D2給出的評價矩陣A(2)

表3 決策者D3給出的評價矩陣A(3)

(3)利用式(8)計算評價矩陣中每個評價值的得分值，得到每個決策者評價值的得分矩陣S(1),S(2),S(3),分別如表4～表6所示。

表4 決策者D1評價值的得分矩陣S(1)

表5 決策者D2評價值得的分矩陣S(2)

表6 決策者D3評價值的得分矩陣S(3)

表7 決策者的理想評價矩陣

(6)設(shè)決策者的權(quán)重為ω1=0.3,ω2=0.4,ω3=0.3，利用IVqOFWHCS測度集結(jié)加權(quán)余弦相似測度。并設(shè)φ=φ=1/3，得到各備選方案Fk的綜合評價值rk，即r1=0.273 1,r2=0.082 4,r3=0.207 4,r4=0.314 3。

(7)對各個備選方案的綜合評價值從大到小進(jìn)行排序，得到r4>r1>r3>r2，故最優(yōu)方案為F4，該公司應(yīng)按照方案F4為特色文化基地選址。

4.2 靈敏度分析

為了分析參數(shù)q、φ、φ對決策結(jié)果的影響，筆者進(jìn)行參數(shù)的靈敏度分析。通過固定和更改參數(shù)值，考量參數(shù)值的變動對該案例中最優(yōu)備選方案決策的影響。

(1)當(dāng)φ、φ值不變時，考察q值變化對綜合評價值的影響。令φ=φ=1/3，利用Matlab編程并繪制不同q值下方案綜合評價值的變化圖,如圖1所示。從圖1可以看出，隨著q值的逐漸增大，方案的綜合評價值逐漸減小并趨近一個定值，備選方案F4的綜合評價值始終高于其他方案，始終為最優(yōu)方案。

圖1 不同q值下方案綜合評價值的變化圖

(2)當(dāng)q值不變時，考察φ、φ值變化對綜合評價值的影響。令q=3,利用Matlab編程并繪制不同φ、φ下各方案綜合評價值的變化圖，如圖2所示。從圖2可以看出，隨著參數(shù)值φ、φ的不斷變大，方案的綜合評價值不斷增大，但最終評價值均趨于穩(wěn)定。

圖2 不同φ、φ下各方案綜合評價值的變化圖

(3)當(dāng)q、φ、φ值同時變動時，選取部分參數(shù)值代入Matlab程序中進(jìn)行計算，得到不同q、φ、φ值下綜合評價值的變化情況，如表8所示。從表8可以看出，備選方案F4的綜合評價值仍然顯著高于其他方案，方案的排序沒有變動。

表8 不同q、φ、φ值下綜合評價值的變化情況

由上述結(jié)果可知，參數(shù)φ、φ的變動會對方案的綜合評價值造成影響。當(dāng)φ、φ取值較大時屬性之間關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，此時φ、φ取值對信息集成的結(jié)果影響不大，故方案排序趨于穩(wěn)定。參數(shù)q值的變動也會對結(jié)果造成影響，但隨著q值的增大，方案的排序也是趨于穩(wěn)定的。在解決實際問題時，決策者應(yīng)適當(dāng)選取參數(shù)，但不建議選用過大或過小的參數(shù)。

4.3 比較分析

(1)將文獻(xiàn)[14]～文獻(xiàn)[16]中的算子應(yīng)用于上述案例中，計算各方案的綜合評價值并進(jìn)行排序，得到的結(jié)果如表9所示。通過結(jié)果的對比分析可知，IVqOFWHCS測度、IPFOWCS測度、q-RIVOFWMSM測度和q-RIVOFWHM測度選出的最優(yōu)方案均為F4,而q-RIVOFWDMSM測度和q-RIVOFDHM測度選出的最優(yōu)方案為F1。不同的算子采用了不同的集結(jié)方法，但計算出F1和F4兩方案的綜合評價值十分接近，皆可稱為最優(yōu)備選方案。

表9 不同算子下各方案的綜合評價值及排序

在決策過程中通常假設(shè)屬性之間是相互獨(dú)立的，如文獻(xiàn)[12]中所運(yùn)用的OWA算子。但實際中屬性之間可能存在關(guān)系，故由此對最優(yōu)方案的決策并不準(zhǔn)確。而筆者所提出的廣義Heronian平均算子充分考慮了屬性之間的相互作用，決策者可以根據(jù)偏好，主觀輸入?yún)?shù)值，得到最優(yōu)方案。文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]所使用的算子均考慮了屬性之間的相互作用，得出的結(jié)果與IVqOFWHCS測度計算出的結(jié)果一致，驗證了筆者所提出的基于IVqOFWHCS測度的多屬性群決策方法的有效性。

(2)將IVqOFWHCS測度與文獻(xiàn)[17]中VIKOR法的結(jié)果進(jìn)行比較。不同參數(shù)值時VIKOR法得到的最優(yōu)方案集合有{F2,F3,F4},{F1,F3,F4},F4，而IVqOFWHCS測度下最優(yōu)方案為F4，兩種方法得到的結(jié)果略有不同，造成差異的原因是這兩種方法對問題進(jìn)行決策的側(cè)重點(diǎn)不同。兩者均考慮了屬性之間關(guān)聯(lián)程度對決策的影響，但在考慮模糊測度問題時，VIKOR法利用理想解概念對決策者的評價值進(jìn)行篩選，并由此計算屬性權(quán)重和方案評價值，在計算上略顯繁瑣。而IVqOFWHCS測度利用加權(quán)余弦相似測度來刻畫兩個向量之間的模糊測度，具有直觀的幾何意義，原始信息利用率高，減小了信息損失。利用廣義Heronian平均算子對模糊測度進(jìn)行集結(jié)，參數(shù)取值靈活使得能夠較全面地考慮實際問題，這也是筆者所提出方法的先進(jìn)之處。

5 結(jié)論

在區(qū)間Orthopair模糊環(huán)境下，研究了一種基于區(qū)間Orthopair模糊Heronian測度的多屬性群決策方法。該方法利用加權(quán)余弦相似測度刻畫模糊向量間測度，減少了信息損失，并基于廣義Heronian平均算子對相似測度進(jìn)行集結(jié)，考慮了屬性間關(guān)聯(lián)程度對于決策的影響。通過實證分析和不同測度方法的對比分析，驗證了該方法的有效性和先進(jìn)性。