初中數(shù)學教師推理教學信念的個案分析*

杜宵豐 趙家鋒 周達 劉堅

摘? ?要? ?各個國家和地區(qū)的學校教育都面臨數(shù)學推理教學難的問題。本研究運用質(zhì)性研究方法，通過對一位初中數(shù)學教師的訪談，嘗試對其數(shù)學推理教與學的觀念進行深入探討和分析。研究表明，數(shù)學推理的教與學應讓學生體驗推理的生成過程，培養(yǎng)學生的“反權威”意識，營造猜想-證明的課堂情境。

關鍵詞? ?推理? 觀念? 教師? 教學? 學習

一、研究背景

數(shù)學推理是“做”數(shù)學的核心。一方面推理的過程代表了通過舊知識獲得新知識的有效途徑，另一方面推理中所涉及的不同概念與原理之間的相互關系，發(fā)展了人們對數(shù)學知識的理解。近年來不同國家和地區(qū)的數(shù)學教育均重視數(shù)學推理的課程編排[1]。尤其是在美國，學校數(shù)學教育原則和標準以及州共同核心數(shù)學課程標準的發(fā)布都顯著提升了推理在學校數(shù)學中的地位，將其作為K-12年級數(shù)學教育的一條學習主線[2-3]。盡管數(shù)學推理日益受到人們的重視，但來自不同國家和地區(qū)的研究表明，中學生的數(shù)學推理能力存在諸多不足[4-6]，而教師卻普遍面臨數(shù)學推理難教的窘境[7]。因此需要更多的實證研究來提高推理在課堂中的作用，探索如何支持教師的教學工作才能有效發(fā)展學生的推理能力[8]。在我國，自1951年《中學數(shù)學科課程標準（草案）》首次提出“培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、判斷、推理等科學習慣”[9]，到2012年《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確將推理能力作為數(shù)學課程的十個核心詞之一，并指出義務教育階段要引導學生積極參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動，注重學生思考的條理性，而不過分強調(diào)推理的形式[10]。半個多世紀的課程變革對推理內(nèi)容的要求不斷發(fā)展和完善，以往的數(shù)學推理教學觀念隨著課改的逐步深入正在被新的教學觀念所替代，那么當下初中數(shù)學教師的推理教學觀念實際情況到底是怎樣的，引發(fā)了研究者的深入思考。

二、研究方法

本研究是一項個案研究，通過現(xiàn)場訪談收集了一位初中數(shù)學教師推理教學與學習觀念的質(zhì)性數(shù)據(jù)，嘗試揭示其在數(shù)學推理教學實踐上的潛在特質(zhì)。

1.研究對象的選擇

我國H市515名初中數(shù)學教師參與了北京師范大學區(qū)域監(jiān)測項目中有關數(shù)學推理知識的問卷調(diào)查，49 658名八年級學生參加了有關數(shù)學推理的能力測試。通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，H市W中學的學生數(shù)學推理能力得分很高，并且該校教師的數(shù)學推理知識掌握扎實（已有研究指出教師的數(shù)學推理知識是影響其推理教學的一個關鍵因素[11]）。因此，研究者在地方教研員的幫助下，選擇了該校一位具有近20年教齡的數(shù)學女教師（簡稱L老師）作為深度訪談的對象。

2.資料收集

研究采用半結構式訪談的方式來收集信息，因為半結構式訪談比結構式訪談能收集到更廣泛的資料。訪談前，研究者根據(jù)研究目的與已有研究中的訪談工具[12]，事先設計出訪談提綱作為訪談的提示。訪談依托于提綱，但又不局限于提綱，只要在本研究的主題范圍內(nèi)，研究者都會允許對方自由暢言。研究采用直接訪談的方式，也就是面對面訪談，地點選擇在L老師所在學校的會議室進行，以便錄音和現(xiàn)場記錄。

3.資料分析

首先，依據(jù)訪談問題中的推理教學與學習這兩個方面進行初步歸類，但在分析過程中，發(fā)現(xiàn)教師在談到教學時也會涉及學生學習的相關內(nèi)容，二者混在一起，因此將教師教與學兩方面的觀念進行合并，統(tǒng)稱為教師的推理教學與學習觀念。其次，將原始材料按照不同的、有意義的主題切割成小的段落，即分析單位，再根據(jù)分析單位的前后順序以阿拉伯數(shù)字依次編號，比如編碼L-6表示L老師的第6個分析單位。最后，將材料編碼后，根據(jù)各分析單位中的核心字詞進行分類，經(jīng)過取舍和修改后逐漸形成分析主題，并最終完成數(shù)據(jù)分析。

三、結果與分析

關于L老師的數(shù)學推理教學與學習觀念，她首先強調(diào)了課上與課下學習相結合，以此拓展學生數(shù)學推理的學習機會。

“我每天布置的作業(yè)并不多，不想給學生造成太多的課業(yè)負擔，但我很重視學生課下學習的情況。課下學習不是讓學生死記硬背地去掌握一些解題技巧，而是調(diào)動學生去探索某種問題背后的思想方法，內(nèi)容本身不局限在已經(jīng)學過的內(nèi)容里，可能涉及新內(nèi)容，或一些生活素材，因此學生需要自己去查閱一些資料才能得出答案（L-3）?！蓖瑫r，“允許學生采用自己喜歡的方式去呈現(xiàn)探索的結果，可以采用紙筆畫圖、具體例子等多種表達形式（L-5）。這樣在課堂上學生也會有更多的時間進行小組或班級的互動與交流，因為課堂時間緊張一直是我們老師面對的一個老大難問題（L-6）。”

由上可以看出，L老師充分利用學生在課下的學習時間，以彌補課上學習時間的緊張。其中L老師提到了學生對推理的獨立探究，以及與大家互動交流這兩個重要的方面，所以研究者就這兩個方面對L老師進行了連續(xù)追問，發(fā)現(xiàn)L老師在推理教學上的兩個重要觀點。

一個觀點是L老師認為個體的獨立推斷至關重要，即學生通過自己的努力尋找證據(jù)，推理出所有的核心結論。

“在日常教學中，我通常呈現(xiàn)給學生正確未知的命題，在這種不確定的情況下，引導學生做出猜測，激發(fā)他們學習的積極性（L-8）。我一般不會直接在黑板上板書完整的推理過程，不著急為學生提供標準答案，因為推理是靈活多變的，它沒有固定的解題套路，所以我覺得推理的學習不能以老師教為主，要讓學生自己主動去嘗試、去體會、去思考（L-10）。當班里的學生從各自不同的角度摸索出推理思路時，我的任務就是及時‘扶正學生的思考方向，根據(jù)不同學生的表現(xiàn)點出他們合理的地方和不合理的地方，了解學生的真實想法，再進一步拓展他們的想法（L-15）。”

另一個觀點是L老師注重個體與個體間的合作推理，即多個學生通過討論與互動共同構思推理的過程，在交互行為的作用下改善推理方案。

“面對比較難的推理題，學生往往出現(xiàn)思維混亂的情況，比如搞不清楚其中的因果關系（L-26）。根據(jù)條件可能會得到很多推論，但這些推論對解決問題不一定都有用，如何選出有用的推論，并將它們連貫地組織起來，這是教學難點（L-28）。在我的班上一般將學生分為4人左右的學習小組，由學習好的學生擔任小組長，對小組合作起到帶動作用（L-29）。有時我會提出小組討論的問題，有時是各小組提出討論問題（L-33）。通過小組互動的合作學習，學生的想法可能會受到他人影響，也可能會影響他人，學生之間相互交流和啟發(fā)，在合作解決問題中逐漸知道好的推理方法是什么，自己的思路又有哪些不足。久而久之，學生的語言表達和推理技巧都會得到提高（L-34）?！?/p>

顯然，L老師的推理教學表現(xiàn)出個體與社群的雙重性。但L老師進一步指出學生個體或小組在得到結果后，常常依賴教師等外部權威去確定推理的有效性，這與Harel和Sowder（1998）的研究發(fā)現(xiàn)一致，即學生會質(zhì)疑自己已經(jīng)證明出來的結論，直到有權威人士告訴他們推理是正確的，他們才能夠信服[13]。因此在課堂教學中，L老師著重強化了學生對數(shù)學推理的理解和批判，即重視對推理方法本身的辯護。

“我在班上時，經(jīng)常有學生找我確認他們的答案是否正確。在很多情況下，他們的解答完全沒有問題，在和他們的討論中，我發(fā)現(xiàn)他們明明做對了，但只有得到我的認可，他們才會結束這道題的思考，再去想其他題目（L-46）。為了改善這種情況，在課堂上當有學生表述自己的思路時，我有時會要求學生在練習本上邊聽邊記下這個同學的主要想法，也會要求個別學生在黑板上寫，這是為了引導他們?nèi)ダ斫鈩e人的觀點。我自己也會非常仔細地去聽，發(fā)現(xiàn)其中暗含的一些思路，組織學生之間通過說理去反駁別人或堅持自己的主張，培養(yǎng)學生對‘為什么是這樣的求知欲（L-49）。逐步讓學生擺脫對外部力量的依賴，使得他們能夠靠自己的理性思考去看待各種觀點（L-50）?！?/p>

為了豐富學生的推理活動經(jīng)驗，L老師認為要同時兼顧形式化和非形式化兩種推理模式，更要注重提高學生推理的策略性知識。

“數(shù)學的嚴謹性常常要求學生的推理要列式子寫符號，但干巴巴的符號往往會加重學生推理學習的負擔。推理本身就難學，如果再過分強調(diào)這些格式，會讓孩子徹底喪失推理學習的興趣（L-53）。適當放寬嚴謹性的要求，允許學生使用圖像、日常語言等方式來表達推理。我覺得這很重要，因為這對于孩子來說往往更容易理解和接受（L-54）?！蓖瑫r，“作為老師，我在給學生講推理的時候也不都是符號和公式的，因為教材上已經(jīng)這樣呈現(xiàn)了，如果老師再這樣的話，容易使得學生養(yǎng)成只關注推理表面特征的習慣，卻忽視推理內(nèi)容本身，我更喜歡用一些通俗易懂的話解釋推理（L-59）。”并且，“我發(fā)現(xiàn)有的學生在做題時喜歡參考課本上的例題，或者模仿我講課時用到的方法，如果你讓學生說出為什么要這樣推理，學生往往很難解釋清楚，一般都是回憶相似的題目使用了這種方法，所以感覺應該使用這種方法（L-62）?！薄拔矣X得老師應該多與學生交流自己構思推理的心路歷程，讓學生了解為什么在做題時就用到了這樣的數(shù)學知識，根據(jù)怎樣的蛛絲馬跡完成了一步又一步的推理，這都是重要的做題經(jīng)驗（L-65）?！弊詈螅琇老師還特別考慮了影響學生推理學習的心理因素。

“推理題的邏輯性一般很強，沒有固定的方法去遵循，因此不管是在考試還是在平時的作業(yè)里推理題都是最難把握的（L-71）。學生有兩級分化的現(xiàn)象，喜歡推理的學生對推理題越發(fā)感興趣，不喜歡推理的學生常常因此產(chǎn)生對數(shù)學學習的害怕心理，如何提高學生這方面的心理承受力真的太重要了（L-73）。我覺得可以經(jīng)常的夸夸學生，鼓勵學生，努力發(fā)現(xiàn)學生的一些優(yōu)點（L-76）?！薄疤貏e是要注意推理學習由易到難的過度，比如在課堂上，可以通過實驗操作、畫圖的方式引出推理內(nèi)容，再比如我前面說到的不能把現(xiàn)成的推理結果告訴學生，少說這樣推，多說為什么這樣推，還有就是剛開始學習推理的時候，多讓學生做做簡單題，不要太強調(diào)推理技巧（L-79）?！?/p>

四、結論與討論

1.數(shù)學推理的教與學應讓學生體驗推理的生成過程

各個國家和地區(qū)的中學生在數(shù)學推理上面臨挑戰(zhàn)的一個關鍵因素就在于其缺乏足夠的推理知識，尤其是策略性知識[14]。比如很多學生不知道如何開始一個推理或者應該選擇哪些定理或性質(zhì)進行推理[15]，甚至有學生認為檢驗幾個特殊例子就足以確定命題為真[16]。具有這些迷思概念的學生歸根結底是由于他們的推理知識不充分，沒有認清推理的本質(zhì)所造成的。根據(jù)數(shù)據(jù)編碼的結果，L老師常常會通過生生互動或師生互動的方式精細化學生的推理方案。為了減少學生對形式化推理的過度記憶與模仿，她在課堂上采用解釋性的話語描述推理，并鼓勵學生使用圖像、日常語言等多種表征方式去解決問題，有助于規(guī)避學生僅關注推理表面特征的情況出現(xiàn)，使得他們能夠?qū)⒏嗟淖⒁饬性谕评韮?nèi)容本身。而且L老師習慣與學生交流推理的來龍去脈，這種向?qū)W生暴露思維過程的教學方式會展現(xiàn)思考中可能的彎路、嘗試性的失敗及修正的思考，體驗式的學習對深化學生對推理知識（尤其是策略性知識）的感性認識具有重要意義。此外，L老師將教學重心放在推理生成而不是結果導出的另一層重要意義在于，可進一步讓學生從內(nèi)心深處感受并相信，推理不是一揮而就的，即使是教師，在面對推理題時也不能馬上就步入解題的正軌，而需要不斷地嘗試與反思，從而增強學生數(shù)學推理的自信。

2.數(shù)學推理的教與學應培養(yǎng)學生的“反權威”意識

已有研究發(fā)現(xiàn)，訴諸權威的推理模式是學生普遍持有的一種錯誤的推理方式[13]。它表現(xiàn)在很多方面，其中一種表現(xiàn)是學生依賴于被告知解題步驟去解決問題。當進行推理時，學生期望被告知推理的思路而不是探索推理的過程。這種行為的潛在特征是將數(shù)學視為事實性結果的集合，不關注或很少關注結論真實性的來源。訴諸權威的第二種表現(xiàn)是學生在自己不認真解決問題的情況下或已經(jīng)正確解答的情況下尋求外部的幫助或確信。當這種情況發(fā)生時，只需要與學生進行一個簡短的討論或明確告知他們的解答是無誤的，他們才會意識到自己實際上已經(jīng)具備獨立解決問題的能力。訴諸權威的第三種表現(xiàn)是“定理”在學生推理過程中的作用，一旦一個命題被視為定理，一些學生推理該命題的努力、意愿和能力就會大打折扣，“定理”對學生來說似乎是應該遵守的而不是被推理或質(zhì)疑的。根據(jù)數(shù)據(jù)編碼的結果，L老師提到的外部權威應該屬于上述第二種表現(xiàn)。她為避免學生被動地依靠教師或教材等外部力量去接受推理，在授課時她注重強化學生對數(shù)學推理的評價能力，努力使學生學會理解他人的看法，并且能通過說理去說服或反駁別人，而非純粹的接受或記憶。這樣，學生雖然是從上（教師）至下的學習推理，但通過他們自己的探索活動和彼此的爭論反駁，確保了自身與外部權威之間的平等性。這無形中發(fā)展了他們“反權威”的意識，強化了學生的反思精神和理性思維能力。

3.數(shù)學推理的教與學應營造猜想-證明的課堂情境

很多學者指出，為了培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力，應該讓學生經(jīng)歷數(shù)學家“做”推理的完整過程，包括探索數(shù)學關系以識別有意義的模式、使用模式來形成猜想、通過新的證據(jù)來檢驗猜想、修訂猜想以排除反例，以及提供一般論證來確定猜想等等[17]。由此營造猜想—證明的課堂情境十分有利于學生對推理的全面理解。根據(jù)數(shù)據(jù)編碼的結果，L老師通常會在結論不確定的課堂情境中，引導學生進行探究和臆測，鼓勵學生敢于提問和質(zhì)疑，并進一步厘清自己的思路。學生有機會親身參與數(shù)學推理的獨立建構，也有機會通過彼此合作共同解決有意義的問題，這使得學生不僅能夠自己“悟”推理，也能在互動交流中不斷精準化自己的推理方案。因此，為了營造探索真知的課堂情境，教師應為學生提供探究性的學習任務，引導學生自行構建推理和品評他人推理，主動分享自己的看法，同時勇于回應他人的疑惑，真正做到以“理”服人。當下無論是在國內(nèi)還是國外，努力營造數(shù)學推理的課堂學習情境已經(jīng)得到學界的廣泛認可，但在實際操作層面還面臨很多挑戰(zhàn)。例如，教師需要知道如何運用恰當?shù)姆栿w系去向?qū)W生表達推理并幫助學生學會這種表達方式。唯有把這些元素揉進數(shù)學教學，形成推理的課堂學習規(guī)范，方能切實改善學生的邏輯思維。

參考文獻

[1] Schoenfeld A H.What do we know about mathematics curricula？[J]Journal of Mathematical Behavior，1994（01）.

[2] National Council of Teachers of Mathematics.Principles and standards for school mathematics[M].Reston，VA：National Council of Teachers of Mathematics，2000.

[3] National Governors Association，Council of Chief State School Officers.Common Core State Standards for Mathematics[EB/OL].（2010-03-06） [2018-12-20].http：//www.corestandards.org/Math/Con

tent/mathematics-glossary/.

[4] Lin F L，Yang K L，Chen C Y.The features and relationships of reasoning，proving and understanding proof in number patterns[J].International Journal of Science and Mathematics Education，2004（02）.

[5] Healy L，Hoyles C.A Study of Proof Conceptions in Algebra[J].Journal for Research in Mathematics Education，2000（04）.

[6] Reiss K，Hellmich F，Reiss M.Reasoning and proof in geometry：Prerequisites of knowledge acquisition in secondary school students[A].In A D Cockburn，E Nardi（Eds.），Proceedings of the 26th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education[C].Norwich：PME，2002.

[7] Manaster，A.B.Some characteristics of eighth grade mathematics classes in the TIMSS videotape study[J].American Mathematical Monthly，1998（09）.

[8] Stylianides G J，Stylianides A J，Weber K.Research on the teaching and learning of proof：Taking stock and moving forward[A] Compendium for research in mathematics education[C]. Reston，VA： National Council of Teachers of Mathematics，2017.

[9] 課程教材研究所.20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編：數(shù)學卷[M].北京：人民教育出版社，2001.

[10] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[11] Bieda K N.Enacting proof-related tasks in middle school mathematics：Challenges and opportunities[J].Journal for Research in Mathematics Education，2010（04）.

[12] Xenofontos C，Andrews P. Defining mathematical problems and problem solving： prospective primary teachersbeliefs in Cyprus and England[J].Mathematics Education Research Journal，2014（02）.