基于GHZ態(tài)與cluster態(tài)的雙向量子操作傳送

柳人菊， 柏明強(qiáng)， 吳 帆， 張玉春

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

量子糾纏在量子信息論中處于核心地位［1］.當(dāng)前處理量子信息任務(wù)的有趣之處大都源于糾纏的特性.一方面，糾纏可以產(chǎn)生非局域關(guān)聯(lián)性，這些性質(zhì)無(wú)法用局域的，現(xiàn)實(shí)的理論來(lái)解釋?zhuān)涣硪环矫?，它也可以用作量子資源.例如，利用量子糾纏可以將一個(gè)未知的量子態(tài)傳送到遙遠(yuǎn)的地方，而不需要直接的物理傳送，這個(gè)過(guò)程就是量子隱形傳態(tài)［2］.以量子隱形傳態(tài)的思想為基礎(chǔ)，學(xué)者提出了量子遠(yuǎn)程制備［3］，量子秘密分享［4］，量子操作傳送等.不同于經(jīng)典的量子隱形傳態(tài)，2001年Huelga等［5］利用局域操作和經(jīng)典通信以及共享糾纏，首次提出了傳送一個(gè)任意酉操作的方案.作為一種新型量子遠(yuǎn)程控制，量子操作傳送（QOT）引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注［6-17］.例如 Zou 等［6］探索了通過(guò)使用線(xiàn)性光學(xué)元件實(shí)現(xiàn)非確定性的量子邏輯操作；利用不同的糾纏信道，Wang等［7-8］研究了部分未知酉操作遠(yuǎn)程作用于多量子比特的問(wèn)題；Zhang等［10］結(jié)合量子操作傳送和秘密分享的思想，首次提出了量子操作共享的概念和3個(gè)實(shí)現(xiàn)量子操作共享的方案；Lin等［17］利用部分糾纏態(tài)作為量子信道，提出一個(gè)受控遠(yuǎn)程實(shí)現(xiàn)任意單量子比特操作的協(xié)議.這些方案涉及的量子操作傳送都是單向的.

一個(gè)自然的問(wèn)題，是否可以利用一條信道實(shí)現(xiàn)發(fā)送者和接收者同時(shí)傳遞信息呢？2013年，Zha等［18］利用五粒子cluster態(tài)作為量子信道，首次提出一種雙向受控隱形傳態(tài)方案.該方案中，在控制者Charlie的幫助下，Alice和Bob可以同時(shí)發(fā)送一個(gè)未知單粒子態(tài)給對(duì)方.從此，雙向量子通信引起了學(xué)者的研究興趣.例如，2013年，以五粒子復(fù)合GHZ-Bell態(tài)為信道，Li等［19］提出一種雙向受控隱形傳態(tài)方案；同年，Li等［20］進(jìn)一步提出一個(gè)基于五粒子糾纏態(tài)，傳輸任意單粒子態(tài)的雙向受控安全直接通信協(xié)議；2014年，Duan等［21］提出一種基于七粒子最大糾纏態(tài)雙向傳送任意單粒子態(tài)的協(xié)議；2015年，Hassanpour等［22］利用 EPR 對(duì)和糾纏交換，提出一個(gè)雙向傳送任意單粒子態(tài)的協(xié)議；2016年，Peng等［23］利用八粒子cluster態(tài)實(shí)現(xiàn)了四方雙向量子態(tài)分享；2017年，劉乾等［24］提出一個(gè)基于GHZ糾纏態(tài)進(jìn)行純EPR對(duì)雙向隱形傳態(tài)的協(xié)議；2018年，Zhou等［25］將雙向隱形傳態(tài)的思想應(yīng)用于量子操作傳送，設(shè)計(jì)了利用不同糾纏態(tài)作為量子信道的雙向量子操作傳送（BQOT）的協(xié)議.基于此，本文將研究基于GHZ態(tài)和cluster態(tài)的雙向操作傳送方案.

1 雙向量子操作傳送

本節(jié)中，利用不同量子態(tài)作為量子信道，提出了2個(gè)雙向量子操作傳送方案.方案中2個(gè)參與者Alice和Bob既是發(fā)送者也是接收者.假設(shè)Alice有一個(gè)任意態(tài)的粒子A，

其中，a0和 a1是復(fù)數(shù)，并且｜a0｜2＋ ｜a1｜2＝1.Bob有一個(gè)任意態(tài)的粒子B，

復(fù)數(shù) b0和 b1滿(mǎn)足｜b0｜2＋ ｜b1｜2＝1.Alice想將其酉操作UA作用在Bob所在系統(tǒng)的目標(biāo)態(tài)｜φ〉B上，同時(shí)，Bob想將其酉操作UB作用于Alice所在系統(tǒng)的目標(biāo)態(tài)｜φ〉A(chǔ)上，并且Alice和Bob不知道自己想要傳送的酉操作的任何信息.

為后文敘述方便，給出Bell態(tài)和Pauli算子定義［26］如下：

1.1 基于GHZ態(tài)的雙向量子操作傳送方案假設(shè)Alice和Bob以2個(gè)三粒子GHZ態(tài)作為糾纏信道，即

其中

假設(shè)粒子 1、2、5 屬于 Alice，粒子 3、4、6 屬于Bob.結(jié)合2個(gè)目標(biāo)態(tài)，系統(tǒng)總態(tài)為

方案由以下5步依次進(jìn)行.

1）Alice和 Bob分別在粒子對(duì)（A，2）和（B，6）進(jìn)行Bell測(cè)量，并通過(guò)經(jīng)典信道公布結(jié)果.隨后Alice和Bob根據(jù)測(cè)量結(jié)果作相應(yīng)的酉變換.測(cè)量和對(duì)應(yīng)的塌縮態(tài)以及酉變換如表1所示.

表1 Alice和Bob測(cè)量所得結(jié)果以及相應(yīng)的酉變換Tab.1 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表1可以看出，不論Alice和Bob的測(cè)量結(jié)果是什么，通過(guò)執(zhí)行適當(dāng)?shù)挠献儞Q，都可以將測(cè)量所對(duì)應(yīng)的塌縮態(tài)轉(zhuǎn)化為

2）Alice和Bob執(zhí)行復(fù)合的酉操作 T1，T1＝N13H3N35N45.其中酉算子NC1C2是以C1為受控粒子和 C2為目標(biāo)粒子的受控非（CNOT）門(mén)，H＝是 Hadamard門(mén).

因此，酉操作T1后將（8）式中的量子態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

3）Alice和Bob分別在粒子1和4上執(zhí)行酉操作 UA和 UB，即

這表明需要傳送的2個(gè)酉操作UA和UB已被同時(shí)作用在了2個(gè)目標(biāo)態(tài)｜φ〉1和｜φ〉4上.因此，總系統(tǒng)的聯(lián)合量子態(tài)可寫(xiě)作

4）Alice和Bob執(zhí)行復(fù)合的酉操作 T2，其中T2＝N43N54N14.于是，（11）式中的量子態(tài)｜Ψ3〉轉(zhuǎn)化為

5）Alice對(duì)粒子1進(jìn)行｛｜＋〉，｜-〉｝基測(cè)量，其中

同時(shí)Bob對(duì)粒子3進(jìn)行｛｜0〉，｜1〉｝基測(cè)量，然后通過(guò)經(jīng)典信道公布測(cè)量結(jié)果.測(cè)量和對(duì)應(yīng)的塌縮態(tài)以及酉變換見(jiàn)表2.

表2 Alice和Bob測(cè)量所得結(jié)果以及相應(yīng)的酉變換Tab.2 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表2可知，當(dāng)Alice和Bob執(zhí)行聯(lián)合酉變換之后，都能得到如下塌縮態(tài)

即Alice的酉操作UA作用在了Bob所在系統(tǒng)的量子態(tài)｜φ〉4上，同時(shí)Bob的酉操作UB作用在了Alice所在系統(tǒng)的量子態(tài)｜φ〉5上.

因此，基于GHZ態(tài)的雙向操作傳送方案成功實(shí)現(xiàn).

1.2 基于GHZ態(tài)與cluster態(tài)的雙向量子操作傳送方案假設(shè)Alice和Bob的糾纏信道由三粒子GHZ態(tài)和五粒子cluster態(tài)構(gòu)成，形式為

其中

假設(shè)粒子1、2、4、7 屬于 Alice，粒子 3、5、6、8 屬于Bob.系統(tǒng)總態(tài)為

方案分為4步進(jìn)行.

1）Alice對(duì)粒子對(duì)（A，4）上執(zhí)行 Bell測(cè)量，同時(shí)Bob對(duì)粒子對(duì)（B，6）執(zhí)行Bell測(cè)量，并通過(guò)經(jīng)典信道告知彼此的測(cè)量結(jié)果.隨后，Alice和Bob根據(jù)測(cè)量結(jié)果作相應(yīng)的酉變換.測(cè)量和對(duì)應(yīng)的結(jié)果以及酉變換如表3所示.

表3 Alice和Bob的測(cè)量結(jié)果以及對(duì)應(yīng)的酉變換Tab.3 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表3可以看出，在Alice和Bob分別執(zhí)行適當(dāng)?shù)挠献儞Q后，每一種測(cè)量所得塌縮態(tài)都可以轉(zhuǎn)化為

2）Alice和 Bob執(zhí)行復(fù)合的酉操作T3，其中T3＝N12H2N87N75N25.因此，酉操作 T3將（17）式中的量子態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

3）Alice在粒子7上執(zhí)行酉操作UA的同時(shí)，Bob在粒子8上執(zhí)行酉操作UB，即

這表明需要傳送的2個(gè)酉操作UA和UB已被分別同時(shí)作用在了2個(gè)目標(biāo)態(tài)｜φ〉7和｜φ〉8上.因此，整個(gè)系統(tǒng)總態(tài)可表示為

4）Alice和 Bob 分別對(duì)粒子對(duì)（7，1）、（8，5）進(jìn)行Bell測(cè)量，并告知彼此測(cè)量結(jié)果.測(cè)量結(jié)果以及對(duì)應(yīng)的操作見(jiàn)表4.

表4 Alice和Bob測(cè)量所得結(jié)果以及相應(yīng)的酉變換Tab.4 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表4可知，當(dāng)Alice和Bob執(zhí)行聯(lián)合酉操作之后，都能得到如下塌縮態(tài)

顯然，Alice的酉操作UA已被成功執(zhí)行在Bob所在系統(tǒng)的量子態(tài)｜φ〉3上，與此同時(shí)，Bob的酉操作UB也被執(zhí)行在Alice所在系統(tǒng)的量子態(tài)｜φ〉2上.

因此，基于GHZ態(tài)與cluster態(tài)的雙向操作傳送方案成功完成.

1.3 比較與分析對(duì)上述2個(gè)方案（以下簡(jiǎn)稱(chēng)S1和S2）與文獻(xiàn)［25］中的2個(gè)雙向量子操作傳送（BQOT）協(xié)議（分別簡(jiǎn)稱(chēng)P1和P2），下面從資源消耗、使用的必要操作以及效率方面進(jìn)行了比較.類(lèi)似于文獻(xiàn)［27］，雙向量子操作傳送方案的本征效率定義為：

其中，P是方案成功的概率，q是用作量子信道的量子比特?cái)?shù)，t是方案執(zhí)行過(guò)程中傳送的經(jīng)典比特?cái)?shù).

表5 4個(gè)BQOT方案之間的比較Tab.5 Comparison of four BQOT schemes

比較S1和S2.從表5可以看出：S1的量子信道為2個(gè)三粒子GHZ態(tài)，S2的量子信道為一個(gè)三粒子GHZ態(tài)和一個(gè)五粒子cluster態(tài)，S1的量子資源消耗更少，由于S1比S2消耗更少的經(jīng)典資源，所以總的來(lái)說(shuō)S1資源消耗比S2少；因?yàn)锽ell測(cè)量往往可以分解為一個(gè)CNOT操作和一個(gè)Hadamard操作以及2個(gè)單粒子測(cè)量，故S1使用的必要操作比S2簡(jiǎn)單；對(duì)于本征效率，S1為，而 S2為，所以S1的效率更高.綜合這幾方面，S1優(yōu)于S2.

把S1與P1，P2作比較，明顯S1使用的兩粒子酉操作比P1少，而且S1執(zhí)行了2次Bell測(cè)量和單粒子測(cè)量，P1則使用了3次Bell測(cè)量.綜合來(lái)講，S1使用的必要操作的比P1簡(jiǎn)單.與P2相比，S1的資源消耗更少，效率更高.因此，對(duì)于實(shí)現(xiàn)任意單粒子酉操作的雙向傳送，S1較P1和P2更具有優(yōu)勢(shì).

把S2與P2作比較.由表5可知，S2多用了2個(gè)單粒子酉操作和一個(gè)兩粒子酉操作，而2個(gè)方案消耗了相同的資源，都使用了4次Bell測(cè)量，并且2個(gè)方案的效率是相同的.從某種意義上來(lái)講，S2可以作為P2的一種候選方案.

討論S1和S2的實(shí)驗(yàn)可行性.從方案的描述可以看出，S1和S2使用的所有酉操作都是局域性的：?jiǎn)瘟孔颖忍夭僮骱蛢杀忍乜刂崎T(mén)，單粒子測(cè)量和Bell測(cè)量.而B(niǎo)ell測(cè)量，單量子比特操作和兩比特控制操作已經(jīng)廣泛應(yīng)用于許多量子系統(tǒng)，如離子阱系統(tǒng)［28-29］、光學(xué)系統(tǒng)［30-31］和 QED 系統(tǒng)［32-33］等等.因此，根據(jù)目前的實(shí)驗(yàn)技術(shù)，這2個(gè)方案都是可行的.

2 結(jié)論

本文結(jié)合量子操作傳送和雙向隱形傳態(tài)的思想，利用不同的糾纏信道研究了雙向的量子操作傳送.通信雙方Alice和Bob可以同時(shí)傳送一個(gè)任意單粒子酉操作給對(duì)方，且2個(gè)方案都能以概率1完美實(shí)現(xiàn).隨后對(duì)2個(gè)方案進(jìn)行了比較和分析，發(fā)現(xiàn)方案S1比S2消耗更少的資源，必要操作更簡(jiǎn)單，效率更高，所以方案S1優(yōu)于S2.進(jìn)一步地，與之前的雙向量子操作傳送協(xié)議P1和P2作比較，發(fā)現(xiàn)S1更具有優(yōu)勢(shì)，從某種意義上來(lái)講，S2可以作為P2的候選方案.最后，對(duì)2個(gè)方案的實(shí)驗(yàn)可行性進(jìn)行了說(shuō)明.

本文提出的2個(gè)方案都是基于單比特酉操作的雙向傳送，那么是否可以基于多比特酉操作實(shí)現(xiàn)雙向傳送呢？同時(shí)，考慮到方案的安全性，能否增加受控方來(lái)抵抗內(nèi)部和外部攻擊？另外，可以考慮三方循環(huán)的量子操作傳送協(xié)議，進(jìn)而研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的量子操作傳送理論.