時(shí)間尺度上約束Hamilton 系統(tǒng)的Lie 對稱性

陳志煒， 朱建青

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

用奇異Lagrange 函數(shù)描述的系統(tǒng)，稱為奇異系統(tǒng)。 在物理學(xué)中，奇異系統(tǒng)廣泛存在。 例如自然界的四種基本作用力、 引力場、 楊-Mills 場、 超對稱理論。 奇異系統(tǒng)通過Legendre 變換， 由Lagrange 描述過渡到Hamilton 描述時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)固有約束，由此稱之為約束Hamilton 系統(tǒng)[1]，又稱奇異系統(tǒng)Hamilton 正則方程。

對稱性理論對于研究力學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科起著非常關(guān)鍵的作用。 由對稱性可以導(dǎo)出系統(tǒng)的守恒量，主要方法有：Noether 對稱性、Lie 對稱性、Mei 對稱性等。 用對稱性理論來研究約束Hamilton 系統(tǒng)的守恒量已經(jīng)取得了很多成果。李子平[2]在1991年提出了奇異系統(tǒng)在位形空間與相空間中的Noether 定理。王永龍和趙德玉[3]將Noether 對稱性及正則量子化推廣到了約束Hamilton 系統(tǒng)中。 張毅和薛紜[4]在考慮系統(tǒng)僅含第二類約束的情況下，根據(jù)Lie 對稱性理論得到了約束Hamilton 系統(tǒng)的守恒量。

時(shí)間尺度理論由德國學(xué)者Hilger[5]于1988年首次提出，運(yùn)用時(shí)間尺度理論不僅能夠把連續(xù)和離散系統(tǒng)統(tǒng)一起來，而且能將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理本質(zhì)刻畫得更加清晰準(zhǔn)確。 隨著時(shí)間尺度基本理論的不斷完善，在時(shí)間尺度理論的基礎(chǔ)上研究動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量逐漸成為了一個(gè)熱門的研究方向，至今已經(jīng)取得了很多重要的成果[6-16]。 筆者將在時(shí)間尺度上研究約束Hamilton 系統(tǒng)的Lie 對稱性與守恒量問題。

1 時(shí)間尺度上約束Hamilton 的正則方程

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n 個(gè)廣義坐標(biāo)qs（s＝1,2，…，n）確定，時(shí)間尺度上系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為L＝L（t，qσ，qΔ）。 設(shè)則通過Legendre 變換，由Lagrange 描述過渡到Hamilton 描述時(shí)，存在如下約束

引進(jìn)時(shí)間尺度上的廣義動(dòng)量和正則Hamilton 函數(shù)

對（3）式進(jìn)行等時(shí)變分

將（2）式代入到（4）式，有

將方程（5）等式兩邊對ps求偏導(dǎo)，得

將（6）式和（7）式代入到（5）式中，得

利用Euler-Lagrange 方程，有

合并（5）式和（8）式，再將（9）式代入，可得

約束條件（1）式滿足虛位移和等時(shí)變分的限制條件為

引進(jìn)Lagrange 乘子λj，由（10）式和（11）式，可得系統(tǒng)正則形式的運(yùn)動(dòng)微分方程為

由泊松括號，可將（12）式寫成

其中HT＝Hc+λjφj稱為總Hamilton 函數(shù)。

在運(yùn)動(dòng)微分方程積分之前，可由（1）、（12）式求出λj（t，qσ，p），則方程可以進(jìn)一步寫為

其中

考慮約束（1）式為第二類約束[1]，有

那么（12）式中所有的Lagrange 乘子λj可完全確定[1]，有λj=λj（t，qσ，p）。

2 時(shí)間尺度上的確定方程、限制方程和附加限制方程

取時(shí)間t 和廣義坐標(biāo)的無限小變換

其中，ε 為無限小參數(shù)，ξ0、ξs、ηs為生成元。

無限小生成元向量和它的一次擴(kuò)展為[12]

根據(jù)Lie 對稱性理論，微分方程在無限小變換下和原方程是保形不變的，方程（14）在變換（17）下的不變性可表示為

稱（20）式為系統(tǒng)的確定方程。

約束（1）式在變換（17）下的不變性可表示為如下限制方程

定義1如果ξ0、ξs、ηs滿足確定方程（20），則稱該對稱性為相應(yīng)自由Hamilton 系統(tǒng)的Lie 對稱性。

何家弘在其論著中描述“證據(jù)保全是指用一定形式將證據(jù)固定下來，加以妥善保管，以便司法人員或律師分析、認(rèn)定案件事實(shí)時(shí)使用”。[2]根據(jù)電子數(shù)據(jù)保全自身特點(diǎn)，結(jié)合傳統(tǒng)的證據(jù)保全概念加以分析?？梢员硎鰹?，電子數(shù)據(jù)保全是指那些以后難以提取的或者容易損毀的電子數(shù)據(jù)，由人民法院，公證處和其他保全機(jī)構(gòu)、組織依照職權(quán)和當(dāng)事人的主動(dòng)申請，對電子數(shù)據(jù)進(jìn)行固定和采取一些保護(hù)措施。它其實(shí)是為了保全電子數(shù)據(jù)的完整性和客觀性，用符合規(guī)定的手段和方法進(jìn)行固定，為相關(guān)訴訟活動(dòng)提供證據(jù)支持。

定義2如果ξ0、ξs、ηs滿足確定方程（20）和限制方程（21），則稱該對稱性為時(shí)間尺度上約束Hamilton 系統(tǒng)的弱Lie 對稱性。

由微分方程的導(dǎo)出過程，存在如下的限制

將等時(shí)變分代入（22）式，有

稱方程（23）為附加限制方程。

定義3如果ξ0、ξs、ηs滿足確定方程（20）、限制方程（21）和附加限制方程（23），則稱該對稱性為時(shí)間尺度上約束Hamilton 系統(tǒng)強(qiáng)Lie 對稱性。

3 時(shí)間尺度上的結(jié)構(gòu)方程與守恒量

定理1在ξ0、ξs、ηs滿足確定方程（20）的條件下，若存在一個(gè)規(guī)范函數(shù)G＝G（t，qσ，p）滿足結(jié)構(gòu)方程則時(shí)間尺度上相應(yīng)自由Hamilton 系統(tǒng)存在守恒量

證明

定理2對于滿足確定方程（20）和限制方程（21）的ξ0、ξs、ηs，如果能夠找到一個(gè)規(guī)范函數(shù)G＝G（t，qσ，p）滿足結(jié)構(gòu)方程（24），則系統(tǒng)存在形如（25）式的弱Lie 對稱性守恒量。

則系統(tǒng)存在形如（25）式的強(qiáng)Lie 對稱性守恒量。

定理4如果T＝R，σ（t）=t，μ（t）＝0，守恒量（25）式成為經(jīng)典的僅含第二類約束的約束Hamilton 系統(tǒng)的Lie 對稱性守恒量[4]

4 算例

定義時(shí)間尺度T＝{2n:n∈Z}∪{0}，假設(shè)系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為

研究系統(tǒng)Lie 對稱性與守恒量問題。

系統(tǒng)的廣義動(dòng)量為

正則變換之間存在兩個(gè)固有約束

系統(tǒng)的正則Hamilton 函數(shù)為

總Hamilton 函數(shù)為

由約束的相容性條件[1]，得

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

由確定方程（20），得

由限制方程（21），得

由附加限制方程（23），得

由（35）、（36）、（37）式，可得一組解為

將（38）式代入結(jié)構(gòu)方程（26），可得規(guī)范函數(shù)為

由（39）式，可得

由（25）式，系統(tǒng)對應(yīng)的守恒量為

下面驗(yàn)證算例中守恒量的正確性

5 結(jié)語

通過引入時(shí)間尺度上的正則Hamilton 函數(shù)和廣義動(dòng)量， 用Lie 對稱性的方法研究了時(shí)間尺度上約束Hamilton 系統(tǒng)的守恒量。 給出強(qiáng)Lie 對稱性和弱Lie 對稱性的定義，最終得到了時(shí)間尺度上守恒量的具體形式和存在條件。 根據(jù)文中的研究方法，可以進(jìn)一步把Mei 對稱性和聯(lián)合對稱性的理論拓展到時(shí)間尺度上的約束Hamilton 系統(tǒng)中，從而進(jìn)一步豐富約束Hamilton 系統(tǒng)的研究。