在比較中探索算理 在實(shí)踐中深化算法

屠明杰

摘要：“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”是多位數(shù)除法的基礎(chǔ)，在日常生活中有廣泛的應(yīng)用。筆算除法與筆算加、減、乘法有很大的差異。算理是計(jì)算過(guò)程中的道理，解決“為什么這樣算”的問(wèn)題，算法是計(jì)算的方法，解決“怎樣算”的問(wèn)題。如何在多種方法的比較溝通中，幫助學(xué)生深入理解筆算除法的算理，掌握筆算除法的算法，筆者對(duì)本課進(jìn)行了實(shí)踐和思考。

關(guān)鍵詞：筆算除法;算理;算法;小學(xué)數(shù)學(xué)

“筆算除法”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第二單元《除數(shù)是一位數(shù)的除法》的內(nèi)容。本單元主要包括口算除法、筆算除法和用估算解決問(wèn)題三部分，其中“筆算除法”是本單元的教學(xué)重點(diǎn)。本課是在學(xué)生已經(jīng)掌握表內(nèi)乘法，能正確地口算100以內(nèi)加、減法及有余數(shù)除法的口算基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。它既是表內(nèi)乘法及口算除法的進(jìn)一步發(fā)展，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)、多位數(shù)除法的重要基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用。本課的教學(xué)目標(biāo)為：讓學(xué)生經(jīng)歷一位數(shù)除多位數(shù)筆算的探索過(guò)程，掌握一般的筆算方法，能正確地計(jì)算一位數(shù)除多位數(shù)，并能用乘法驗(yàn)算。使學(xué)生能夠積極參與探索算法和解決問(wèn)題的活動(dòng)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真計(jì)算、書(shū)寫(xiě)工整的習(xí)慣。

一、嘗試解答，參與探究

學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)認(rèn)知的過(guò)程，也是一個(gè)探索的過(guò)程。有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。本單元從一開(kāi)始就用具體熟悉的情境（分書(shū)）人手，在對(duì)情境中數(shù)學(xué)信息的分析的基礎(chǔ)上引出問(wèn)題，讓學(xué)生理解計(jì)算是解決問(wèn)題的方法，產(chǎn)生計(jì)算的需要，從而形成學(xué)習(xí)的內(nèi)部動(dòng)機(jī)。

師：這里有8本美術(shù)書(shū)要平均分給4個(gè)班，每個(gè)班可以得到幾本？

生：2本。

師：那如果是80本書(shū)平均分給4個(gè)班呢？

生：20本，因?yàn)?÷4=2，所以80÷4=20n

師：那我們?cè)诜?0本書(shū)的時(shí)候是一本一本分嗎？

生：不是。我們可以十本十本分，每個(gè)班級(jí)分到2個(gè)十本。

師板書(shū)：8個(gè)十除以4是2個(gè)十，就是20。

接著讓學(xué)生分800本書(shū)。

生：一百一百地分，8個(gè)百除以4，每個(gè)班得到2個(gè)百，就是200。

接著讓學(xué)生分120本書(shū)。

生：如果要一百一百地分，只有1個(gè)百不夠分，就把120看作12個(gè)十，12個(gè)十除以4等于3個(gè)十，就是30。

學(xué)生有了分書(shū)的感受，對(duì)口算除法中為什么可以先不看被除數(shù)后面的0有所感受，從而在探究過(guò)程中逐漸理清事物的本質(zhì)。然后，學(xué)生展示自己的想法，全班交流，使他們?cè)诿裰鲗捤傻那榫诚伦晕覚z查反思，逐步體驗(yàn)成功，增強(qiáng)自信心。

二、比較聯(lián)系，理解算理

本單元的計(jì)算教學(xué)多是在學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行的，數(shù)學(xué)知識(shí)在內(nèi)容上包含了深刻的思維和豐富的知識(shí)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生會(huì)出現(xiàn)思維斷層。因此要找準(zhǔn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，多采用對(duì)比的方式促進(jìn)知識(shí)的遷移類推，促進(jìn)學(xué)生的有效發(fā)展。在講授筆算除法第一個(gè)例題時(shí)，繼續(xù)沿用分書(shū)的情境：42本書(shū)平均分給2個(gè)班，每個(gè)班可以分到幾本？讓學(xué)生先獨(dú)立思考，并用自己的方法把答案算出來(lái)。課堂展示的四種方法是逐漸遞進(jìn)、不斷上升的。

（一）對(duì)比：方法一與方法三

師：看看它們之間有什么聯(lián)系和相同的地方？

（師指方法一中的“21”，是怎么算出來(lái)的）

生：二二得四，一二得二，我能想到2乘21會(huì)得到42。

師：方法三里下面一個(gè)42怎么得來(lái)的？

生：2×21。

師：它們都表示什么意思？

生：2個(gè)21。

（二）對(duì)比：方法二與方法四

這兩種方法是新舊知識(shí)之間的跨越，從橫式出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生尋求豎式中的對(duì)應(yīng)數(shù)位。學(xué)生質(zhì)疑“20在除法豎式中的哪兒？”使得溝通不再停留于表面，而是將溝通融人一個(gè)整體，“2在十位上，表示2個(gè)十”體現(xiàn)的是豎式中位值制的原則，“2個(gè)十乘2就是4個(gè)十，所以是40，在對(duì)應(yīng)的數(shù)位下面寫(xiě)好4，表示分掉4個(gè)十?！笨梢?jiàn)口算與豎式算理是一樣的，只是形式不同。這樣指引學(xué)生感悟橫豎式之間的內(nèi)在聯(lián)系，將其延伸至思維深處。

（三）對(duì)比：方法三與方法四

師：仔細(xì)觀察，比一比這兩個(gè)豎式一樣嗎？哪里不一樣？

生：少了一層樓。

師：為什么方法四還要多蓋一層樓呢？

生：方法四體現(xiàn)了分的過(guò)程，方法三其實(shí)是直接想到了答案寫(xiě)在上面，和口算沒(méi)什么區(qū)別。

師：我們能不能把方法四直接簡(jiǎn)寫(xiě)成方法三的形式？

生：不可以，如果遇到復(fù)雜的，不能直接想出答案，就不能一層樓解決了。

師：是的，在我們以后學(xué)到被除數(shù)、除數(shù)的位數(shù)更多的除法時(shí)，會(huì)更加體會(huì)到這一點(diǎn)，需要我們一步步除，一步步分，最后求出答案。

師：像這樣用豎式計(jì)算的除法，就是我們今天要學(xué)習(xí)的筆算除法。（揭題）

這兩種豎式方法，學(xué)生很清楚地發(fā)現(xiàn)少了一層樓的步驟，那么關(guān)鍵問(wèn)題“下面一層能省去嗎？”揭示了問(wèn)題的本質(zhì)，這是除法算理的體現(xiàn)，適用于每一道筆算除法的通用的規(guī)范格式。

相對(duì)于加法、減法和乘法，筆算除法總顯得比較另類，前者的筆算都是從個(gè)位算起，而除法卻要從高位算起。這是對(duì)學(xué)生先前學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的挑戰(zhàn)，這個(gè)教學(xué)過(guò)程中不僅要讓學(xué)生掌握筆算除法的過(guò)程、理解每個(gè)步驟的算理，還要體會(huì)到規(guī)范豎式的優(yōu)勢(shì)。

三、循理入法，明確算法

（一）強(qiáng)化算法，規(guī)范語(yǔ)言

教師帶領(lǐng)學(xué)生規(guī)范書(shū)寫(xiě)，規(guī)范的書(shū)寫(xiě)格式可以表達(dá)學(xué)生的運(yùn)算思路和計(jì)算方法、步驟，防止錯(cuò)寫(xiě)漏寫(xiě)數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生完整敘述筆算過(guò)程。先讓幾個(gè)語(yǔ)言表達(dá)能力強(qiáng)、思維敏捷的學(xué)生說(shuō)，接著同桌相互說(shuō)，這樣多次敘述算法，避免了豎式計(jì)算開(kāi)始就出錯(cuò)的現(xiàn)象，很好地強(qiáng)化了算法。

（二）知識(shí)遷移，類推算法

在完成兩位數(shù)除以一位數(shù)的基礎(chǔ)上，出示三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算，讓學(xué)生獨(dú)立嘗試解決。這樣在原有兩位數(shù)除以一位數(shù)除法的基礎(chǔ)上，推動(dòng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，不僅可以取得事半功倍的教學(xué)效果，還能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓他們學(xué)會(huì)如何探究，形成遷移類推的思想和方法。

（三）歸納提升，形成模型

組織學(xué)生回顧用豎式計(jì)算的步驟、方法，討論交流“筆算除法要怎么算？”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)在除任意一位的時(shí)候，都要經(jīng)歷“除、乘、減”這三步，并且完成這三步以后要把被除數(shù)的下一個(gè)數(shù)“落”下來(lái)，繼續(xù)除。學(xué)生整理出了“除、乘、減、落”這樣的步驟以后，每算一層都按這樣的順序重復(fù)去做，思路就比較清晰了。教材并未給出文本法則，意味著教學(xué)時(shí)無(wú)須學(xué)生機(jī)械記憶，而要把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生基于個(gè)體經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納總結(jié)，使得原有的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)更加清晰。

四、強(qiáng)化練習(xí)，提高質(zhì)量

教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用基本練習(xí)、改錯(cuò)練習(xí)、綜合練習(xí)等，滿足各層次學(xué)生的需要，使每個(gè)層次的學(xué)生都有事可做。

（一）抓住易錯(cuò)知識(shí)，突出針對(duì)性

針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)的或者預(yù)測(cè)學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)的的題設(shè)計(jì)針對(duì)性練習(xí)，幫助學(xué)生真正掌握算法。在小結(jié)注意點(diǎn)時(shí)，提醒學(xué)生如果有余數(shù)要余著繼續(xù)算，如果不能整除，要想最大能商幾，這樣才能保證余數(shù)要比除數(shù)小，每一步要算清楚算完整。通過(guò)這樣針對(duì)性的練習(xí)，幫助學(xué)生掌握“筆算除法”的算法，避免學(xué)生在算法上出現(xiàn)的錯(cuò)誤，使教學(xué)獲得較好的效果。

（二）訓(xùn)練計(jì)算速度，關(guān)注開(kāi)放性

在基本練習(xí)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)答案不唯一的開(kāi)放題，學(xué)生自主探索不同的除法豎式，有利于開(kāi)拓學(xué)生思路，展開(kāi)發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。同時(shí)也有利于訓(xùn)練計(jì)算的速度，比比看，誰(shuí)編得又多又對(duì)。

（三）加強(qiáng)理法聯(lián)系，重視應(yīng)用性

這道題需要綜合運(yùn)用一位數(shù)的乘、除法知識(shí)，第（1）小題學(xué)生一般會(huì)用逐一嘗試的方法，由能否正好除盡得到整數(shù)商來(lái)判斷。教師可引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生觀察題目中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，應(yīng)用基本的乘、除法口算做出判斷。例如，根據(jù)125的個(gè)位數(shù)是5，判斷出文具的單價(jià)不可能是8元，然后通過(guò)筆算進(jìn)行驗(yàn)證。讓學(xué)生體會(huì)這種先通過(guò)口算或估算找到解題思路，最后用筆算來(lái)驗(yàn)證的解題方法，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

算理為計(jì)算提供正確的思維方式，保證計(jì)算的合理性和正確性，算法為計(jì)算提供快捷的操作方法，提高計(jì)算的速度。算理往往是隱性的，算法往往是顯性的，它們相輔相成，算理的探析有助于學(xué)生探索算法、掌握算法。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，計(jì)算教學(xué)占據(jù)著較大的比重。新課程視野下的計(jì)算教學(xué)雖然在具體的要求與處理上有了一些實(shí)質(zhì)性的變化，但只要把握好“算理”和“算法”這兩條主線，努力踐行新課程的教學(xué)理念，就會(huì)達(dá)到筆算除法教學(xué)的理想狀態(tài)。