Toader-Qi平均關(guān)于對(duì)數(shù)和算術(shù)平均特殊組合的確界

王君麗 徐會(huì)作 錢偉茂

(1.臺(tái)州科技職業(yè)學(xué)院 成人教育學(xué)院,浙江 臺(tái)州 318020;2.溫州廣播電視大學(xué) 教師教學(xué)發(fā)展中心，浙江 溫州 325000;3.湖州廣播電視大學(xué) 繼續(xù)教育學(xué)院,浙江 湖州 313000)

(1)

(2)

祁鋒等[2]證明了等式

(3)

和不等式

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立,其中

(4)

近年來(lái)，Toader-Qi平均和其他經(jīng)典二元平均的比較得到了一定研究,發(fā)現(xiàn)了一些有關(guān)Toader-Qi平均的重要不等式[4-9].

楊鎮(zhèn)杭、褚玉明等[4-5]證明了下列不等式

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立.

錢偉茂等[10]證明了雙向不等式

H[λ1a+(1-λ1)b,λ1b+(1-λ1)a]

G[λ2a+(1-λ2)b,λ2b+(1-λ2)a]

本文的主要結(jié)果是發(fā)現(xiàn)了最佳參數(shù)λ1,λ2,λ3,μ1,μ2,μ3∈R使得雙向不等式

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立，并且推得了第1類修正Bessel函數(shù)I0(t)新的確界.

1 引理

為了證明本文的主要結(jié)果，本節(jié)給出經(jīng)典Gamma函數(shù)Γ(x)、第1類修正Bessel函數(shù)Iv(t)的基本知識(shí)和相關(guān)引理.

熟知Wallis比[11]定義為

其中Γ(n)滿足下列公式[12]:

(5)

對(duì)所有正整數(shù)n成立.

文獻(xiàn)[13]給出如下Rayleigh型公式：

(6)

對(duì)所有t∈R成立,其中sinh(t)=(et-e-t)/2和cosh(t)=(et+e-t)/2分別是雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù).

引理1.2[15]雙向不等式

對(duì)所有n∈Ν+成立.

引理1.3[16]雙向不等式

對(duì)所有t>0和α∈(0,1)成立.

引理1.5[18]252等式(Cauchy乘積公式)

對(duì)所有λ,μ>-1和t∈R成立.

引理1.6 等式

(7)

(8)

(9)

對(duì)所有t∈R成立.

證明根據(jù)引理1.5和等式(5)推得

從等式(6)和引理1.5可得

引理1.7 函數(shù)

證明根據(jù)等式(5)、式(8)、式(9)和冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式得到

(10)

其中

(11)

則由等式(11)得到

(12)

(13)

(14)

從引理1.2和等式(13)、式(14)可得

(15)

和

(16)

對(duì)所有n∈Ν成立.

根據(jù)引理1.1和引理1.4協(xié)同等式(15)、式(16)可知函數(shù)f(t)在區(qū)間(0,+)內(nèi)嚴(yán)格遞減,并且有

(17)

所以,引理1.7容易從等式(10)、式(12)和不等式(17)協(xié)同函數(shù)f(t)的單調(diào)性得到.

引理1.8 函數(shù)

證明根據(jù)等式(5)、式(7)和冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式得到

(18)

其中

(19)

則等式(19)協(xié)同Wn+2=[(2n+6)/(2n+5)]Wn+3得到

(20)

(21)

(22)

從引理2和等式(21)、式(22)可得

(23)

(24)

對(duì)所有n∈Ν成立.

根據(jù)引理1.1和引理1.4協(xié)同等式(23)和式(24)可知函數(shù)g(t)在區(qū)間(0,+)內(nèi)嚴(yán)格遞減,并且有

(25)

所以,引理1.8容易從等式(18)、式(20)和不等式(25)協(xié)同函數(shù)g(t)的單調(diào)性得到.

引理1.9 函數(shù)

證明根據(jù)等式(7)和冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式得到

(26)

其中

(27)

則等式(27)協(xié)同Wn+1=[(2n+4)/(2n+3)]Wn+2得到

(28)

(29)

(30)

從引理1.2和引理1.3協(xié)同等式(29)和式(30)可得

(31)

(32)

對(duì)所有n∈N成立.

根據(jù)引理1.1和引理1.4協(xié)同等式(31)和式(32)可知函數(shù)h(t)在區(qū)間(0,+)內(nèi)嚴(yán)格遞增,并且有

(33)

所以,引理1.9容易從等式(26)、式(28)和不等式(33)協(xié)同函數(shù)h(t)的單調(diào)性得到.

2 主要結(jié)果

定理2.1 雙向不等式

(34)

(35)

(36)

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立當(dāng)且僅當(dāng)λ10,μ1≥3/4,λ20,μ2≥1/4,λ31/2和μ3≥2/π.

證明不等式(34)—式(36)可寫(xiě)成

(37)

(38)

(39)

(40)

從等式(40)和不等式(37)—式(39)變成

(41)

(42)

(43)

所以,不等式(34)—式(36)容易從引理1.7、引理1.8、引理1.9和不等式(41)—式(43)得到.

根據(jù)定理2.1可以得到如下推論1和推論2.

推論1

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立.

推論2 雙向不等式

對(duì)所有t∈(0,)成立.