特殊差分方程的求解

孫建新

(紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，浙江 紹興 312000)

0 引言

眾所周知，一般常微分方程的教材[1]都考慮可微函數(shù)的常微分方程的求解，并且貝努里微分方程、恰當(dāng)微分方程以及存在恰當(dāng)因子的微分方程是三類常見(jiàn)的可以求解的特殊微分方程.但是隨著計(jì)算機(jī)信息時(shí)代的來(lái)臨，人們遇到的大量問(wèn)題是離散型的.微分方程只能提供離散問(wèn)題的近似解，人們需要更多地考慮差分方程的求解.本文提供的方法，就是為差分方程的求解提供若干類型與解法，并且作為應(yīng)用，舉出了幾個(gè)典型的實(shí)例.

本文所定義的三類差分方程，除了可以直接“和分[2]”求解的差分方程以外，是最具有代表性的三類差分方程，其地位與常微分方程中的貝努里方程、恰當(dāng)微分方程與存在恰當(dāng)因子的微分方程相當(dāng)，而且新差分方程的命名參考了相應(yīng)的微分方程，所以研究他們很有必要.

普通冪的高階差分公式非常復(fù)雜，而階乘冪的高階差分公式卻很簡(jiǎn)單，這就是“階乘冪方法”具有優(yōu)越性的根本原因.本文是在研究階乘冪特別是在研究一般齊次[3]與非齊次差分方程[4]的基礎(chǔ)上，來(lái)研究特殊差分方程的求解的.由于對(duì)階乘冪的研究中，我們已經(jīng)得到許多有關(guān)離散數(shù)據(jù)特別是階乘冪以及高階差分的許多性質(zhì)[5]，所以在敘述特殊差分方程的求解時(shí)，有關(guān)的性質(zhì)不再加以解釋，想了解這些性質(zhì)的讀者可以查文末提供的參考文獻(xiàn).

1 主要結(jié)果

下面先給出三類特殊差分方程的定義與定理.

定義1.1 所謂貝努里(Bernoulli)差分方程是指

或者

定理1.2 貝努里差分方程的解為

證明 當(dāng)k-1時(shí)，-k≥1，方程兩邊乘以即得

△yn+p·yn=q.

其通解為[4]

yn=(1-p)n+qn+c.

由此可得

△yn+p·yn=q.

其通解為[4]

yn=(1-p)n+qn+c.

由此可得

定義1.3 所謂恰當(dāng)差分方程是

M(n+1)△xn+N(n)xn=0

并且滿足條件△M(n)=N(n)，其等價(jià)條件為M(n+1)=N(n).

定理1.4 恰當(dāng)差分方程的解為

證明 由△M(n)=N(n)，則原方程可化為

M(n+1)△xn+xn△M(n)=0.

注意到積的差分公式為△{M(n)N(n)}=M(n+1)△N(n)+N(n)△M(n).即有

△{M(n)xn}=0.

于是

M(n)xn=c.

整理即得

定義1.5 對(duì)于原差分方程

M(n+1)△xn+xnN(n)=0.

定理1.6 如果μn為原差分方程的恰當(dāng)因子，則原差分方程的解為

μnM(n+1)△xn+xn{μnM(n+1)}=0.

μnM(n+1)△xn+xn△{μn-1M(n)}=0.

即

E{μn-1M(n)}△xn+xn△{μn-1M(n)}=0,

△{μn-1M(n)xn}=0,

μn-1M(n)xn=c.

整理即得

2 應(yīng)用

下面作為定理1.2、1.4、1.6的應(yīng)用，舉一些具體的實(shí)例.

解 這是k<0時(shí)的貝努里差分方程，其中k=-1,p=-1,q=2.可以直接使用定理1.2的公式得到解.

公式不熟，可以逐步推導(dǎo)：先兩邊同乘以xn，可得

即

△yn-yn=2.

解得

即xn=(2n+2n+c)1/2.

解 這是k>1時(shí)的貝努里差分方程，其中k=3,p=2,q=-1.可以直接使用定理1.2的公式得到解.

△yn+2yn=-1.

于是由參考文獻(xiàn)[2]可得

解得

xn={(-1)n-n+c}-1/2

例2.3 求解如下的差分方程：(n+1)2△xn+(2n+1)xn=0.

解記M(n+1)=(n+1)2，N(n)=2n+1，則M(n)=n2.顯然滿足△M(n)=N(n)，可見(jiàn)是恰當(dāng)差分方程.由積的差分公式可得

△(n2xn)=0.

于是有

n2xn=c.

解得

例2.4 求解如下的差分方程：

(n+1)△xn+3xn=0.

解 記M(n+1)=n+1，N(n)=3，則M(n)=n.顯然不滿足△M(n)=N(n)，可見(jiàn)不是恰當(dāng)差分方程.但是存在μn=n!2=n(n-1)，此時(shí)μnM(n+1)=n!2(n+1)=(n+1)!3，μnN(n)=3n!2.顯然滿足

即△(μn-1M(n))=△(n!3)=3n!2=μnN(n).可見(jiàn)μn=n!2是恰當(dāng)因子.于是，

△{μn-1M(n)xn}=△{(n-1)!2nxn}=

△{n!3xn}=0.

即有

n!3xn=c.

解得