概念，非一“概”而“念”

張鴿

[摘? 要] 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論的基石，也是數(shù)學(xué)方法的依據(jù)，是有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的支柱. 在中考一輪復(fù)習(xí)的過(guò)程中，如何夯實(shí)這一基礎(chǔ)，如何達(dá)成知識(shí)與技能的同步提升成為一線教師重點(diǎn)研究的一項(xiàng)課題.

[關(guān)鍵詞] 概念;初中數(shù)學(xué);一輪復(fù)習(xí)

初三一輪復(fù)習(xí)以溫故基礎(chǔ)、提高能力為主要目標(biāo)，概念教學(xué)在復(fù)習(xí)中起著重要的作用. 但在教學(xué)實(shí)踐中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念往往比較輕視，認(rèn)為概念的復(fù)習(xí)顯得有些“多余”. 傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課對(duì)概念大都以“念”的方式進(jìn)行灌輸式教學(xué)，這種方式雖有一定的效果，但成效并不顯著. 如何提高一輪復(fù)習(xí)中概念教學(xué)的成效是一線教師持續(xù)熱議的話題. 筆者通過(guò)實(shí)踐與研究，在自身的教學(xué)觀察及經(jīng)驗(yàn)積累中總結(jié)了一些概念復(fù)習(xí)的方法，并在自己及所教授的班級(jí)中進(jìn)行了實(shí)踐與改進(jìn)，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)際案例來(lái)談?wù)劰P者在概念復(fù)習(xí)上的幾點(diǎn)嘗試.

問(wèn)題引導(dǎo)式：直擊考點(diǎn)，促進(jìn)

理解

問(wèn)題是組成數(shù)學(xué)的基本屬性之一，解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)之一，以問(wèn)題貫穿教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)常用的方法之一. 以問(wèn)題引導(dǎo)的方式進(jìn)行概念復(fù)習(xí)，能夠有效地避免學(xué)生對(duì)概念產(chǎn)生“乏味”的感覺(jué)，同時(shí)可以讓學(xué)生清楚每一個(gè)概念的運(yùn)用方式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解，從而明晰每一個(gè)考點(diǎn).

下面是一輪復(fù)習(xí)“方程與不等式”的教學(xué)片段.

快速完成下列問(wèn)題，并思考每個(gè)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的考點(diǎn).

（完成方式：學(xué)生獨(dú)立完成，組內(nèi)糾錯(cuò)，學(xué)生代表展示成果）

1. 解方程（組）：

（1）x2-2x-6=0;

（2）x2-7x+10=0;

（3）3x+2y=5，2x-3y=-14;

（4） +1= .

2. 解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：2x+3>3（x+1）， ≤ .

3. 已知關(guān)于x的方程x2-（2k-1）x+k2-2k+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，是否存在實(shí)數(shù)k，使得x1-x2= ？若存在，試求出k的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4. 為了籌辦畢業(yè)晚會(huì)，八年級(jí)（九）班準(zhǔn)備去商店購(gòu)買20個(gè)氣球做游戲道具，并買一些杯子作為游戲獎(jiǎng)品. 已知每個(gè)氣球的價(jià)格是1.5元，每個(gè)杯子的價(jià)格是25元. 如果預(yù)算金額是260元，那么他們最多能買多少個(gè)杯子？

5. 某化工企業(yè)預(yù)計(jì)每月將產(chǎn)生1960 t廢渣，為響應(yīng)環(huán)保號(hào)召，該企業(yè)計(jì)劃購(gòu)置廢渣轉(zhuǎn)化處理器進(jìn)行環(huán)保處理. 經(jīng)過(guò)調(diào)查可知，現(xiàn)市面上有如下兩種型號(hào)的處理器：

已知某商家售出3臺(tái)A型、1臺(tái)B型廢渣轉(zhuǎn)化處理器的總價(jià)為38萬(wàn)元，售出2臺(tái)A型、3臺(tái)B型廢渣轉(zhuǎn)化處理器的總價(jià)為44萬(wàn)元.

（1）求每臺(tái)A型、B型廢渣轉(zhuǎn)化處理器的價(jià)格;

（2）為確保將每月產(chǎn)生的廢渣全部處理完，該企業(yè)如何購(gòu)買上述廢渣轉(zhuǎn)化處理器才可以使所花的價(jià)格最少？

成果展示：

生1：上述問(wèn)題對(duì)應(yīng)的考點(diǎn)分別是（第1題）一元二次方程、二元一次方程組及分式方程的解法;（第2題）不等式組的解法;（第3題）一元二次方程根的判別式及求根公式;（第4題）不等式的實(shí)際運(yùn)用;（第5題）二元一次方程組及不等式的綜合運(yùn)用.

師：你分析得真透徹. 在此基礎(chǔ)上，我們是否可以分別對(duì)每一個(gè)考點(diǎn)進(jìn)行更具體的處理，即理一下每個(gè)考點(diǎn)后面所隱藏的基本概念？

生2：從第1題中還可以歸納出一元二次方程、二元一次方程組及分式方程的定義以及解這些方程的注意點(diǎn)（定義及注意點(diǎn)內(nèi)容此處不再贅述）.

生3：根據(jù)第2題的解法我們可以歸納一下不等式（組）的解法及注意點(diǎn).

生4：由第3題我們還可以引申出根與系數(shù)的關(guān)系x +x =- ，x x = ，及常見(jiàn)變形式，如x +x =（x +x ）2-2x x ， + = 等.

生5：由第4題我們可以歸納出用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟：審（題）→設(shè)（未知數(shù)）→找（不等關(guān)系）→列（不等式）→解（不等式）→答.

生6：由第5題同樣可以歸納出用方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟：審（題）→設(shè)（未知數(shù)）→找（等量關(guān)系）→列（方程（組））→解（方程（組））→答.

初三復(fù)習(xí)課與新授課相比，相對(duì)“樸實(shí)”，課堂教學(xué)沒(méi)有過(guò)多的豐富形式，而問(wèn)題卻能很好地激發(fā)學(xué)生的參與熱情，因此，提問(wèn)這種方法可以在概念復(fù)習(xí)中廣泛使用. 以問(wèn)題引導(dǎo)的形式進(jìn)行概念教學(xué)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有著雙重意義，其一在于達(dá)到概念復(fù)習(xí)與概念運(yùn)用的目的，其二在于引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成自主歸納、自覺(jué)思考的習(xí)慣.

思維導(dǎo)圖式：揭示內(nèi)涵，注重

聯(lián)系

概念的再回顧是讓已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)更加穩(wěn)固，并且能夠透過(guò)文字表面看到概念的內(nèi)涵，明晰知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系. 在這個(gè)過(guò)程中，教師的引導(dǎo)方式起著決定性的作用. 如何讓抽象的知識(shí)變得形象具體，從而讓學(xué)生相對(duì)直觀地感悟到知識(shí)之間的聯(lián)系？這個(gè)問(wèn)題早有學(xué)者及專家進(jìn)行過(guò)探索. 思維導(dǎo)圖的提出及推廣為這個(gè)問(wèn)題找到了理想的答案. 筆者也在以思維導(dǎo)圖進(jìn)行概念教學(xué)的過(guò)程中體會(huì)到了成效.

如筆者進(jìn)行“平行四邊形”的概念復(fù)習(xí)時(shí)，與學(xué)生共同梳理、繪制了如圖1所示的思維導(dǎo)圖.

在幾何教學(xué)中，思維導(dǎo)圖可以將圖形與文字相結(jié)合，使概念變得更加形象、直觀. 思維導(dǎo)圖可以直接給學(xué)生展示各概念之間的聯(lián)系及關(guān)系，將零碎的知識(shí)串聯(lián)成一張知識(shí)網(wǎng)，讓知識(shí)間的內(nèi)涵在知識(shí)網(wǎng)中更加直接地體現(xiàn)，這有利于學(xué)生更深刻地掌握數(shù)學(xué)概念，提高數(shù)學(xué)能力.

查漏補(bǔ)缺式：擴(kuò)充儲(chǔ)備，形成

體系

查漏補(bǔ)缺式概念教學(xué)就是讓學(xué)生以自己的掌握程度為認(rèn)知基礎(chǔ)，通過(guò)復(fù)習(xí)來(lái)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，以達(dá)到擴(kuò)充知識(shí)儲(chǔ)備、促進(jìn)概念形成完整體系的效果.

以復(fù)習(xí)課“二次函數(shù)”為例進(jìn)行查漏補(bǔ)缺式概念復(fù)習(xí)的教學(xué)片段如下.

師：這節(jié)課我們進(jìn)行二次函數(shù)的復(fù)習(xí)，你能回憶出二次函數(shù)的哪些基本概念呢？

生1：二次函數(shù)的定義：y=ax2+bx+c（a≠0），定義的要點(diǎn)是①a≠0，②最高次數(shù)為2，③代數(shù)式一定是整式.

師：對(duì)于這個(gè)定義，在平時(shí)遇到的問(wèn)題中你是怎樣運(yùn)用的呢？

（生1遲疑……）

生2（補(bǔ)充回答）：?jiǎn)栴}中出現(xiàn)“二次函數(shù)”“拋物線”等字樣時(shí)，首先要考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零.

師：沒(méi)錯(cuò)！二次函數(shù)的定義中最重要的就是“二次項(xiàng)系數(shù)不為零”這一要點(diǎn). 我們要將此作為考慮二次函數(shù)問(wèn)題的首要因素.

生3：二次函數(shù)的圖像是拋物線，從圖像上我們可以看出它的一系列性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、增減性、最值.

師：你回答得很完整. 那么請(qǐng)你再告訴大家，對(duì)于y=ax2+bx+c（a≠0），如何由它的函數(shù)圖像來(lái)確定系數(shù)a，b，c的符號(hào)呢？

生3：a的正負(fù)由拋物線的開口方向決定，b與a的符號(hào)相對(duì)于對(duì)稱軸有著“左同右異”的規(guī)律，c的符號(hào)由圖像與y軸交點(diǎn)的位置來(lái)決定.

生4：二次函數(shù)中還有一個(gè)重要的概念，那就是它的解析式有三種不同的形式：頂點(diǎn)式、一般式、交點(diǎn)式.

師：很棒！那我們應(yīng)該如何根據(jù)題中所給的條件來(lái)求二次函數(shù)的解析式呢？

生4：如果題中提供了頂點(diǎn)、對(duì)稱軸等條件，就用頂點(diǎn)式來(lái)求;如果題中給出了三個(gè)普通的點(diǎn)，就用一般式來(lái)求;如果題中有圖像與x軸的交點(diǎn)，就用交點(diǎn)式來(lái)求.

師：你歸納得真好，完整呈現(xiàn)了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的所有類型.

生5：二次函數(shù)的概念中還涉及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系. 二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是其相對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，可以利用這個(gè)概念來(lái)確定一元二次方程的近似解.

生6：我覺(jué)得還需要補(bǔ)充二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖像還可以確定相應(yīng)不等式的解集.

……

從上述教學(xué)片段中不難看出，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主角，他們掌握了概念復(fù)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，教師只做了適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與補(bǔ)充. 學(xué)生與學(xué)生之間的相互查漏補(bǔ)缺，使得概念復(fù)習(xí)不再是機(jī)械的知識(shí)傳送，而是學(xué)生的主動(dòng)汲取，課堂氣氛活躍的同時(shí)也提高了概念復(fù)習(xí)的效率.

自我審查式：自主評(píng)價(jià)，深化

提高

自我審查式復(fù)習(xí)是以“生本課堂”作為指導(dǎo)思想的一種復(fù)習(xí)方式，是讓學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況進(jìn)行個(gè)性化評(píng)價(jià)，以正確認(rèn)識(shí)自己為前提進(jìn)行“對(duì)癥下藥”，從而讓每個(gè)學(xué)生都能在自己的知識(shí)掌握基礎(chǔ)上得到提高，獲得復(fù)習(xí)的價(jià)值.

如在復(fù)習(xí)課“圓的有關(guān)概念”中，概念復(fù)習(xí)是該課的主要教學(xué)內(nèi)容，筆者將所涉及的概念以簡(jiǎn)單提綱的形式呈現(xiàn)在學(xué)程單中，讓學(xué)生以填空的形式來(lái)審查自身對(duì)概念的掌握情況.

1. 圓的定義1：_______________;

圓的定義2：_______________.

2. 弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧：_______________.

3. 圓的對(duì)稱性：_______________.

4. 垂徑定理：_______________;

垂徑定理的推論：_____________.

5. 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理：____________.

6. 圓周角定理：____________;

圓周角定理的推論：___________

________________________________.

7. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：_______

________________________________.

（完成方式：學(xué)生課前完成，課上組內(nèi)交流，相互補(bǔ)充）

？搖？搖自我審查式概念復(fù)習(xí)，實(shí)質(zhì)上是一種開放式的概念復(fù)習(xí)——教師基本不干預(yù)過(guò)程，完全放手讓學(xué)生自己完成，怎么學(xué)、學(xué)多少完全由學(xué)生自己決定. 在這個(gè)過(guò)程中，生生互助起著重要的作用，學(xué)生與學(xué)生之間的平等交流更利于發(fā)現(xiàn)自己在知識(shí)上的欠缺，從而對(duì)自己形成正確的認(rèn)識(shí). 學(xué)生間的相互促進(jìn)有利于對(duì)概念的深化理解與提高.

概念是數(shù)學(xué)的基石，概念的復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ);概念是數(shù)學(xué)的理論，概念的復(fù)習(xí)也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過(guò)程. 概念的復(fù)習(xí)并非只是為了考試，而是有著發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的長(zhǎng)遠(yuǎn)意義. 教學(xué)有法而無(wú)定法，教師應(yīng)積極反思、勤于實(shí)踐，銖積寸累，避免一“概”而“念”，應(yīng)讓概念的復(fù)習(xí)變得多樣化、生動(dòng)化，從而提高復(fù)習(xí)效率，提升學(xué)生素養(yǎng).