提升初中生數(shù)學學習深度的研究

榮慧英

[摘? 要] 文章對八年級上學期如何提升等腰三角形的深度學習提出見解，把折疊和分類討論的思想方法貫穿等腰三角形教學始終，通過改變圖形使分類討論水到渠成，采用多種教學手段與方法，加強對學生的點對點輔導，使學生享受成功體驗，利用思維導圖鞏固基礎知識，梳理思想方法，達到提升初中生數(shù)學學習深度的目的.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學;等腰三角形;折疊;分類討論;深度學習

等腰三角形的知識概述

1. 等腰三角形的地位

（1）教材中

“等腰三角形的性質(zhì)”是浙教版初中八年級上冊的內(nèi)容，是全等三角形的續(xù)篇. 等腰三角形這種常見的圖形之一，由于具有一些特殊性質(zhì)，在生活中被廣泛應用. 等腰三角形的性質(zhì)，特別是它的兩個底角相等的性質(zhì)，可以實現(xiàn)一個三角形中邊相等與角相等之間的轉(zhuǎn)化，這也是今后論證兩角相等的重要依據(jù)之一. 等腰三角形沿底邊上的高折疊后能完全重合，這是今后論證兩條線段相等及線段垂直的重要依據(jù).

（2）中考

等腰三角形在杭州中考中直接考查的情況不多，偶爾出現(xiàn)在客觀題中，但與等腰三角形或其探究方法相關(guān)的內(nèi)容會出現(xiàn)在主觀題中. 以2018年杭州中考數(shù)學試卷第16題（填空題）為例，題目雖然沒有明確指出是等腰三角形，但考查了與等腰三角形相關(guān)的折疊圖形的內(nèi)容，這與課本上等腰三角形的學習從折疊問題開始相吻合.

2. 等腰三角形知識總結(jié)

等腰三角形的重點內(nèi)容是其性質(zhì)與判定定理的運用，并結(jié)合其他方法進行相關(guān)題目的證明，主要內(nèi)容包括：

（1）定義：有兩邊相等的三角形叫等腰三角形.

（2）性質(zhì)：①等邊對等角;②三線合一;③軸對稱圖形.

（3）判定：等角對等邊.

初中數(shù)學等腰三角形教學存在

問題分析

1. 沒有把折疊貫穿等腰三角形知識始終

如果把折疊的題目貫穿等腰三角形的定義、性質(zhì)、判定、復習始終，學生會對等腰三角形的知識理解得更有深度.

2. 教師在教學或命題時無意中會出現(xiàn)固定模式

畫等腰三角形ABC時，始終把頂角頂點畫在上面，底邊畫在下面，或常用字母A表示頂角頂點，這對學生認識等腰三角形非常不利，所以我們可以換個位置、換個字母來畫圖，這樣能讓分類討論思想的形成起到水到渠成的效果.

3. 教師講解等腰三角形知識時，方式不夠引人入勝

（1）筆者在教學中把一些典型例題編成微課

為了吸引學生的注意力，筆者會在教學中把一些經(jīng)典例題編成微課. 由于是精心準備過的，所以教學時往往會比即興講解效果好. 而且可以在播放微課的過程中更加清楚地觀察學生的神情，以便更好地修改自己的微課來適應教學.

（2）在微課中使用吸引學生的動畫

比如，在微課中使用學生熟悉的喜洋洋代替他們說出自己的心聲;出現(xiàn)錯誤解答時，使用蘋果智能手機中的Siri講出錯誤原因，讓學生達到極其專注的狀態(tài).

（3）在良好的狀態(tài)下仔細講解

用規(guī)范頓挫的數(shù)學語言、醒目清楚的板書把每一類情況講透徹.

提升初中生學習等腰三角形效

率的有效途徑

1. 首先讓學生精準掌握等腰三角形的定義

等腰三角形不僅兩邊相等，還是三角形，而且只要涉及三角形中邊的長就要考慮：三邊分別大于0，且任意兩邊之和大于第三邊. 在這里，可進一步突出此重點. （講新課時用例1，期末復習課時用例2）

例1? 如果一個等腰三角形的邊的長為整數(shù)，周長為5，求三條邊的長.

解答? 若腰為1，則底為3. 因為1+1<3，所以不能構(gòu)成三角形. 若腰為2，則底為1. 因為1+2>2，所以可以構(gòu)成三角形. 綜上可知，所求三條邊的長為2，2，1.

例2? 已知一個等腰三角形的周長為8，腰長為x，底邊長為y. 試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求自變量x的取值范圍.

解答? y=8-2x. 由x>0，y=8-2x>0，2x>y，解得2

2. 貫穿折疊，利用探究活動提高學生的學習興趣

興趣是學生學習的動力，只有在興趣的驅(qū)使下，學生的學習才能達到良好的效果. 下面使用小組合作的學習方式，以“通過折疊鞏固等腰三角形的判定”進行探究學習為例.

（1）探究思路

教學完等腰三角形的判定之后，教師在課堂上準備一張矩形硬紙片，演示沿其中一條對角線進行折疊，借此研究在該折疊圖中是否存在等腰三角形，并對結(jié)論進行證明.

從圖1中，學生通過仔細研究找出了等腰三角形ACF——利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，推出∠1=∠2，利用翻折得到∠2=∠3，進而得到∠1=∠3，所以△ACF為等腰三角形. 上述教學過程既鞏固了等腰三角形的判定，又為今后認識“雙平基本圖形”做了鋪墊.

實際上，折疊問題是學習等腰三角形過程中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，學生通過折疊，能感知“軸對稱”這一抽象概念，且折疊后會出現(xiàn)特殊的三角形，這樣可以培養(yǎng)學生對等腰三角形直觀的印象，建立自己的抽象思維. 與此同時，可以培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升.

為了拓展學生的思維，可以以小組討論的形式研究課題，收集在矩形紙片中折疊出等腰三角形的其他方法. 總結(jié)學生的方法后，發(fā)現(xiàn)主要有以下兩種.

方法一，改變折痕的位置. 如圖2，仍然運用“雙平基本圖形”得出等腰三角形CMN.

方法二，如圖3，沿EF對折，取EF上任意一點H，再取BE上任意一點G，展開后得到等腰三角形GHG′——運用定義直接判定即可.

可見，在學習過程中，利用折疊可以把“等角對等邊”和“兩邊相等”這兩個判定等腰三角形的方法學習得全面而透徹.

（2）解題應用

像這樣把等腰三角形和折疊進行整合教學，學生再次遇到折疊的題目時就不會感覺陌生，可以很快地找到相等的線段和相等的角，這能為今后中考的重要考點——折疊問題的學習埋下伏筆. 比如2018年杭州中考數(shù)學試卷第16題——折疊矩形紙片ABCD時，發(fā)現(xiàn)可以進行如下操作（如圖4）：①把△ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，折痕為DE，點E在AB邊上;②把紙片展開并鋪平;③把△CDG翻折，點C落在直線AE上的點H處，折痕為DG，點G在BC邊上. 若AB=AD+2，EH=1，則AD=______.

又如2019年杭州中考數(shù)學試卷第16題——如圖5，把矩形紙片ABCD沿EF，GH折疊（點E，H在AD邊上，點F，G在BC邊上），使點B和點C落在AD邊上同一點P處，A點的對稱點為A′，D點的對稱點為D′. 若∠FPG=90°，△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，則矩形ABCD的面積為______.

這樣教學，學生遇到線段的垂直平分線題目時，可以自然而然地把線段的垂直平分線看作對稱軸，從而更快地找到解題思路. 比如2019年杭州中考數(shù)學試卷第19題——在△ABC中，AC

3. 在等腰三角形的教學中貫穿分類討論思想方法

對于由于存在一些不確定因素而無法解答或者結(jié)論不能統(tǒng)一表述的數(shù)學問題，我們往往將問題劃分為若干個局部問題來解決，這就是分類. 分類是按照數(shù)學對象的相同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同類的思想方法. 分類的原則有：分類中的每一部分是相互獨立的;一次分類按一個標準;分類討論應逐級進行.

我們已經(jīng)知道，等腰三角形的邊有可能是底邊也有可能是腰，角有可能是底角也有可能是頂角，高有可能在三角形邊上或內(nèi)部或外部，所以遇到這些情況時常常需要分類討論，不過還需要注意以下方面.

（1）分類應從畫圖開始

如果把圖畫錯了，那就沒辦法把題做對，例如下面的例3.

例3? 在等腰三角形ABC中，∠A為頂角，腰AB上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到的銳角為50°，求△ABC三個內(nèi)角的度數(shù).

分析? 與高類似，對于鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形來說，邊的中垂線的位置也有很大不同，而直角三角形往往因為其特殊性直接可以識別，所以所有涉及三角形邊的垂線的問題，至少要考慮鈍角三角形和銳角三角形這兩種情況.

答案? 當∠A為銳角時，如圖8，由于腰AB上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到的銳角為50°，所以∠A=90°-50°=40°，∠B =∠C=70°. 當∠A為鈍角時，如圖9，∠A=90°+50°=140°，∠B =∠C=20°.

（2）逐級分類

講解題目時必須把分類討論講解透徹，否則相當于沒講;遇到不確定的條件時需要分類，分類后還有不確定的需要再分類，也就是逐級分類.

例4? 在等腰三角形ABC中，D為線段BC上一點，AD⊥BC. 若AB=10，AD=8，則CD=______.

背景：這是江干區(qū)八上期末學業(yè)水平測試的第15題，得分率為0.61. 雖然題目不是很簡單，但是我們在期末復習時安排了相當長的時間研究分類討論問題. 分析原因，應該是講解題目時不夠細致，沒有把逐級分類的具體細節(jié)講解透徹，使得相當一部分學生少了一個答案.

實際情況：學生的分類方法可以歸納為兩種，但是大多數(shù)學生沒有進行逐級分類，所以少了1個解. 把學生的思路整理完整之后就是下列思路.

◎一級分類：點A為頂角頂點，點A為底角頂點;

二級分類：ABC是順時針順序，ABC是逆時針順序.

◎一級分類：點A為頂角頂點，點B為頂角頂點，點C為頂角頂點;

二級分類：ABC是順時針順序，ABC是逆時針順序.

然后應該畫出4個不同的圖形，如圖10～圖13. 最后得出CD的長為6或4或 .

按照以上思路進行試卷講評后，可以通過下面兩道練習題來加以鞏固.

練習1? 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點D，且AD= BC，則△ABC的底角為______°.

練習2? 已知一個等腰三角形的兩個內(nèi)角分別為（2x-2）°和（3x-5）°，則這個等腰三角形的頂角為______°.

點評? 對于練習1，先分點A為頂角頂點和底角頂點兩類. 當點A為底角頂點時，根據(jù)高在三角形內(nèi)部和外部又可以分為兩類. 因為點B和點C的位置不影響各角度，不影響答案，所以可以不標. 所以共有圖14～圖16三個圖，答案為45°或75°或15°.

對于練習2，先分（2x-2）°為頂角和底角兩類. 當（2x-2）°為頂角時，（3x-5）°一定為底角;但當（2x-2）°為底角時，（3x-5）°可能為底角也可能為頂角. 所以應該得出以下三個方程：（2x-2）+2（3x-5）=180，2x-2=3x-5，2（2x-2）+ （3x-5）=180. 答案為46°或172°或76°.

（3）在等腰三角形的習題中，動點問題是經(jīng)常出現(xiàn)的一類綜合題. 這類題也被學生一度認為是最有難度的試題. 實際上，這類題大多進行一次分類就夠了，也就是“兩圓一線”問題. 比如下面的例5.

例5? 在平面直角坐標系中，已知A（1，1），點P為x軸上的一個動點，則滿足△AOP是等腰三角形的點P的坐標為______.

分析? 由于沒有明確指出點P是等腰三角形的哪個頂點，所以必須分類討論.

答案? （如圖17）當A為頂角頂點時，滿足條件的點P的坐標為（2，0）;當O為頂角頂點時，滿足條件的點P的坐標為（ ，0），（- ，0）;當P為頂角頂點時，滿足條件的點P的坐標為（1，0）. 所以答案為（2，0），（ ，0），（- ，0）或（1，0）.

如果是在學習了函數(shù)之后的期末復習，還可以用下面的題目進行鞏固.

練習3? 在平面直角坐標系中，已知A（2，0），O（0，0），點P在正比例函數(shù)y=x的圖像上運動，則滿足△AOP是等腰三角形的點P的坐標為______.

答案? （如圖18）滿足條件的點P的坐標為（1，1），（2，2），（ ， ）或（- ，- ）.

在復雜的圖形中，教師應引導學生善于捕捉并提取信息，化復雜為簡單. 運用分類討論，其實是把一個復雜問題分解成一個個小的簡單問題來解決，體現(xiàn)了化歸的思想方法. 在此，將分類討論的一般步驟總結(jié)為：①分類的原因：條件或結(jié)論的不確定;②分類的標準：對不確定的條件或結(jié)論進行合理分類;③逐步討論：對各類問題進行詳細討論，逐步解決;④檢查總結(jié)：總結(jié)、歸納各類情況.

從上述例題可以看出，對于與等腰三角形有關(guān)的試題，依靠簡單想象是無法完成的，需要運用分類討論思想，才能將多種情況考慮在內(nèi)，從而解決關(guān)于等腰三角形的綜合問題. 運用數(shù)學思想的意識，并不是一朝一夕養(yǎng)成的，這是一個長期培養(yǎng)、逐步滲透的過程. 在平時的教學中，教師應鼓勵學生多想想、多畫畫，逐漸養(yǎng)成有預見、多角度思考問題的能力.

4. 加強學生動手能力，避免眼高手低

在此需要強調(diào)學生動手能力的培養(yǎng). 在實際教學過程中，筆者發(fā)現(xiàn)部分學生讀完題目之后沒有動手畫圖，而是思考. 思考5分鐘左右，學生認為自己不會做. 這樣的學習習慣是造成學生在解決與等腰三角形有關(guān)的問題時失分的主要原因. 實際上，學生腦海中并沒有形成邏輯思考，欠缺轉(zhuǎn)化數(shù)學語言的意識. 當然，我們必須考慮現(xiàn)實情況，在課堂僅有的45分鐘內(nèi)，教師不可能對每一位學生的解題過程進行觀察，所以為了加強學生在此方面的意識，筆者認為教師可以在每節(jié)課針對3～5位學生的思考進行重點輔導，下節(jié)課再換另外3～5位學生，這樣一定會讓這幾位學生大膽講出自己的解題思路.

學生的“畫圖能力”，指的并不是畫得多么好看、多么標準，但是要畫出題目中的重點. 這是一個漫長的艱難的過程. 作為教師，最有效的辦法是對學生進行鼓勵. 在學生做題時，教師進行一對一的輔導，鼓勵學生敢于下筆，先在草稿紙上畫，有眉目后再正式畫，圖不要畫得太小，要邊畫圖邊思考，至于思考能力的培養(yǎng)，則可以利用思維導圖.

5. 利用學習后測，使學生體驗成功的喜悅

測試題最好只選一道，避免學生的心理負擔過重. 測試題最好包括所有的重點知識和難點，可以試試例題改編，比如下面這道測試題.

測試題? 如圖19，在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點. 已知A，B為格點，如果C也是圖中的格點，則使△ABC為等腰三角形的點C的個數(shù)為（? ? ? ）

A. 6? ? ? B. 13? ? ? C.10? ? ?D.7

評價? 正確答案是C. 選A的問題是：沒有把分類方法學透徹，只考慮了C為頂角頂點的情況. 選B的問題是：沒有掌握三角形這個前提. 選D的問題是：既沒有掌握三角形這個前提，又沒有把分類方法學透徹.

根據(jù)以上結(jié)果可以個別輔導出錯的同學. 教師也可以進一步完善自己的教學方法.

6. 善于利用思維導圖進行知識或題型的整合

思維導圖是一種近幾年迅猛發(fā)展的一種思維方式，被廣泛用于各種領域. 在初中數(shù)學課堂上，思維導圖是一種非常實用的學習輔助工具. 學生可以利用不同的顏色、不同粗細的線條使思維導圖制作美觀，從色彩上抓住自己的注意力. 學生可以根據(jù)自己的興趣選擇不同的方式進行思維導圖的繪制——筆畫或電腦軟件制作. 在實際教學過程中，思維導圖是學習的一種輔助形式，所以鼓勵學生利用畫筆進行思維導圖的繪制，在自己動手的過程中，由于有大腦的參與，所以可以有效地解決學生眼高手低的問題，可以培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力，使學生的知覺、思維、情感、意志、價值觀全面參與，全身心地投入.

構(gòu)建思維導圖時，可以利用多種數(shù)學思維方法，比如類比思想、歸納思想、比較思想等，這樣可以有效地提升思維導圖的應用效果，從而彌補傳統(tǒng)復習的不足，提高復習的質(zhì)量，促進學生發(fā)散思維的養(yǎng)成.

（1）預習是一種良好的學習習慣，認真做好預習工作是課前的一項重要作業(yè)，但是考慮到平時大部分學生的課業(yè)負擔，所以可以把繪制思維導圖的任務安排得極其簡單——只需要畫出一個單元的每一節(jié)標題與單元標題的關(guān)系圖（比如圖20）.

（2）復習時根據(jù)腦海中的知識內(nèi)容，完善預習過程中繪制的思維導圖，著重數(shù)學思想方法的內(nèi)容. 或標記出對以往知識的新見解，把知識充分整合在一起（比如圖21）.

結(jié)束語

綜上所述，應讓學生認識到等腰三角形的前提是三角形，然后通過折疊的活動與體驗，使學生不但親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)等腰三角形的過程，而且不拘泥于頂角頂點總在上方的思維定式，從而自然而然地融入分類討論數(shù)學思想方法，將其活化為學生的精神力量，轉(zhuǎn)化為學生認識世界的方式，使得學習等腰三角形的過程成為學生成長、發(fā)展的過程.