淺析高中數(shù)學(xué)函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性

◎劉振宇 劉 君 （北華大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013）

高中數(shù)學(xué)教材中，單調(diào)性是學(xué)生要掌握的函數(shù)的第一個(gè)基本性質(zhì)，旨在讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)的變化規(guī)律，并由此解決一些相關(guān)問(wèn)題.奇偶性是學(xué)生要掌握的第二個(gè)函數(shù)基本性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，用代數(shù)式來(lái)描述函數(shù)圖像的特點(diǎn).奇偶性實(shí)際上是函數(shù)對(duì)稱性的兩種特殊形式.學(xué)生在做練習(xí)題時(shí)，對(duì)這兩部分知識(shí)的綜合運(yùn)用并不是特別熟練，其原因是對(duì)這兩部分知識(shí)的實(shí)質(zhì)與聯(lián)系未能扎實(shí)掌握.因此本文淺析對(duì)稱性與單調(diào)性的本質(zhì)與聯(lián)系，以期提升學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力.

一、函數(shù)的單調(diào)性

定義：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））恒成立，那么我們就可以說(shuō)，函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是單調(diào)遞增（遞減）的，D稱為函數(shù)f（x）的單調(diào)增（減）區(qū)間.

實(shí)際上對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，如果該函數(shù)有單調(diào)增區(qū)間，那么在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)值是隨著自變量的增大而增大、隨著自變量的減小而減小的，也就是說(shuō)在此區(qū)間上，函數(shù)值大小的變化與自變量大小的變化保持一致性；如果該函數(shù)有單調(diào)遞減區(qū)間，那么在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)值是隨著自變量的增大而減小、隨著自變量的減小而增大的，也就是說(shuō)在此區(qū)間上，函數(shù)值大小的變化與自變量大小的變化保持相反性.以上就是函數(shù)單調(diào)性實(shí)質(zhì)的表述.這樣一來(lái)，關(guān)于連續(xù)非常值函數(shù)，在它的單調(diào)區(qū)間上會(huì)出現(xiàn)最大值與最小值，學(xué)生會(huì)經(jīng)常遇到這類問(wèn)題.對(duì)于這類問(wèn)題，我們首先要明確函數(shù)的定義域，找到它的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題.判斷函數(shù)單調(diào)性常用的方法有作差法和作商法等，這里不做過(guò)多敘述.

拓展：對(duì)于函數(shù)y＝f（x）定義域某個(gè)區(qū)間D上，如果有兩個(gè)自變量x1，x2，并且x1＜x2，若說(shuō)明在此區(qū)間上，函數(shù)值大小的變化與自變量大小的變化保持一致性，該函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增，反之則是單調(diào)遞減的.

二、函數(shù)的對(duì)稱性

（一）兩種對(duì)稱函數(shù)

1.軸對(duì)稱型函數(shù).如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線翻折后，與這條直線另一側(cè)的圖像完全重合，那么我們可以說(shuō)該函數(shù)圖像是關(guān)于這條直線軸對(duì)稱的，這條直線叫作該函數(shù)的一條對(duì)稱軸，具有這一特點(diǎn)的函數(shù)我們稱其為軸對(duì)稱型函數(shù).

2.中心對(duì)稱型函數(shù).如果一個(gè)函數(shù)的圖像以一個(gè)點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180°角后，與原圖像完全重合，那么我們可以說(shuō)這個(gè)函數(shù)圖像是關(guān)于中心對(duì)稱的，這個(gè)點(diǎn)是這個(gè)函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，具有這一特點(diǎn)的函數(shù)我們稱其為中心對(duì)稱型函數(shù).

（二）函數(shù)對(duì)稱的條件

所有函數(shù)的問(wèn)題只有明確了定義域才能繼續(xù)討論，函數(shù)的對(duì)稱性也不例外.上述的兩種對(duì)稱類型函數(shù)，我們?cè)趶?qiáng)調(diào)圖像經(jīng)過(guò)翻折或旋轉(zhuǎn)后能夠完全重合，表現(xiàn)在定義域上也是關(guān)于“軸”或“點(diǎn)”對(duì)稱.比如一個(gè)中心對(duì)稱型函數(shù)y＝f（x），對(duì)稱中心為（a，b）（a，b∈R），其定義域必關(guān)于x＝a對(duì)稱；一個(gè)軸對(duì)稱型函數(shù)y＝g（x），一對(duì)稱軸為x＝c（c∈R），則其定義域必關(guān)于x＝c對(duì)稱.奇函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的函數(shù)，其定義域關(guān)于x＝0 對(duì)稱；偶函數(shù)是關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)，其定義域關(guān)于x＝0 對(duì)稱.

（三）軸對(duì)稱、中心對(duì)稱型函數(shù)代數(shù)式的關(guān)系

1.軸對(duì)稱型函數(shù)y＝f（x）.設(shè)對(duì)稱軸為直線x＝a（a∈R），由軸對(duì)稱的概念我們可以知道，該函數(shù)圖像上關(guān)于直線x＝a對(duì)稱的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.設(shè)該函數(shù)圖像上任一點(diǎn)為（x，f（x）），則其關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)也在該函數(shù)圖像上，可得到其坐標(biāo)為（2a－x，f（2a－x）），則f（x）＝f（2a－x），即f（x）－f（2a－x）＝ 0，此外令x＝x＋a，我們又可以得到式子f（x＋a）－f（a－x）＝ 0.

2.中心對(duì)稱型函數(shù)y＝g（x）.設(shè)對(duì)稱中心為（b，c）（b，c∈R），由中心對(duì)稱的概念可以知道，將該函數(shù)圖像上關(guān)于（b，c）對(duì)稱的兩點(diǎn)連線，（b，c）是這條線段的中點(diǎn).設(shè)該函數(shù)圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，g（x）），則其關(guān)于（b，c）對(duì)稱的點(diǎn)也在該函數(shù)圖像上，坐標(biāo)為（2b－x，g（2b－x）），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式我們可以推導(dǎo)出也就是g（x）＋g（2b－x）＝ 2c，令x＝x＋b，又可以得到g（x＋b）＋g（b－x）＝ 2c.

由以上的推導(dǎo)，對(duì)函數(shù)對(duì)稱性類型總結(jié)為“加點(diǎn)減軸”：兩個(gè)函數(shù)式相加等于某個(gè)常數(shù)，該函數(shù)為中心對(duì)稱型函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)式相減等于0，則該函數(shù)是軸對(duì)稱型函數(shù).

另外，將表達(dá)式推廣到一般形式，做出如下總結(jié)：

f（a＋x） ＝f（b－x） ?y＝f（x） 圖 像 關(guān) 于 直 線x＝對(duì)稱.

推論 1：f（a＋x）＝f（a－x）?y＝f（x）圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.

推論 2：f（x）＝f（2a－x）?y＝f（x）圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.

推論 3：f（－x）＝f（2a＋x）?y＝f（x）圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.

f（a＋x）＋f（b－x）＝ 2c?f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

推論 1：f（a＋x）＋f（a－x）＝ 2b?y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱.

推論 2：f（x）＋f（2a－x）＝ 2b?y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱.

推論 3：f（－x）＋f（2a＋x）＝ 2b?y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱.

三、函數(shù)對(duì)稱性與單調(diào)性的聯(lián)系

1.如果一個(gè)軸對(duì)稱型函數(shù)，既存在單調(diào)增區(qū)間也存在單調(diào)減區(qū)間，那么根據(jù)軸對(duì)稱型函數(shù)的圖像性質(zhì)，我們能夠發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的區(qū)間一定是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的區(qū)間一定是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

2.如果一個(gè)中心對(duì)稱型函數(shù)，既存在單調(diào)增區(qū)間也存在單調(diào)減區(qū)間，那么由中心對(duì)稱型函數(shù)的圖像性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的區(qū)間一定是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間的關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的區(qū)間一定是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

由以上的分析，我們逐漸摸索出了函數(shù)對(duì)稱性與單調(diào)性的本質(zhì)，并且找到了這兩個(gè)性質(zhì)的一些關(guān)聯(lián).接下來(lái)，讓我們通過(guò)一些具體的實(shí)例，感受二者之間的聯(lián)系.

例1已知y＝f（x）是定義在 R 上的函數(shù)，且滿足當(dāng)x＞1 時(shí)，f（x）是單調(diào)遞增的.解不等式f（x＋1）≤f（2）.

思路分析應(yīng)利用軸對(duì)稱型函數(shù)與其單調(diào)性的聯(lián)系求解.首先通過(guò)題中所給信息可以判斷出，該函數(shù)圖像關(guān)于直線x＝1 對(duì)稱，且單調(diào)增區(qū)間為（1，＋∞），就可以知道單調(diào)減區(qū)間為（－∞，1），由對(duì)稱性可知，f（0）＝f（2），由單調(diào)性可以知道在［0，2］區(qū)間上，任意的函數(shù)值都不會(huì)大于f（0）和f（2），那么可得0≤x＋1≤2，解出該不等式的解集為［－1，1］.

證明由于且f（x）的定義域是R，說(shuō)明函數(shù)f（x）是關(guān)于直線x＝1 對(duì)稱的，根據(jù)軸對(duì)稱型函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＜1 時(shí)，f（x）是單調(diào)遞減的.f（2）＝f（1＋1）＝f（1－1）＝f（0），可知

f（x）在［0，1］是單調(diào)遞減的，在（1，2）是單調(diào)遞增的.

有 0≤x＋1≤2，

所以x∈ [－1，1].

例2已知y＝f（x）是定義在 R 上的函數(shù)，滿足等式f（x－1）＋f（3－x）＝ 4，當(dāng)x＜－3 時(shí)，f（x）單調(diào)遞減.

求證：當(dāng)x＞5 時(shí)，f（x）是單調(diào)遞減的.

思路分析此題是在考查函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性的聯(lián)系，我們可以判斷出該函數(shù)是關(guān)于點(diǎn)（1，2）中心對(duì)稱的，并且能夠發(fā)現(xiàn)點(diǎn)（－3，f（－3））與點(diǎn)（5，f（5））恰好是關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱的，根據(jù)中心對(duì)稱型函數(shù)性質(zhì)可知：f（x）在（－∞，－3）上的單調(diào)性與在（5，＋∞）上的單調(diào)性保持一致，這個(gè)問(wèn)題便解決了.

證明由于f（x－1）＋f（3－x）＝ 4，且f（x）的定義域是 R，則f（x＋1）＋f（1－x）＝ 4，f（x）關(guān)于（1，2）對(duì)稱.

f（－3）＋f（5）＝ 4，即（－3，f（－3））與（5，f（5））關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱.

f（x）在（－∞，－3）上是單調(diào)遞減的，根據(jù)中心對(duì)稱型函數(shù)性質(zhì)可知，f（x）在（5，＋∞）上是單調(diào)遞減的.

即當(dāng)x＞5 時(shí)，f（x）是單調(diào)遞減的.

例 3已知：f（x）＝ （x－1）3＋1.求證：4－（f（0）＋f（－2））＜f（3）＋f（5）.

思路分析此題給出函數(shù)具體表達(dá)式，來(lái)證明不等式成立.很顯然要應(yīng)用單調(diào)性來(lái)證明，f（x）＝ （x－1）3＋1 是由f（x）＝x3平移得到的，平移變換并不影響函數(shù)的對(duì)稱性.

證明易知f（x）＝ （x－1）3＋1 圖像關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，則f（－2）＋f（4）＝ 2，f（0）＋f（2）＝ 2，

所以 4－（f（－2）＋f（0））＝f（2）＋f（4）.

證明f（2）＋f（4）＜f（3）＋f（5）成立即可.

可知f（x）＝ （x－1）3＋1 在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，且f（x）＞0，則f（2）＋f（4）＜f（3）＋f（5），

所以 4－（f（0）＋f（－2））＜f（3）＋f（5）.

結(jié)語(yǔ)

對(duì)于綜合考查函數(shù)對(duì)稱性與單調(diào)性的問(wèn)題，要先確定函數(shù)的對(duì)稱類型，再根據(jù)單調(diào)性與對(duì)稱性的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想解決問(wèn)題.教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)，并加以聯(lián)系，從而提升學(xué)生的解題能力.