中西方音階中的數(shù)學(xué)知識

李新華

中西方音樂在世界藝術(shù)領(lǐng)域中都有著各自重要的地位.中國音樂古樸素雅，西方音樂豐富多變，均受到人們的喜愛.當(dāng)我們對二者進行時，就會發(fā)現(xiàn)它們的音階體系有著明顯的差異.由于地域位置、生活環(huán)境和選取材料的不同，人們所獲得的音階構(gòu)成形式也有很大的差異，由此便誕生了七聲音階和五聲音階.

中國的傳統(tǒng)音階是五聲音階，由“Do、Re、Mi、Sol、La”這五個全音組成，在中國古代典籍中寫作：宮、商、角、徵、羽.西方音階是七聲音階，即“Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si”.

中國傳統(tǒng)五聲音階早在公元前十世紀就已經(jīng)出現(xiàn).《國語》記載的“景王問鐘律于伶州鳩”中，就曾提到“宮、角、羽”三個音.西方音樂學(xué)家通常把古希臘音樂作為西方音樂的起源.但古希臘調(diào)式音樂為“四音列”，每兩個相同結(jié)構(gòu)的“四音列”首尾相連可組成一個七聲調(diào)式，這可能是七聲音階最早的雛形.

令人驚訝的是，我們可以運用數(shù)學(xué)知識來解釋音樂的基本元素——樂音與音階的構(gòu)成原理.

我國最早有關(guān)音律的記載是《管子·地員》中提到的用“三分益一”和“三分損一”的方法研究五聲音階中各音階弦長比.這種依據(jù)聲學(xué)原理，運用數(shù)學(xué)方法研究音階的理論稱為“三分損益律”，如下圖.作為一種生律法，它不僅可以生成五聲音階，還可以生成十二律.《呂氏春秋·音律》中就記載了十二律的名稱和推算過程.

幾乎在同一時期，古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯也在探索音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系.他認為琴弦的長短和音調(diào)的高低是成比例的，當(dāng)弦長比分別為 2：1（純八度）、3：2（純五度）、4：3（純四度）時，發(fā)出的音是協(xié)調(diào)完美的.他以純五度作為生律的關(guān)鍵，提出了“五度相生律”，亦被稱為“畢達哥拉斯律”.“五度相生律”與“三分損益律”有著極其相似的地方，這說明人類聽覺能力的進化和對自然音階的認識是有共性的.而且，中西方音樂中音階的構(gòu)成形式雖然不同，但最終結(jié)果均是將一個完整的八度音階分成了十二個半音.

另外，人耳之所以能夠聽見動聽的樂音，是因為物體振動產(chǎn)生的聲波，通過空氣傳播引起我們耳鼓微小振動.振動的強弱（能量的大?。w現(xiàn)為聲音的大小，不同物體的振動體現(xiàn)為聲音音色的不同，而振動的快慢就體現(xiàn)為聲音的高低.

當(dāng)聲音頻率過高或過低時，人的耳朵就會感覺不舒服或完全不能感知，音樂中常使用的頻率范圍大約是16至4000赫茲.在七度音階中，頻率為261.63赫茲的音在音樂里用字母c1來表示.一根弦所發(fā)出的聲音與同一根弦的長度減半后發(fā)出的聲音非常和諧，因其振動頻率十分和諧，即“共鳴”，此時的兩個音便是我們常說的八度音.英國數(shù)學(xué)家泰勒確立的數(shù)學(xué)公式精確地描述了弦的狀態(tài)與音樂的關(guān)系，即：弦振動的頻率與弦的張緊力的平方根成正比，與弦的線密度的平方根成反比，與弦的長度成反比.利用這個公式，我們可以知道，一對八度音事實上就是頻率之比等于2：1的兩個音.

顯然，數(shù)學(xué)知識在樂理的研究與發(fā)展中發(fā)揮著重要作用，人們運用數(shù)學(xué)知識可以完美、精確地詮釋樂音與音階的構(gòu)成原理.