2020年高考“圓錐曲線與方程”專題解題分析

秦文波 張曉斌

摘 ?要：在2020年高考數(shù)學(xué)試卷中，對圓錐曲線與方程專題的考查以主干知識為主，在立足“四基”的基礎(chǔ)上重視對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的考查. 通過對2020年13份高考數(shù)學(xué)試卷中的圓錐曲線試題進(jìn)行知識分析和解法分析，為圓錐曲線與方程專題的復(fù)習(xí)提供一些建議.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;標(biāo)準(zhǔn)方程;幾何性質(zhì);基本問題;核心素養(yǎng)

在2020年的高考數(shù)學(xué)試卷中，本專題相關(guān)試題難度適中，考查內(nèi)容全面，橢圓、雙曲線和拋物線全覆蓋，定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)（如對稱性、漸近線、離心率等）、直線與圓錐曲線的綜合等考點(diǎn)均有涉及. 在重點(diǎn)考查平面解析幾何基本方法和基本思想的同時(shí)，重視考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

一、核心考點(diǎn)與典型試題分析

1. 圓錐曲線的定義

用圓錐曲線的定義將幾何條件“點(diǎn)在圓錐曲線上”代數(shù)化是非常重要的思想，解題時(shí)需要一以貫之.

【評析】該題主要考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題，解決問題的關(guān)鍵是用拋物線的定義得到焦半徑公式.

2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是研究圓錐曲線性質(zhì)的第一步，常出現(xiàn)在解答題第（1）小題，使用的方法是直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法和待定系數(shù)法，在每年高考中均有涉及. 圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程之間的區(qū)別與聯(lián)系同樣不容小覷.

【評析】該題主要考查圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，屬于中檔題，熟悉圓、橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵.

3. 圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)

（1）對稱性.

橢圓、雙曲線和拋物線都是軸對稱圖形，在解題時(shí)，如果學(xué)生能從問題的幾何特征出發(fā)，分析試題中描述的圖形是否具有對稱性，則對于簡化計(jì)算是非常有幫助的.

【評析】該題主要考查雙曲線焦距的求法，涉及三角形面積和直線與雙曲線交點(diǎn)的求法，解題的關(guān)鍵是掌握雙曲線的漸近線方程和用均值不等式求最值的方法. 屬于中檔題.

4. 直線與圓錐曲線綜合問題

（1）距離.

距離是平面解析幾何中的基本問題之一. 以圓錐曲線為載體考查距離的形式有很多，如長度問題、面積問題、比例問題和對稱性問題等，掌握兩點(diǎn)間距離公式是求解此類問題的基礎(chǔ).

【評析】該題以拋物線為載體，考查平面幾何中的基本問題——距離. 該題中所求距離為拋物線的焦點(diǎn)弦長，需要利用拋物線的定義、直線與拋物線方程聯(lián)立，以及過焦點(diǎn)的弦長公式等. 屬于基礎(chǔ)題.

（2）位置關(guān)系.

位置關(guān)系是平面解析幾何中的另一基本問題. 在圓錐曲線試題中將位置關(guān)系作為幾何條件或者目標(biāo)問題的情況非常普遍，學(xué)生需要熟練掌握它們的代數(shù)化方式. 常見的有平行、垂直和夾角.

【評析】該題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解決問題的關(guān)鍵是將幾何條件“垂直和平行”代數(shù)化，屬于基礎(chǔ)題.

（3）范圍和最值問題.

在圓錐曲線中，求范圍和最值的首要步驟是幾何分析，基本思想是函數(shù)思想，基本工具是均值不等式和導(dǎo)數(shù).

【評析】該題的第（2）小題主要考查最值的求法，解決問題的關(guān)鍵是清楚運(yùn)動(dòng)變化產(chǎn)生的原因. 由于運(yùn)動(dòng)變化是由點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)引起的，因此可以用“設(shè)點(diǎn)法”，通過設(shè)主動(dòng)點(diǎn)[P]的坐標(biāo)來表達(dá)被動(dòng)點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，最后借助二次函數(shù)的最值求解.

（4）定點(diǎn)、定值問題.

解析幾何的引入有利于更好地研究運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中的不變性（定點(diǎn)、定值和最值）一直是考查的重點(diǎn). 對于是否為定值和是否為定點(diǎn)，主要通過幾何分析和代數(shù)運(yùn)算來判斷.

【評析】該題的第（2）小題主要考查借助橢圓方程研究橢圓的性質(zhì)——直線過定點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵是清楚直線[CD]變化的原因. 由于直線[CD]的變化是由點(diǎn)[P]引起的，故采用“設(shè)點(diǎn)法”，設(shè)出點(diǎn)[P]的坐標(biāo)，并將其作為主動(dòng)點(diǎn)，用點(diǎn)[P]的坐標(biāo)表示出直線[CD]的方程，最后將方程整理為“點(diǎn)斜式”，然后順利獲解.

二、典型解法分析

1. 直譯法

直譯法就是在解決圓錐曲線問題的過程中，將幾何條件代數(shù)化，建立關(guān)系式，利用數(shù)學(xué)運(yùn)算求解獲得結(jié)果. 直譯法強(qiáng)調(diào)的是對條件的逐個(gè)使用、翻譯，以及運(yùn)算程序的實(shí)施.

【評析】該題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率，拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程. 解決問題的關(guān)鍵是將試題中的幾何條件代數(shù)化，利用方程思想求解未知數(shù). 該題屬于中檔題，采用直譯法即可順利獲解.

2. 設(shè)而不求法

（1）設(shè)點(diǎn)法.

當(dāng)幾何問題是由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化引起，同時(shí)用主動(dòng)點(diǎn)能順利地將幾何條件代數(shù)化并且代數(shù)運(yùn)算切實(shí)可行時(shí)，學(xué)生可以用點(diǎn)來刻畫幾何問題，選用“設(shè)點(diǎn)法”來求解問題.

【評析】該題的第（2）小題主要考查最值問題. 由于[△AMN]面積的變化是由點(diǎn)[N]的運(yùn)動(dòng)引起的，故可采用“設(shè)點(diǎn)法”求解. 解決問題的關(guān)鍵是借助橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)[N]的坐標(biāo). 屬于中檔題.

（2）設(shè)線法.

在很多情況下，不能用點(diǎn)來刻畫幾何問題，或者理論上能用點(diǎn)來刻畫，但代數(shù)運(yùn)算相當(dāng)煩瑣，導(dǎo)致學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)無法求解試題，這時(shí)學(xué)生應(yīng)該在此基礎(chǔ)上，用直線來刻畫幾何問題，即用直線方程中的兩個(gè)參數(shù)（斜率和截距）來刻畫幾何問題，選用設(shè)線法，用這兩個(gè)參數(shù)使幾何條件代數(shù)化，借助設(shè)而不求的思想實(shí)現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算，巧妙解題.

在用直線來刻畫幾何問題的試題中，由于直線的參數(shù)有兩個(gè)，因此一般可以分為三類試題：用直線的斜率刻畫幾何問題（包括斜率和斜率的倒數(shù)）;用直線的截距刻畫幾何問題（包括橫截距和縱截距）;用直線的截距和斜率共同刻畫幾何問題.

【評析】該題的第（2）小題主要考查橢圓的性質(zhì). 通過數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)原問題等價(jià)于求點(diǎn)[P]和點(diǎn)[Q]縱坐標(biāo)之比，由于整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化是由直線[MN]繞著點(diǎn)[B]運(yùn)動(dòng)引起的，故可采用“設(shè)線法”來求解. 用斜率[k]來刻畫直線的旋轉(zhuǎn)，通過引入斜率[k]設(shè)出直線方程，再根據(jù)試題條件，將點(diǎn)[P]和點(diǎn)[Q]的縱坐標(biāo)用斜率[k]表示出來，最后順利獲解.

3. 設(shè)而要求法

【評析】該題通過設(shè)出點(diǎn)[M]的坐標(biāo)和點(diǎn)[M]到直線[AB]的距離，將試題中的幾何條件代數(shù)化，借助函數(shù)與方程的思想求得點(diǎn)[M]的坐標(biāo)，這是典型的設(shè)而要求的方法.

4. 幾何分析法

從問題本身考慮，平面解析幾何是幾何學(xué)的一個(gè)分支，簡單明了的幾何分析是必要的;從方法論來考慮，平面解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題;就高中數(shù)學(xué)而言，應(yīng)該側(cè)重代數(shù)化. 高考對圓錐曲線的考查是在兩者之間尋求一種平衡，在側(cè)重考查代數(shù)運(yùn)算的同時(shí)，也重視對幾何分析的考查. 而且，在某些情況下，利用幾何分析法求解圓錐曲線試題會簡化運(yùn)算，提高答題速度，需引起高度重視.

下面以例11第（2）小題的解答為例.

【評析】該解法借助圖形特征，將原問題轉(zhuǎn)化為求橢圓的切線，使得運(yùn)算簡化，體現(xiàn)了利用幾何性質(zhì)分析的重要性.

三、備考建議

1. 幾何分析，關(guān)注本質(zhì)，優(yōu)化解題策略

平面解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題，解析是方法，幾何才是本真. 解析的核心思想是幾何問題代數(shù)化. 對于圓錐曲線問題，如果學(xué)生只會將幾何問題代數(shù)化，通過展開代數(shù)運(yùn)算來求解問題，這樣難免會增加運(yùn)算量、加大解題難度. 如果在用代數(shù)方法、代數(shù)知識解題的同時(shí)，能充分抓住問題的幾何特征，往往能簡化運(yùn)算，起到事半功倍的效果. 因此，在解題時(shí)，要把數(shù)形結(jié)合、幾何分析放在首位.

2. 回歸教材，注重基礎(chǔ)，立足系統(tǒng)構(gòu)建

良好的知識結(jié)構(gòu)是解決問題的關(guān)鍵，對于本專題的復(fù)習(xí)，學(xué)生要構(gòu)建圓錐曲線與方程的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 這就需要回歸教材，將教材的知識體系作為復(fù)習(xí)的主要依據(jù)，對圓錐曲線基礎(chǔ)知識進(jìn)行全面梳理，并對基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)、歸納.

3. 加強(qiáng)練習(xí)，建立模型，重視素養(yǎng)發(fā)展

在構(gòu)建圓錐曲線的知識結(jié)構(gòu)體系后，學(xué)生需要加強(qiáng)練習(xí)（最好是教材原題和高考真題），并對練習(xí)題進(jìn)行歸納、總結(jié)和分析，建立若干問題模型. 例如，“用定義求解問題的模型”“用對稱性求解問題的模型”“離心率模型”“定點(diǎn)模型”和“范圍、最值模型”等. 建立起諸多模型之后，學(xué)生就能化有形為無形，提高分析問題和解決問題的能力，最終實(shí)現(xiàn)快速、精準(zhǔn)解題.

參考文獻(xiàn)：

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