2020年高考“計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)”專題命題分析

周遠(yuǎn)方 李冉 徐新斌

摘 ?要：2020年高考數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的考查，通過真實(shí)問題情境，落實(shí)五育并舉，體現(xiàn)時(shí)代特色，充分發(fā)揮了概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的育人價(jià)值. 命題立足基礎(chǔ)，貼近教材，注重通性、通法，突出統(tǒng)計(jì)思維，考查關(guān)鍵能力，充分展示了數(shù)學(xué)在生活中的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值. 試題體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，科學(xué)實(shí)現(xiàn)了本專題內(nèi)容的甄別功能和積極導(dǎo)向作用，對(duì)今后復(fù)習(xí)備考有良好的指導(dǎo)價(jià)值.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);概率與統(tǒng)計(jì);計(jì)數(shù)原理;命題分析;復(fù)習(xí)建議

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量;統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認(rèn)識(shí)未知現(xiàn)象的一門科學(xué)，它可以為人們制定決策提供依據(jù). 學(xué)會(huì)收集、整理和分析數(shù)據(jù)，從生活中的隨機(jī)性問題分析出內(nèi)在的穩(wěn)定性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)，是高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的基本要求. 歷年高考中考查計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)多以基礎(chǔ)題、中檔題出現(xiàn)，考查的重點(diǎn)是古典概型、計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理、樣本估計(jì)總體等主干知識(shí).

2020年高考，山東省、海南省分別首次使用教育部考試中心命制的不分文、理科的新高考全國(guó)Ⅰ卷和新高考全國(guó)Ⅱ卷;北京市、上海市、天津市、浙江省、江蘇省仍為自主命題，且都不分文、理科，共5套數(shù)學(xué)試卷;其余各地區(qū)均使用教育部考試中心命制的全國(guó)Ⅰ卷、全國(guó)Ⅱ卷和全國(guó)Ⅲ卷的文、理科數(shù)學(xué)試題，共3套6份試卷. 因此，2020年的高考共有10套13份數(shù)學(xué)試卷，每份試卷都對(duì)計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)進(jìn)行了考查. 本文將對(duì)13份試卷中的計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的考查情況進(jìn)行分析，總結(jié)試題特點(diǎn)和規(guī)律，以便對(duì)2021年復(fù)習(xí)備考提供參考.

一、考查內(nèi)容分析

2020年高考命題以《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》為指南，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，堅(jiān)持知識(shí)為基、能力為重、素養(yǎng)導(dǎo)向和價(jià)值引領(lǐng)的命題原則，充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)試題的區(qū)分選拔功能和正確導(dǎo)向作用. 2020年計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)試題以科學(xué)的生產(chǎn)生活情境為背景，通過創(chuàng)新試題情境，著重考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解和信息整理能力，以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 試題在保持總體穩(wěn)定的前提下，大膽創(chuàng)新，既突出了數(shù)學(xué)的通用性和基礎(chǔ)性，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，彰顯了育人功能.

統(tǒng)計(jì)表明，2020年計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的考查特點(diǎn)，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

（1）注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)題. 例如，古典概型、樣本數(shù)據(jù)的計(jì)算、二項(xiàng)式定理特定項(xiàng)系數(shù)的計(jì)算等問題.

（2）注重考查計(jì)數(shù)原理、獨(dú)立事件概率的計(jì)算等稍具綜合性的中檔題.

（3）突出科學(xué)價(jià)值和育人功能的情境題. 例如，種子發(fā)芽率問題、工廠加工決策問題、空氣質(zhì)量問題、信息熵問題等.

在2020年的13份高考數(shù)學(xué)試卷中，關(guān)于概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理的試題，客觀題主要考查樣本數(shù)據(jù)的計(jì)算、選擇和數(shù)學(xué)建模，以及二項(xiàng)式定理等內(nèi)容. 主觀題則通過實(shí)際應(yīng)用考查數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等為主. 突出應(yīng)用性的同時(shí)，重在考查學(xué)生建立模型、分析和處理數(shù)據(jù)的能力，有效地檢測(cè)了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想與方法的掌握程度.

1. 考點(diǎn)布局合理，題型一應(yīng)俱全

2020年全國(guó)各地高考試題總體來看，對(duì)概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理的覆蓋面廣，既重點(diǎn)考查了古典概型、建立概率模型、二項(xiàng)式定理等必備知識(shí)，又通過處理樣本數(shù)據(jù)、用頻率估計(jì)概率、樣本估計(jì)總體和獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)載體，有效地考查了學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想方法、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng). 從題型上看，選擇題、填空題、解答題三種題型，一應(yīng)俱全.

2. 題量分值各異，文、理科差異減小

2020年的13份數(shù)學(xué)試卷中，涉及概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理的試題，大多數(shù)試卷保持大小兼顧，只有上海卷和浙江卷中沒有出現(xiàn)解答題，具體分布情況如表1所示.

統(tǒng)計(jì)表明，三套全國(guó)卷的文、理科相關(guān)試題數(shù)量及分?jǐn)?shù)值差異不大，其中全國(guó)Ⅰ卷文、理科及全國(guó)Ⅱ卷和全國(guó)Ⅲ卷的理科均為“兩小一大”，全國(guó)Ⅱ卷和全國(guó)Ⅲ卷文科均為“一小一大”，分值在17 ～ 22分之間. 其他試卷題量各不相同，客觀題數(shù)量從一道到三道，主觀題數(shù)量從零道到一道，各有差異，分值6 ～ 27分各不相同.

由于在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》和考試大綱中，文、理科對(duì)于概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理的要求有所差別，同時(shí)新高考相較原來課程內(nèi)容有一定的更新，導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的文、理科試卷有較多的姊妹題出現(xiàn)，同時(shí)又存在一定的差異;各卷試題雖然題量分值差異較大，但試題的背景及知識(shí)點(diǎn)同根同源.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中對(duì)于概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理的考查不再有文、理分科的區(qū)別，因此全國(guó)6份試卷中文、理科完全相同的題量增加，傳遞了新高考命題文、理科同題的信號(hào).

3. 總體難度穩(wěn)定，突出通性、通法

2020年高考數(shù)學(xué)試題根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，科學(xué)調(diào)控試卷難度，充分體現(xiàn)了“低起點(diǎn)、多層次、高落差”的科學(xué)調(diào)控策略. 13份數(shù)學(xué)試卷中的概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理試題總體難度平穩(wěn)、層次清晰，突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想和關(guān)鍵能力的考查;情境真實(shí)，背景豐富，突出運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法考查理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用等學(xué)科素養(yǎng)的特點(diǎn). 例如，全國(guó)Ⅰ卷文科試題將概率問題的考查從18題變?yōu)?7題，其中第（1）小題考查的是利用頻率估計(jì)概率的問題，第（2）小題考查的是利用平均數(shù)來進(jìn)行決策的問題，兩道小題的設(shè)計(jì)都遵循低起點(diǎn)和低難度，從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法等方面入手，面向全體學(xué)生，體現(xiàn)注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、回歸教材的特點(diǎn). 這些做法充分體現(xiàn)了在考查必備知識(shí)的基礎(chǔ)上，突出對(duì)通性、通法的考查.

二、命題思路分析

2020年高考數(shù)學(xué)概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理試題，面向全體學(xué)生，以豐富的背景為依托，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 命題重視計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)內(nèi)容和主干知識(shí)，加大對(duì)核心概念和思想方法的考查力度;命題在遵循基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求的同時(shí)，加大對(duì)試題情境的創(chuàng)新力度，多數(shù)試題背景源于社會(huì)生產(chǎn)實(shí)際，令人耳目一新，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)聯(lián);命題通過具有濃厚時(shí)代氣息的現(xiàn)實(shí)問題，加大對(duì)數(shù)學(xué)閱讀與理解能力、信息提取與整合能力、語(yǔ)言表達(dá)與運(yùn)用能力的考查力度，全面檢測(cè)學(xué)生的概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng).

1. 注重基礎(chǔ)考查，突出主干內(nèi)容

2020年的13份高考數(shù)學(xué)試卷中都有關(guān)于概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理的基本內(nèi)容的考查，主要涉及建立模型、樣本數(shù)據(jù)的計(jì)算、數(shù)據(jù)分析、古典概型、計(jì)數(shù)原理等，都以容易題和中檔題出現(xiàn). 這種做法既體現(xiàn)了高考聚焦數(shù)學(xué)概念、強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性的命題指導(dǎo)思想，又有利于學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的方式思考問題的習(xí)慣.

【評(píng)析】此題主要考查利用散點(diǎn)圖選擇回歸方程模型的問題，是統(tǒng)計(jì)的主干知識(shí). 學(xué)生需要分析散點(diǎn)圖后結(jié)合函數(shù)圖象的知識(shí)選擇合適的回歸模型. 該題圍繞主干內(nèi)容，文、理同題共用，考查基本的數(shù)學(xué)概念、思想和方法，既考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，又體現(xiàn)了高考試題文、理趨同的變化.

【評(píng)析】此題主要考查平均數(shù)和中位數(shù)的概念與計(jì)算，要求學(xué)生根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a，b的方程，從而求解. 此題在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況的同時(shí)，又需要學(xué)生具備基本的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)通性、通法的考查要求.

【評(píng)析】此題主要考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，能讓大多數(shù)學(xué)生得分，屬于基礎(chǔ)題. 解決此題既可以利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法直接計(jì)算比較大小，又可以通過分析數(shù)據(jù)的離散程度判斷標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組. 通過基礎(chǔ)知識(shí)考查了不同學(xué)生處理數(shù)據(jù)水平的差異，較好地發(fā)揮了高考的區(qū)分功能.

2. 注重貼近教材，引導(dǎo)教學(xué)回歸

教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要學(xué)習(xí)資源. 高考試題千變?nèi)f化，對(duì)教材習(xí)題的改編卻始終是高考試題的重要組成部分. 在立足于《標(biāo)準(zhǔn)》的基礎(chǔ)上，對(duì)教材題型的改編體現(xiàn)了新高考命題回歸教材、貼近教學(xué)改革的命題思路，從而使高考命題有了良好的教學(xué)導(dǎo)向，也可以較好地達(dá)到考查學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的掌握情況的目的.

【評(píng)析】此題由人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（選修2—3）》第一章復(fù)習(xí)參考題A組第8題第（4）小題改編而成，主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式. 學(xué)生只需對(duì)通項(xiàng)中的指數(shù)賦值就能作答，考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想分析和解決問題的能力. 這種設(shè)計(jì)源于教材、素材取自于教材的試題還有很多，這些試題充分詮釋了教材的重要性，重在引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律、回歸課堂，用好教材，避免超綱學(xué)、超量學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生回歸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本真.

3. 注重統(tǒng)計(jì)思維，考查關(guān)鍵能力

統(tǒng)計(jì)思維是基于問題、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、解讀數(shù)據(jù)的過程，是在獲取數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息、論證結(jié)論可靠性等過程中表現(xiàn)出來的一種思維模式. 只有具備統(tǒng)計(jì)思維才能掌握數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵，才能養(yǎng)成閱讀、理解、辯證思考統(tǒng)計(jì)信息及做出決策的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng). 在概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理內(nèi)容的考查中，注重以現(xiàn)實(shí)問題為背景、以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為載體，將關(guān)鍵能力與統(tǒng)計(jì)思維有機(jī)結(jié)合，突出統(tǒng)計(jì)推斷、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)化等思想方法，考查學(xué)生對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)思想方法的理解、掌握和運(yùn)用程度.

【評(píng)析】此題以沙漠治理為背景設(shè)計(jì)，選取生態(tài)問題切入，提取并分析數(shù)據(jù)，利用樣本估計(jì)總體，計(jì)算野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值，然后根據(jù)數(shù)據(jù)選擇合適的抽樣方法，主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力，以及分析問題和解決問題的能力. 沙漠治理問題是一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱巨的任務(wù)，治理效果可以通過植被狀況和生物多樣性來反映，這種真實(shí)的問題情境既具有現(xiàn)實(shí)意義，又是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)能夠解決的問題，試題研究結(jié)論既反映了我國(guó)在環(huán)境治理方面的成就，又體現(xiàn)了立德樹人的教育宗旨.

【評(píng)析】此題以判斷到公園進(jìn)行體育鍛煉的人次與當(dāng)天的空氣質(zhì)量狀況是否有關(guān)為背景，給出某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次的數(shù)據(jù)表，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)思想解決統(tǒng)計(jì)模型的能力. 試題通過計(jì)算對(duì)應(yīng)空氣質(zhì)量等級(jí)出現(xiàn)的頻率，用頻率估計(jì)概率、用頻數(shù)分布表來估計(jì)總體的平均數(shù)，是一道考查統(tǒng)計(jì)推斷方法的好題. 同時(shí)需要學(xué)生利用建模的思想，根據(jù)頻數(shù)分布表建立2 × 2列聯(lián)表模型，判斷鍛煉人次與空氣質(zhì)量的相關(guān)程度. 試題設(shè)問梯次遞進(jìn)、銜接自然，展示了數(shù)據(jù)整理、顯示、分析、建模和應(yīng)用，以及統(tǒng)計(jì)推斷的全過程，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，學(xué)會(huì)用統(tǒng)計(jì)思維解決實(shí)際問題.

4. 注重情境創(chuàng)新，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用

創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭源泉，是引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力. 創(chuàng)新試題情境設(shè)計(jì)新穎靈活、不落俗套，脫離一般的解題套路，采取多樣化的形式、多角度的設(shè)問、不唯一的答案，真實(shí)地考查數(shù)學(xué)應(yīng)用. 2020年概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理試題體現(xiàn)了創(chuàng)新導(dǎo)向，通過創(chuàng)新試題的素材背景、呈現(xiàn)形式和設(shè)問方式，將統(tǒng)計(jì)思維作為重點(diǎn)目標(biāo)，將應(yīng)用性作為重點(diǎn)要求，突出考查學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維、創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用. 大多數(shù)試題以概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)知識(shí)為載體，借助開放性、探索性和創(chuàng)新性問題，讓學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)問題，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考、發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生的想象力和思想的張力，把學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)答案中解放出來，而不是注重刷題和訓(xùn)練的技巧.

【評(píng)析】此題以信息論之父香農(nóng)（C.E.Shannon）提出的“信息熵”的概念為背景，給出了信息熵的數(shù)學(xué)定義和計(jì)算信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式，要求學(xué)生結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)，判斷信息熵的相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì). 學(xué)生需要提取條件信息，在理解信息熵的數(shù)學(xué)定義的基礎(chǔ)上，分析信息熵具有的非負(fù)性、對(duì)稱性、確定性和單調(diào)性等性質(zhì)，對(duì)學(xué)生借助已有知識(shí)獲取新知識(shí)的能力、對(duì)新概念的理解能力和對(duì)新問題的探究能力都有較高要求. 信息熵在數(shù)學(xué)上量化了通訊過程中信息漏失的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)，具有劃時(shí)代的意義. 因此，試題對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、提高探究能力都有著積極的引導(dǎo)作用.

【評(píng)析】此題將概率知識(shí)與數(shù)列問題有機(jī)結(jié)合，具有一定的創(chuàng)新性，主要考查古典概型、概率中遞推關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)學(xué)期望公式等知識(shí)和方法，考查學(xué)生的綜合分析求解能力. 需要學(xué)生通過探索第n - 1次操作后的結(jié)果與第n次操作后的結(jié)果的遞推關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列，體現(xiàn)了實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)在解決問題中的重要性. 此題的知識(shí)與方法跨度較大，平時(shí)不多見，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)水平有較好的檢測(cè)和區(qū)分功能，是難得的好題.

5. 緊跟時(shí)代步伐，展現(xiàn)育人價(jià)值

知識(shí)來源于生活，也服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開生活. 概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理是數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域交叉最多的主題內(nèi)容，2020年高考數(shù)學(xué)試題中不乏見到與生活息息相關(guān)的實(shí)際問題，這些實(shí)際問題的背景豐富多彩，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在科技生活中的應(yīng)用價(jià)值，有助于學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問題、用數(shù)學(xué)方法提出問題、用數(shù)學(xué)思維解決問題的習(xí)慣.

例10 （全國(guó)Ⅱ卷·理3 / 文4）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1 200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓. 為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作. 已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1 600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概括不小于0.95，則至少需要志愿者（ ? ?）.

（A）10名 （B）18名 （C）24名 （D）32名

【評(píng)析】此題以疫情防空期間志愿者參加配貨工作為背景設(shè)計(jì)，立足于考查概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本能力，要求學(xué)生能讀懂試題內(nèi)容，理解信息、提取信息，并能建立概率模型分析問題和解決問題. 試題緊扣疫情期間大規(guī)模網(wǎng)購(gòu)配貨的真實(shí)情景，學(xué)生十分熟悉，體現(xiàn)了生活中處處有數(shù)學(xué)，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和育人價(jià)值. 試題的情境具有濃厚的時(shí)代氣息，弘揚(yáng)了志愿精神，具有積極的教育意義.

例11 （全國(guó)Ⅰ卷·文17）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí). 加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元;對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元. 該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù). 甲分廠加工成本費(fèi)為25元 / 件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元 / 件. 廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下.

（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率;

（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？

【評(píng)析】此題以廠家生產(chǎn)工作為背景，需要學(xué)生建立模型，利用平均數(shù)分析兩個(gè)分廠的生產(chǎn)利潤(rùn)，契合社會(huì)熱門的利用大數(shù)據(jù)服務(wù)生產(chǎn)生活的話題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活和勞動(dòng)教育中起著至關(guān)重要的作用. 試題以產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)、產(chǎn)品質(zhì)量和平均利潤(rùn)為依據(jù)，將勞動(dòng)教育與數(shù)學(xué)課程有機(jī)結(jié)合，有利于促進(jìn)學(xué)生樹立正確的勞動(dòng)觀念、勞動(dòng)態(tài)度和勞動(dòng)精神.

6. 貫徹評(píng)價(jià)體系，落實(shí)五育并舉

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》（以下簡(jiǎn)稱《體系》）是高考命題的理論基礎(chǔ)和實(shí)踐指南，貫徹高考評(píng)價(jià)體系要體現(xiàn)立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的核心功能，要結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)，全面落實(shí)“五育并舉”的要求. 2020年高考數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)試題，貫徹落實(shí)高考評(píng)價(jià)體系學(xué)科化的具體要求，將我國(guó)社會(huì)主義建設(shè)成果、社會(huì)生產(chǎn)勞動(dòng)實(shí)踐、體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目等問題情境與數(shù)學(xué)基本概念有機(jī)結(jié)合，在體現(xiàn)運(yùn)用計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)、思想和方法，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等學(xué)科素養(yǎng)的同時(shí)，全方位考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力.

例12 （全國(guó)Ⅰ卷·理19）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空. 設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為[12.]

（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率;

（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;

（3）求丙最終獲勝的概率.

【評(píng)析】此題以羽毛球比賽為背景，將概率問題融入羽毛球比賽的約定賽制之中，意在考查學(xué)生對(duì)概率基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，對(duì)事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力，以及邏輯思維能力. 需要學(xué)生根據(jù)賽制建立模型，列出符合題目條件的基本事件，再進(jìn)行解答. 羽毛球一直是中國(guó)的體育運(yùn)動(dòng)強(qiáng)項(xiàng)，以此為背景，有利于增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感與自信心. 類似的還有全國(guó)新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第5題，以學(xué)生喜愛的足球和游泳運(yùn)動(dòng)為背景設(shè)計(jì)了簡(jiǎn)單的計(jì)算問題，考查學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的理解和應(yīng)用能力，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)在體育運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的興趣.

【評(píng)析】這3道試題分別以精準(zhǔn)扶貧工作、垃圾分類宣傳和做場(chǎng)館志愿者為背景設(shè)計(jì)計(jì)數(shù)問題，考查學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)原理的理解程度，充分體現(xiàn)應(yīng)用題貼近時(shí)代、貼近社會(huì)、貼近生活的特點(diǎn). 試題的情境時(shí)代特色鮮明，設(shè)計(jì)源于教材、注重基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了立德樹人的教育理念.

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 立足于數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

《標(biāo)準(zhǔn)》要求，高考數(shù)學(xué)試題要圍繞數(shù)學(xué)本身，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性. 2020年高考概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理命題，進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)“四基”的考查，進(jìn)一步體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)在考試中占有重要地位.

在復(fù)習(xí)中，要重視對(duì)基本概念、定理、方法的理解和運(yùn)用，突出通性、通法，既不能只將目光集中在具體的問題上，也不要人為地拔高要求，而應(yīng)該注意把握核心概念的內(nèi)涵和外延，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的梳理，在系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)基本思想方法的滲透，形成計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的網(wǎng)絡(luò)化知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，提高解題能力.

2. 立足于精準(zhǔn)落實(shí)基礎(chǔ)，發(fā)揮教材引領(lǐng)功能

數(shù)學(xué)教材為教學(xué)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要資源. 同時(shí)，教材也是高考數(shù)學(xué)命題的重要素材. 特別是針對(duì)本專題的新增內(nèi)容，教師要在深入研究教材內(nèi)容變化的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮教材的引領(lǐng)功能，可以在教材的基礎(chǔ)上進(jìn)行引申、推廣、變通和拓展. 回歸教材是高效備考的重要途徑，要高屋建瓴地審視高中概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，做到吃透教材、用活教材，真正發(fā)揮教材的根基作用.

復(fù)習(xí)時(shí)要從新舊教材增減內(nèi)容出發(fā)，抓牢“三階段”，抓準(zhǔn)復(fù)習(xí)節(jié)奏，做到落實(shí)教材、控制長(zhǎng)度;整合教材、縮短寬度;拓展教材、優(yōu)化深度. 貫通“四環(huán)節(jié)”，精準(zhǔn)落實(shí)基礎(chǔ)，做到重品章引言、章小結(jié)，建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu);重溫公式定理推導(dǎo)，提升認(rèn)知高度;重整教材重點(diǎn)習(xí)題，夯實(shí)通性、通法;重現(xiàn)教材典型例題，規(guī)范解題格式. 最終實(shí)現(xiàn)深度復(fù)習(xí)的“三變”：一變脫離教材為追本溯源;二變題型套路為溫故知新;三變過度訓(xùn)練為有效綜合.

3. 立足于知識(shí)交會(huì)綜合，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力

2020年概率與統(tǒng)計(jì)試題，進(jìn)一步嘗試“重心后移”的命題策略，通過增加思維量，把考查的重點(diǎn)后移到對(duì)數(shù)據(jù)的分析、理解和找規(guī)律上. 進(jìn)一步增加數(shù)據(jù)闡釋的選擇性、開放性和多樣性，學(xué)生只要給出合理的解釋都可以得分，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性地解答問題. 同時(shí)以現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際情境為背景命題，增加閱讀量，并與其他專題相結(jié)合，形成綜合性的能力考查，注重在不同知識(shí)的交會(huì)處命題而形成的綜合性問題.

復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)著眼于訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力，加強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法理解問題、分析數(shù)據(jù)的訓(xùn)練，提升從材料中抽象出合適的數(shù)學(xué)模型的能力. 同時(shí)要著重梳理概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理與其他專題知識(shí)的聯(lián)系，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

4. 立足于數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

本專題內(nèi)容對(duì)于概率與統(tǒng)計(jì)的思想、或然與必然的思想和特殊與一般的思想等有較高的要求. 從近幾年高考命題可以看出，高考命題正在朝著淡化特殊解題技巧、注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解與運(yùn)用的方向發(fā)展. 近幾年概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理的高考命題趨勢(shì)，需要學(xué)生選擇合適的收集數(shù)據(jù)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的方法，建立合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行推斷、得出結(jié)論.

復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生掌握用概率與統(tǒng)計(jì)思想分析問題的習(xí)慣，掌握概率與統(tǒng)計(jì)問題的一般解決方法，真正養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度認(rèn)識(shí)世界，用數(shù)學(xué)思維思考問題，用數(shù)學(xué)方法解決問題的習(xí)慣. 計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的復(fù)習(xí)不能搞題型套路的教學(xué)，否則，學(xué)生一旦面對(duì)新的問題情境，就會(huì)顯得手足無(wú)措和力不從心. 只有站在概率與統(tǒng)計(jì)的思想高度來引領(lǐng)復(fù)習(xí)，才能讓學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)舉一反三，提高解決實(shí)際問題的能力.

5. 立足于研究高考試題，把握數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)

《體系》引領(lǐng)下的新高考數(shù)學(xué)命題正在由能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向變革，2020年的高考試卷除舊高考全國(guó)卷外均已不再分文、理科，新高考數(shù)學(xué)在題型和試卷結(jié)構(gòu)上適度創(chuàng)新，引入了多選題和結(jié)構(gòu)不良題，體現(xiàn)了文、理不分科后數(shù)學(xué)考試的特點(diǎn). 新高考會(huì)進(jìn)一步體現(xiàn)考主干、考能力、考素養(yǎng)，重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新的做法，會(huì)進(jìn)一步展現(xiàn)重視考查學(xué)生“四基”“四能”的特點(diǎn)，會(huì)進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)讓學(xué)困生有獲得感、讓中等生有提升感、讓優(yōu)等生有成就感的意圖.

計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容在《標(biāo)準(zhǔn)》中調(diào)整最大，地位更加凸顯，特別是它在形成學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推斷思維、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的過程中有著不可替代的作用. 在2020年的絕大多數(shù)高考試卷中，關(guān)于本專題的考查達(dá)到15分以上，個(gè)別試卷關(guān)于本專題的考查達(dá)到了27分，這充分說明本專題內(nèi)容在高考中的重要地位. 在不分文、理科的新高考命題中，本專題會(huì)進(jìn)一步加強(qiáng)題量分值的考查力度，加強(qiáng)試題情境的創(chuàng)新力度，加強(qiáng)試題難度的調(diào)控力度，真正實(shí)現(xiàn)高考的選拔評(píng)價(jià)功能，助力素質(zhì)教育發(fā)展.

復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)根據(jù)本專題內(nèi)容的考查特點(diǎn)和命題趨勢(shì)，采取針對(duì)性更強(qiáng)的綠色備考策略，實(shí)施貼近教材的深度復(fù)習(xí)方案，擺脫教輔資料和題海戰(zhàn)術(shù)的束縛，讓教材在復(fù)習(xí)中發(fā)揮更好的作用，揭示數(shù)學(xué)教學(xué)的本來面目，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)真正從“育分”回歸到“育人”.

四、模擬試題欣賞

1. 已知隨機(jī)變量[ξ]的分布列如表7所示.

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