重視結構不良新題型 培養(yǎng)數(shù)學思維靈活性

摘? 要：結構不良型試題是2020年高考數(shù)學全國新高考試卷中出現(xiàn)的新題型. 對一道結構不良型試題進行分析與反思，提出針對高考復習的合理建議.

關鍵詞：結構不良;數(shù)學思維;新高考;高中數(shù)學

2020年山東省高考數(shù)學是第一次以不分文、理科的形式出現(xiàn)，試卷堅持對數(shù)學學科基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的高考考查要求，作為第一年文理合卷，貫徹了“低起點，多層次，高落差”的調控策略，發(fā)揮了高考數(shù)學的選拔功能和良好的導向作用. 筆者就全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第17題進行分析，談談自己的體會與反思.

一、試題分析

題目? 在①[ac=3]，②[csinA=][3]，③[c=3b]這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求[c]的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在[△ABC]，它的內角[A，B，C]的對邊分別為[a，？？b，c]，且[sinA=3sinB]，[C=π6]，??? ？

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

命題立意分析：該題為解答題，分值[10]分，命題立足于正弦定理和余弦定理等必備知識，考查學生的數(shù)學理解能力和數(shù)學探究能力. 此題在題型上進行了調整，設計了開放性的結構不良型的新考試題型. 它的引入既能增強試題條件的開放性，又能引導學生更加注重思維的靈活性及策略的選擇，體現(xiàn)了對學生理性思維、數(shù)學探究能力等的考查.

該題設計了三個開放性的可選擇條件，并且問題的結論同樣是開放的. 學生容易初步確定問題解決方案，題目中所給的條件涉及正弦函數(shù)值，要考慮正弦定理，將角的關系轉化為邊的關系，代入余弦定理表達式中，得到邊的關系[b=c]，再結合所選條件進行求解. 選條件①，將所得到的邊的關系進行聯(lián)立，解方程，就可以確定各邊長;選條件②，根據邊的關系，確定[∠A=2π3]，求出[sinA]，進而確定各邊長;選條件③，求出三邊或者三角，與條件矛盾，得出結論.

解：由[C=π6]和余弦定理，得[a2+b2-c22ab=32].

由[sinA=3sinB]及正弦定理，得[a=3b].

所以[3b2+b2-c223b2=32]. 所以[b=c].

選條件①時，

由[ac=3]，得[a=3，b=c=1.]

因此，選條件①時，問題中的三角形存在，此時[c=1.]

選條件②時，

由[b=c]，得[B=C=π6]，[A=2π3].

由[csinA=3]，得[c=b=23，a=6.]

因此，選條件②時，問題中的三角形存在，此時[c=23.]

選條件③時，

因為[c=3b]與[b=c]矛盾.

所以，選條件③時，問題中的三角形不存在.

由以上分析可以看出解答該題有三個關鍵點：由已知條件[sinA=3sinB及正弦定理，得a=3b];由選擇的方案結合正余弦定理得到一個正確結論;繼續(xù)求出[c]值或者分析出矛盾.

二、學生答題情況

考后對班級學生進行調研，從學生的反饋來看，55%的學生思路清晰，能夠由[sinA=][3sinB]及正弦定理得出[a=3b]，選擇正弦定理或者余弦定理來解決問題，求出三邊或者三角，根據“兩邊之和大于第三邊”“三角形內角和等于[180°]”“大邊對大角，大角對大邊”判斷是否存在矛盾;或者求出邊、角后研究與已知條件是否存在矛盾，從而判斷問題中的三角形是否存在. 綜觀學生反饋的答題情況，除了因為不重視規(guī)范性答題造成失分以外，筆者認為主要的失誤有以下三個方面.

其一，沒有掌握正弦定理和余弦定理，不會根據條件恰當選擇正弦定理或余弦定理，實現(xiàn)邊角互化，達到解三角形的目的.

其二，記錯、記混特殊角的三角函數(shù)值，導致“會而不對”.

其三，邏輯思維不完整，不知道從哪些角度判斷三角形的存在性，導致“對而不全”.

三、教學啟示

2019年12月，教育部考試中心正式發(fā)布了“一核”“四層”“四翼”的高考評價體系，在數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基礎上提出了理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探究和數(shù)學文化. 2020年高考是山東、海南實行綜合改革后的第一年高考，數(shù)學不分文理科，2021年又將有八個省實行高考綜合改革，使用新高考試卷. 該題的考查很好地詮釋了試題注重基礎性，通過開放性的題目設置，增強了學生的選擇決策能力和數(shù)學探究能力，突出了理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探究的引領作用，堅持了素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則，體現(xiàn)了高考數(shù)學的科學選拔和育人導向，落實了立德樹人的根本目標. 根據該題的分析及學生的調研反饋，筆者提出兩點建議.

1. 應對新題型的建議

（1）教師要建立對結構不良新題型的認知.

綜觀數(shù)學教學現(xiàn)狀，在教學中涉及的問題大多是結構良好的. 這些問題條件清晰、目標明確，運用特定的數(shù)學模型就能解決. 在教學中，教師運用大量結構良好的題型進行題海戰(zhàn)術，注重總結問題的規(guī)律. 對定理和概念進行熟練應用，掌握解題的一般模式，學生就可以取得不錯的成績. 但是實際生活中的問題比較復雜、情境化強，往往條件不清晰，目標比較模糊，結構不夠明朗，解決問題的途徑多樣，問題的答案不唯一，這其實就是我們所說的結構不良型問題. 教師應該重視結構不良型問題在教學中的應用，將學生從被動的信息加工者變成主動的問題提出者和解決者.

（2）提高學生解決結構不良新題型能力的教學策略.

教師應該在教學中多設計結構不良型問題. 筆者認為應該主要從以下三個方面來設計. 一是結合真實的問題情境，以項目問題的形式，引導學生成為探索者、研究者、學習者，這種項目化教學可以激發(fā)學生的學習熱情，使學生在解決真實問題的過程中學會與他人合作、交流，涉及的知識也不局限于數(shù)學學科知識，促進知識遷移和學科融合，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新素質和實踐能力，真正實現(xiàn)“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界”. 二是多設計開放性的課堂問題. 例如，在新課講授的過程中，不直接推導定理或者給出問題，而是給出開放性的問題，引導學生思考、探究，讓學生找出新舊知識的內在聯(lián)系，在探究中內化知識，最終轉化為數(shù)學素養(yǎng)和能力. 三是在單元復習中多運用結構不良型問題進行系統(tǒng)、科學的復習. 例如，結合全國Ⅰ卷中的問題，重新構造結構不良型開放題.

（全國Ⅰ卷·文18）[△ABC]的內角[A，B，C]的對邊分別為[a，b，c]. 已知[B=150°].

（1）若[a=3c]，[b=27]，求[△ABC]的面積;

（2）若[sinA+][3sinC=22]，求[C].

可以嘗試將該題的第（2）小題改編為：在①[ab=][6+2]，②[csinA=3]，③[c=3a]這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求[c]的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在[△ABC]，它的內角[A，B，C]的對邊分別為[a，b，c].[sinA+3sinC=22]，且[B=5π6，]????????? ？

2. 在教學中應該堅持三個注重

（1）重基礎，規(guī)范解題過程.

2020年的高考數(shù)學試題盡管形式靈活多變，但是都以基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗為基礎. 因此，在教學中，要以《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）為基礎，圍繞教材，對重點內容強化復習，夯實基礎知識，同時訓練學生規(guī)范解題過程，盡量避免因步驟不全、審題不細、計算失誤造成的失分.

（2）重教材，挖掘數(shù)學本源.

教材既是《標準》具體實施的基礎，也是高考命題的源頭活水，高三復習應立足教材、善用教材，對教材實施二次開發(fā). 首先，要重視教材上一些基礎知識的形成過程. 例如，借助單位圓建立一般三角函數(shù)概念形成的過程，體會引入弧度制的必要性;用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性（對稱性）、單調性和最值等性質;探索和研究三角函數(shù)之間的恒等關系;利用三角函數(shù)模型構建數(shù)學模型，解決實際問題;借助外接圓和向量證明正弦定理和余弦定理等. 高考中的?？碱}型都源于這些知識的形成過程. 其次，要加強對教材例題、習題的研究與創(chuàng)新. 通過改編、重組、變式、拓展等方式充分挖掘教材上的典型例題、習題，做到一題多變、一題多解，注重對學生舉一反三能力的培養(yǎng). 最后，要充分挖掘中國文化、生活材料與數(shù)學知識的聯(lián)系. 近年來，高考命題通過與文化背景的結合，增大了試題的閱讀量，體現(xiàn)了對數(shù)學文化的重視.

（3）重思想，提高數(shù)學能力.

在對解三角形知識的考查中，我們也看到了對學生數(shù)學思想方法和能力的考查，這部分重點考查轉化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結合等思想，考查學生運算求解的能力和靈活變換的意識. 因此，在教學和復習過程中，教師不僅要重知識傳授，更要重思想滲透和能力發(fā)展，切忌隨意拔高、盲目拓展，要讓學生綜合解決問題的能力在自我感悟中逐漸提高.

參考文獻：

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[2]任子朝. 從能力立意到素養(yǎng)導向[J]. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2018（13）：1.

收稿日期：2020-08-01

作者簡介：于鶯彬（1979— ），女，中學一級教師，青島市教學能手，青島市中小學學科帶頭人，青島市名師，青島市優(yōu)秀教師，主要從事高中數(shù)學教學與實踐研究.