創(chuàng)設(shè)深度學(xué)習(xí)情境 培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

王思思 何棋

摘? 要：以具體的心形曲線面積和位置問(wèn)題為載體，類比用函數(shù)定積分求面積的方法，對(duì)極坐標(biāo)曲線所圍成圖形的面積展開(kāi)深度學(xué)習(xí)，利用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)展示極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積的分割、近似、求和、取極限的形成過(guò)程. 通過(guò)綜合分析與討論，學(xué)生推導(dǎo)出極坐標(biāo)曲線所圍成圖形的面積;再通過(guò)極坐標(biāo)系中的極值和切線問(wèn)題確定心形圖形的大小和位置. 課后反思提出：設(shè)計(jì)適合的問(wèn)題情境，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);融合信息技術(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);回歸積分基本思想是“順應(yīng)”極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積的求法的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);深度學(xué)習(xí);極坐標(biāo);面積與切線;信息技術(shù)

北京市海淀區(qū)2019年國(guó)際課程學(xué)術(shù)論壇暨第二屆中外合作辦學(xué)項(xiàng)目課程展示會(huì)在中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)召開(kāi)，研討會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的國(guó)際課程深度學(xué)習(xí)研究. 本文是展示課“極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積與切線”教學(xué)反思. 展示課時(shí)長(zhǎng)為1個(gè)小時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、探索解決問(wèn)題的工具和方法、應(yīng)用工具和方法解決問(wèn)題的過(guò)程，真實(shí)展示了學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過(guò)程.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析. 新一輪數(shù)學(xué)課程改革的核心任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并要落實(shí)在教育教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié). 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體、以數(shù)學(xué)活動(dòng)為路徑而逐步實(shí)現(xiàn)的，情境化是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑. 教學(xué)過(guò)程中要“示以學(xué)生思維之道”：明確研究對(duì)象、研究目標(biāo)，以及達(dá)到目標(biāo)的思路概要，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，從而用數(shù)學(xué)的方式認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題. 本節(jié)課是AP美國(guó)國(guó)際課程微積分BC中的一節(jié)綜合實(shí)踐課，以“極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積與切線”為例來(lái)談?wù)勅绾位趩?wèn)題情境培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

一、教學(xué)要素分析與設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)內(nèi)容

本章的主要內(nèi)容是極坐標(biāo)系下曲線和方程的相關(guān)問(wèn)題，包括極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，極坐標(biāo)系下的曲線方程及其導(dǎo)數(shù)與積分的計(jì)算與相關(guān)應(yīng)用等. 本節(jié)課是導(dǎo)數(shù)、積分、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合應(yīng)用，主要通過(guò)實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，類比于直角坐標(biāo)系下微積分的基本思想——分割、近似、求和、取極限，推導(dǎo)出極坐標(biāo)曲線所圍成圖形的面積，進(jìn)一步體會(huì)微積分的思想方法. 同時(shí)，將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，利用導(dǎo)數(shù)求極值以及求曲線的切線來(lái)確定心形曲線的大小與位置，從而解決實(shí)際問(wèn)題. 極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積是用定積分解決幾何問(wèn)題的一個(gè)重要應(yīng)用，同時(shí)也為之后解決極坐標(biāo)系下弧長(zhǎng)與表面積等問(wèn)題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）能類比直角坐標(biāo)系中函數(shù)圖象與[x]軸所圍成圖形面積的探究過(guò)程，即分割、近似、求和、取極限，推導(dǎo)出極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積公式，進(jìn)一步體會(huì)微積分思想. 能利用導(dǎo)數(shù)求極值和切線方程，確定心形曲線的大小與位置.

（2）體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程與方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 學(xué)情分析

高二選修AP Calculus BC的學(xué)生具有很強(qiáng)的計(jì)算能力和邏輯推理能力，善于獨(dú)立思考，也善于溝通交流和討論. 內(nèi)容上，他們已經(jīng)能夠深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，熟練掌握求導(dǎo)的方法，并能夠應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)的問(wèn)題，也理解積分的概念，掌握積分的技巧，會(huì)利用定積分求曲線與[x]軸所圍成的面積. 因此，設(shè)計(jì)涉及導(dǎo)數(shù)、積分、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合實(shí)踐課. 希望學(xué)生能夠從具體的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，確定問(wèn)題涉及的變量及其關(guān)系，并且進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建立數(shù)學(xué)模型，利用微積分的原理和方法進(jìn)行求解或證明，最終解決實(shí)際問(wèn)題.

4. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;理解求極坐標(biāo)曲線圍成圖形面積的思想方法及簡(jiǎn)單應(yīng)用;會(huì)求極坐標(biāo)曲線的切線方程與極值問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)極坐標(biāo)曲線圍成圖形的分割和近似;對(duì)極坐標(biāo)曲線的切線相關(guān)問(wèn)題中三角方程的求解.

5. 教學(xué)情境及策略設(shè)計(jì)

本節(jié)課為導(dǎo)數(shù)、積分、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合實(shí)踐課. 引入實(shí)際問(wèn)題情境，學(xué)生通過(guò)小組討論抽象出兩個(gè)核心數(shù)學(xué)問(wèn)題：心形圖形的面積，心形圖形的位置和大小. 然后，通過(guò)微積分的思想方法，類比直角坐標(biāo)系下微積分的基本思想——分割、近似、求和、取極限，推導(dǎo)出極坐標(biāo)曲線所圍成圖形的面積，并通過(guò)數(shù)學(xué)軟件展現(xiàn)其動(dòng)態(tài)過(guò)程，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)微積分思想的理解. 同時(shí)，將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，利用導(dǎo)數(shù)求極值和曲線的切線來(lái)確定心形曲線的大小與位置，從而解決實(shí)際問(wèn)題，并反思優(yōu)化問(wèn)題. 在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)小組合作討論的形式共同探索解決問(wèn)題的方案，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，如圖1所示.

二、教學(xué)片斷

1. 問(wèn)題導(dǎo)入及數(shù)學(xué)建模

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾類極坐標(biāo)曲線，為了感謝老師對(duì)我們的諄諄教誨，宣傳部計(jì)劃制作感恩條幅，需要在[0.5×0.5 m]的正方形白紙板上畫(huà)100個(gè)紅色心形圖案. 已知：1管21毫升的英國(guó)溫莎牛頓染料大約能用[0.5 m2].

問(wèn)題1：假設(shè)心形圖案豎直放置在矩形白紙上，而且盡可能大，問(wèn)大約需要多少管染料？

問(wèn)題2：在正方形中，能否找到更大的心形曲線？

2. 問(wèn)題1的解決過(guò)程

學(xué)生通過(guò)小組討論將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)核心的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探究：心形圖形面積的計(jì)算;心形曲線位置和大小的確定.

在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)實(shí)際問(wèn)題情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，充分利用所學(xué)知識(shí)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題. 以“情境”為主線來(lái)組織和調(diào)控起始課教學(xué)，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力. 同時(shí)，小組成員合作評(píng)價(jià)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 此過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

（1）針對(duì)心形圖形面積的計(jì)算.

師：回顧一下，在直角坐標(biāo)系中如何求曲線與[x]軸所圍成圖形的面積？

生1：對(duì)函數(shù)求定積分可得面積.

師：對(duì)心形曲線[rθ=1-sinθ]能不能這樣做呢？

生2：可以.

生3：不可以，因?yàn)樵瓉?lái)的函數(shù)是在直角坐標(biāo)系下，求面積是對(duì)自變量[x]求定積分，而現(xiàn)在是在極坐標(biāo)系下，自變量是[θ]，意義不同，因此直接這樣求定積分應(yīng)該是有問(wèn)題的.

師：非常好！既然不能直接用，那我們能不能利用積分的基本思想方法來(lái)解決呢？用定積分求面積的基本思想方法是什么？

生4：通過(guò)分割（Partition）、近似（Approximate）、求和（Sum Up）、取極限（Find the limit）四個(gè)步驟求面積.

師：通過(guò)小組討論的方式，詳細(xì)分析如何進(jìn)行分割、近似、求和、取極限.

生5類比直角坐標(biāo)系得到如下步驟.

第一，分割極角（Directed Angle）.

第二，用扇形面積或者三角形面積近似，扇形面積[Si=12ri2Δθi]，三角形面積[Si=12ri2sinΔθi].

第三，求和[i=1nSi].

第四，取極限[limn→+∞i=1nSi=αβ12r2θdθ].

利用圖形計(jì)算器的軌跡功能，可以得到角度的范圍為[0，2π].

接下來(lái)，教師結(jié)合GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)展示形成過(guò)程，如圖2和圖3所示.

此時(shí)，選取[θ=270°]，[Sn′]表示以分割小角為扇形邊長(zhǎng)近似，[Sn″]表示以分割中點(diǎn)為扇形邊長(zhǎng)近似，[Sn？]表示以分割大角為扇形邊長(zhǎng)近似. 圖中為[n=16]和[n=100]時(shí)三種近似與實(shí)際面積的對(duì)比情況.

教師通過(guò)類比對(duì)照直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)曲線圍成圖形面積的形成過(guò)程，在黑板上進(jìn)行板書(shū).

師：在[θ∈0，2π]時(shí)，心形曲線[rθ=1-sinθ]圍成圖形的面積是多少？

生6給出解答過(guò)程如下.

[02π121-sinθ2dθ? ]

[=1202π1-2sinθ+sin2θdθ???????????????? ]

[=1202π1-2sinθ+1-cos2θ2dθ]

[=1232θ+2cosθ-14sin2θ2π0]

[=1232 · 2π+2-2]

[=32π].

教師最終總結(jié)呈現(xiàn)定理內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)被積函數(shù)的條件，以及角的范圍.

（2）針對(duì)心形曲線位置和大小的確定.

學(xué)生在最初討論中，考慮心形曲線豎直放置最大情況，就需要解決心形曲線是豎直相切還是水平相切. 那么，就轉(zhuǎn)化成先計(jì)算基本圖形[rθ=1-sinθ]的水平和豎直距離，至于心形圖形的大小再等比例縮放即可.

師：針對(duì)心形圖形[rθ=1-sinθ]，如何計(jì)算水平和豎直距離？滿足什么條件？

生7：首先，將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo);然后，計(jì)算水平距離，即計(jì)算[x]軸方向的極值，通過(guò)[dxdθ=0]計(jì)算求解;計(jì)算豎直距離，即計(jì)算[y]軸方向的極值，通過(guò)[dydθ=0]計(jì)算求解.

生7的具體過(guò)程如下.

將其轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)[x=1-sinθcosθ，y=1-sinθsinθ.]

求[x]軸方向的極值，令[dxdθ=2sin2θ-sinθ-1=0]，

得[θ=11π6]（極值點(diǎn)），[θ=7π6]（極值點(diǎn)），或[θ=π2]（非極值點(diǎn)）.

所以[xmax=334].

則水平距離為[332]，近似值為2.598.

求[y]軸方向的極值，令[dydθ=cosθ1-2sinθ=0].

得[θ=π2]（非極值點(diǎn)），[θ=3π2]（極小值點(diǎn)），[θ=π6]（極大值點(diǎn)）或[θ=5π6]（極大值點(diǎn)）.

所以[ymin=-2，ymax=14].

所以豎直距離為2.25.

因此，正方形的邊長(zhǎng)以水平距離為標(biāo)準(zhǔn).

師：在[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)，心形圖形是怎樣的？

生8：在[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)，心形圖形曲線為[rθ=a1-sinθ]. 利用比例關(guān)系確定參數(shù)[a]，由[3321=][0.5a]，得 [a=39]. 因此在[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)，心形圖形為[rθ=391-sinθ].

師：[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)的心形圖形的面積是多少？需要多少管染料？

生9給出[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)的心形圖形的面積：[02π12a1-sinθ2dθ=a202π121-sinθ2dθ=392 · 32π=][π18]（[m2]）. 因此，通過(guò)計(jì)算，需要約35管染料.

首先，在這部分的教學(xué)過(guò)程中，利用類比方法，通過(guò)分割、近似、求和、取極限的具體過(guò)程，學(xué)生推導(dǎo)出計(jì)算極坐標(biāo)曲線所圍成圖形面積的過(guò)程，同時(shí)，教師在課堂上熟練巧妙地使用畫(huà)圖軟件展現(xiàn)其動(dòng)態(tài)過(guò)程，學(xué)生可以進(jìn)一步體會(huì)微積分的思想方法. 其次，學(xué)生通過(guò)邏輯推理與運(yùn)算求解，利用導(dǎo)數(shù)求極值的方法，計(jì)算心形曲線的水平距離和豎直距離，從而確定心形圖形的大小與位置. 最后，通過(guò)運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題. 這個(gè)過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界的能力，發(fā)展了他們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

3. 問(wèn)題2的解決過(guò)程

師：在正方形中，能否找到更大的心形曲線？

生10：由于圖形的對(duì)稱性，可以傾斜放置心形，如圖4所示.

師：如何說(shuō)明這個(gè)心形更大？

生11：針對(duì)正方形內(nèi)的心形圖形[rθ=1-sinθ]，只需要計(jì)算外接正方形的邊長(zhǎng). 與水平距離比較，如果更小，那么說(shuō)明這個(gè)心形圖形更大. 由于對(duì)稱性，將正方形的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成計(jì)算兩條斜率為1（或者-1）的平行切線之間的距離即可.

生11的具體求解過(guò)程如下.

因?yàn)榍€[r=1-sinθ]上的任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)為[x=1-sinθcosθ，y=1-sinθsinθ，]

所以由參數(shù)方程的求導(dǎo)公式，得

[dydx=dydθdxdθ=-2sinθcosθ+cosθ-cos2θ-sinθ+sin2θ=1.]

整理，得

[sin2θ-cos2θ+2sinθcosθ-cosθ-sinθ=0，sin2θ+cos2θ=1.]

相加，得2[cos2θ+cosθ-1=2cosθ-1sinθ]，

即[2cosθ-1cosθ-sinθ+1=0].

解得[cosθ=12]，或[sinθ-cosθ=2sinθ-π4=1.]

解得[sinθ=32，cosθ=12] 或[sinθ=-32，cosθ=12] 或[sinθ=0，cosθ=-1] 或[sinθ=1，cosθ=0.]

檢驗(yàn)：將[sinθ=1，cosθ=0] 代回[dydx]，分子分母為0，舍去.

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到切線的方程為[l1：y=x-][121+32-321+32]，即[y=x-54-334]，和[l2：y=][x+1].

則平行直線的距離為[-334-942=323+38≈2.510].

因?yàn)榍芯€的斜率是1，所以將心形曲線的對(duì)稱軸與正方形對(duì)角線重合放置心形曲線更大.

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生參與改變心形圖形的位置的探索活動(dòng)，逐步使他們認(rèn)識(shí)到心形曲線應(yīng)該與正方形相切，從而將最大曲線位置轉(zhuǎn)化為求曲線平行切線的距離的最大值問(wèn)題. 然后通過(guò)極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，通過(guò)推導(dǎo)dy/dx來(lái)計(jì)算切線斜率，從而求出切線，得到較大的正方形邊長(zhǎng)，體現(xiàn)了對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

三、教學(xué)反思

1. 設(shè)計(jì)適合的問(wèn)題情境，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

相對(duì)于淺層機(jī)械學(xué)習(xí)，深度學(xué)習(xí)是一種基于理解的學(xué)習(xí)，它有三個(gè)特點(diǎn)：深度學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，它不是單純的接受，而是在發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的同化;深度學(xué)習(xí)是基于深度理解的學(xué)習(xí)，它強(qiáng)調(diào)深度體驗(yàn)、深度思考、深度探究、深度整合，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)成對(duì)學(xué)科本質(zhì)和知識(shí)意義的深度理解;深度學(xué)習(xí)是批判與質(zhì)疑的高階思維學(xué)習(xí)，它強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)階梯性和思維進(jìn)階性，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的普遍聯(lián)系與綜合應(yīng)用. 本節(jié)綜合實(shí)踐課，從一個(gè)實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，不僅是對(duì)導(dǎo)數(shù)、積分、三角函數(shù)的綜合復(fù)習(xí)與應(yīng)用，也是學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中深度體驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，深度思考解決核心數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，深度探究更優(yōu)方案，突出培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要從選擇“好問(wèn)題”開(kāi)始，在經(jīng)歷“感知感悟—知識(shí)建構(gòu)”的過(guò)程中，注重過(guò)程思維，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，尋找可行方法，從而解決實(shí)際問(wèn)題. 通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，這也是培養(yǎng)學(xué)生深度體驗(yàn)與深度思考的過(guò)程. 以“情境”為主線來(lái)創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，鼓勵(lì)學(xué)生去思考探究，激發(fā)學(xué)生提出核心問(wèn)題. 本節(jié)課將紅心染料的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)豎直放置的假設(shè)后，轉(zhuǎn)化為求心形圖形的面積、心形圖形的大小與位置兩個(gè)核心問(wèn)題. 顯然這兩個(gè)問(wèn)題也并不簡(jiǎn)單，于是再將核心問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體可解的子問(wèn)題，形成具有邏輯關(guān)系的問(wèn)題鏈，有利于學(xué)生深度思考和深度探究. 在思考與提出問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生可以通過(guò)小組成員之間的合作、討論、評(píng)價(jià)，真實(shí)地展現(xiàn)他們的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，促進(jìn)了學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，落實(shí)了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的培養(yǎng).

在解決心形圖形面積、極值問(wèn)題、優(yōu)化后切線問(wèn)題的過(guò)程中，融入了深度學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)思想，在落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的同時(shí)，更讓學(xué)生擁有了深刻的思維品質(zhì)和持久的學(xué)習(xí)力，并在深度學(xué)習(xí)的過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生批判與質(zhì)疑的高階思維能力. 具體地說(shuō)，心形圖形面積的計(jì)算是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程也是培養(yǎng)學(xué)生深度思考和深入探究的學(xué)習(xí)過(guò)程. 課堂上采用從特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，先分析特殊情況下的心形圖形[rθ=1-sinθ]的面積求解. 于是，類比直角坐標(biāo)系下微積分的基本思想——分割、近似、求和、取極限，思考極坐標(biāo)曲線所圍成圖形的面積計(jì)算. 針對(duì)有思維深度的新問(wèn)題，通過(guò)蘇格拉底提問(wèn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)微積分的思想方法，并大膽嘗試猜想極坐標(biāo)系中如何進(jìn)行分割、近似、求和、取極限的過(guò)程，并最終得出極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積計(jì)算方法. 在積極探索、反思、總結(jié)、創(chuàng)造的過(guò)程中，學(xué)生把握了知識(shí)間的聯(lián)系和解決問(wèn)題的思想方法，并通過(guò)知識(shí)遷移應(yīng)用到新的問(wèn)題之中，這體現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)所強(qiáng)調(diào)的學(xué)習(xí)階梯性與思維進(jìn)階性. 此外，針對(duì)心形圖形的大小與位置問(wèn)題，學(xué)生則將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)求極值的問(wèn)題. 極坐標(biāo)切線方程的計(jì)算也是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，要求學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)與幾何意義有十分深刻的認(rèn)識(shí)，這也是深度學(xué)習(xí)中要注重的綜合應(yīng)用. 另外，類比直角坐標(biāo)系中的定積分問(wèn)題，學(xué)生在課后可以探究極坐標(biāo)系下弧長(zhǎng)和表面積的計(jì)算問(wèn)題，為學(xué)有余力的學(xué)生打開(kāi)深度學(xué)習(xí)的大門(mén)，促進(jìn)他們實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，從而更好地感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值，并培養(yǎng)學(xué)生自主參與到深度探究中，完成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和知識(shí)意義的深度理解.

2. 融合信息技術(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)有力工具. 在數(shù)學(xué)課堂上，適當(dāng)使用軟件輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，可以將無(wú)形化有形，直觀形象地展現(xiàn)知識(shí)形成的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解. 本節(jié)課中，利用微積分思想，類比直角坐標(biāo)系中曲線與[x]軸圍成圖形的面積的計(jì)算過(guò)程，推導(dǎo)極坐標(biāo)曲線圍成圖形面積的計(jì)算公式. 為了論證學(xué)生的猜想，教師在課堂上使用GeoGebra軟件進(jìn)行有限段的分割、近似、求和，通過(guò)計(jì)算功能與動(dòng)畫(huà)演示，學(xué)生可以具體、直觀地體驗(yàn)圖形無(wú)限逼近真實(shí)圖形的動(dòng)態(tài)過(guò)程，在面積數(shù)值上也可以觀察到逼近極限的過(guò)程. 此外，對(duì)于三種近似方法也可以縱向?qū)Ρ?，隨著分割數(shù)目的增加，最終都會(huì)趨近于統(tǒng)一的極限值. 總之，信息技術(shù)軟件不僅可以幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法直觀化，檢驗(yàn)他們的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，也可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)的熱情.

3. 回歸積分基本思想是“順應(yīng)”極坐標(biāo)曲線圍成圖形面積的求法的關(guān)鍵，更是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體

在求極坐標(biāo)系中心形面積的過(guò)程中，學(xué)生課上很快提出像直角坐標(biāo)系一樣，直接求定積分就可以求面積，試圖用函數(shù)求定積分求面積的方法來(lái)“同化”求極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積. 在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，通過(guò)回顧直角坐標(biāo)系中曲線與[x]軸圍成圖形面積的求解過(guò)程，學(xué)生將分割、近似、求和、取極限平行到極坐標(biāo)系中的具體過(guò)程，將極坐標(biāo)曲線當(dāng)作一般的直角坐標(biāo)函數(shù)求定積分，通過(guò)數(shù)學(xué)軟件畫(huà)圖驗(yàn)證了直接求定積分求得的面積與心形面積不一致，學(xué)生認(rèn)識(shí)到存在的錯(cuò)誤. 表明原來(lái)通過(guò)函數(shù)求定積分求面積不能“同化”極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積的求法，需要尋求新的方法來(lái)“順應(yīng)”極坐標(biāo)曲線圍成圖形的面積的求法. 但是這兩者都是求面積，既然不能直接遷移，那就回歸到積分基本思想來(lái)分析和判斷，最終得出新的方法. 這樣的不斷猜想與驗(yàn)證、改進(jìn)和論證，往往是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵，不僅使學(xué)生對(duì)微積分思想有更加深刻的理解，還培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng). 此外，小組討論探究的過(guò)程，激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的濃厚興趣，培養(yǎng)了學(xué)生敢于探究、勇于實(shí)踐、善于合作的科研熱情.

總之，在數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要將知識(shí)作為教學(xué)的載體，借助問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)等過(guò)程，有目的、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)和感悟知識(shí)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和研究方法，引導(dǎo)學(xué)生思考、理解和應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 教師應(yīng)該更加關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中提出問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，教師要促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，這是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)形成的有效途徑. 此外，教學(xué)過(guò)程中創(chuàng)設(shè)合適的情境，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察、分析世界，感悟數(shù)學(xué)的魅力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.

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收稿日期：2020-07-14

作者簡(jiǎn)介：王思思（1989— ），女，中學(xué)一級(jí)教師，海淀區(qū)骨干教師，主要從事高中國(guó)際數(shù)學(xué)課程教育和比較研究. 何棋系本文通訊作者.