高考試題中直觀想象素養(yǎng)的水平層次分析

摘? 要：高考數(shù)學(xué)試題對(duì)素養(yǎng)的考查有著不同的水平層次，以2020年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題為例，設(shè)置情境、直觀、想象三個(gè)關(guān)鍵維度，每個(gè)維度劃分為由低到高的三個(gè)層次，構(gòu)成直觀想象素養(yǎng)的不同水平層次. 素養(yǎng)水平層次的有效劃分，有助于在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)直觀想象能力進(jìn)行系統(tǒng)而有步驟的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高考試題;直觀想象;素養(yǎng)水平;教學(xué)情境

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 作為數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，直觀想象在分析問題和解決問題中起著重要的作用. 根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的說(shuō)明，直觀想象素養(yǎng)在學(xué)業(yè)水平測(cè)試和高考中體現(xiàn)出不同的水平層次.

一、直觀想象素養(yǎng)的不同層次水平分析

結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》和教學(xué)中的實(shí)際情況，筆者嘗試確定直觀想象素養(yǎng)中的三個(gè)關(guān)鍵詞：情境，直觀，想象.

第一個(gè)關(guān)鍵詞是“情境”（Situation）. 根據(jù)試題提供的問題背景，可能是數(shù)學(xué)情境、生活情境、科學(xué)情境等. 按其內(nèi)容的綜合程度與學(xué)生認(rèn)知的接受程度，可以將其分為三個(gè)層次：熟悉的情境（S1），關(guān)聯(lián)的情境（S2），綜合的情境（S3）.

第二個(gè)關(guān)鍵詞是“直觀”（Visual），面對(duì)情境及提出的問題，直接接觸事物而獲得的感性認(rèn)識(shí)，直觀側(cè)重于對(duì)圖形的認(rèn)知. 根據(jù)試題給出的條件，在對(duì)圖形的獲取上可以分為三個(gè)層次：看圖（V1），構(gòu)圖（V2），變圖（V3）. 其中，“看圖”是指問題給出了所需要的圖形，解題者可以直接“看圖說(shuō)話”;“構(gòu)圖”是需要根據(jù)條件從“數(shù)”中抽象出“形”，或根據(jù)事物的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造圖形來(lái)描述和表達(dá)問題;“變圖”則需要有策略地對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化再構(gòu)造合適的圖形，或?qū)D形進(jìn)行分解、組合、變換等創(chuàng)造性處理，以更好地反映事物的本質(zhì)與聯(lián)系.

第三個(gè)關(guān)鍵詞是想象（Imagine），想象是人在頭腦中對(duì)已儲(chǔ)存的表象進(jìn)行加工改造形成新形象的心理過程，想象與思維有密切的聯(lián)系，按其思維的深度可以分為三個(gè)層次：描述（I1），分析（I2），探索（I3）. 其中，“描述”指能夠通過圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題，能夠用圖形描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問題，直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題，體會(huì)圖形與圖形、圖形與數(shù)、圖形與實(shí)物之間的聯(lián)系;“分析”指能聯(lián)想圖形的性質(zhì)，挖掘條件和目標(biāo)之間的聯(lián)系，能借助圖形發(fā)現(xiàn)問題、啟迪思路;“探索”指能借助圖形進(jìn)行有深度、多角度、有創(chuàng)新地思考，能提出問題、研究問題，優(yōu)化問題結(jié)構(gòu)，探求事物的本質(zhì).

這三個(gè)關(guān)鍵詞構(gòu)成素養(yǎng)這一個(gè)整體的三個(gè)維度，可以用一個(gè)數(shù)組[Si，Vj，Ik]（[i，j，k∈1，2，3]）來(lái)表示某個(gè)水平，借助立方體可以體現(xiàn)直觀想象蘊(yùn)含的豐富、立體的水平層次感，如圖1所示. 例如，[S1，V1，I1]就表示在學(xué)生熟悉的情境下，直接觀察已給的圖形，對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)單的描述.

二、高考試題中直觀想象素養(yǎng)的水平體現(xiàn)舉例

在高考試題中，體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的主要有三個(gè)方面：一是數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;二是形與形的轉(zhuǎn)換;三是物與形的聯(lián)結(jié). 下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（理科）試題為主，舉例考察直觀想象素養(yǎng)的水平層次.

1. 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)研究對(duì)象之一是數(shù)與形及其關(guān)系，數(shù)與形是一個(gè)整體的兩個(gè)方面，相互依賴且不可分割. 例如，實(shí)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，造就了函數(shù)與圖象、方程與曲線、不等式與平面區(qū)域、代數(shù)式與幾何量之間的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，各“數(shù)”有各“形”.

例1 （全國(guó)Ⅰ卷·理2）設(shè)集合[A=xx2-4≤0]，[B=x2x+a≤0]，且[A∩B=x-2≤x≤1]，則[a]的值為（??? ）.

（A）-4??? （B）-2??? （C）2??? （D）4

問題以學(xué)生熟悉的兩個(gè)數(shù)集的交集為背景，可以構(gòu)造數(shù)軸上的區(qū)間，用圖形描述集合的關(guān)系. 此題可以用（S1，V2，I1）表示水平，歸為水平一.

例2 （全國(guó)Ⅰ卷·理11）已知[⊙M：x2+y2-2x-][2y-2=0]，直線[l：2x+y+2=0]，[P]為[l]上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)[P]作[⊙M]的切線[PA，PB]，切點(diǎn)為[A，B]，當(dāng)[PMAB]最小時(shí)，直線[AB]的方程為（??? ）.

（A）[2x-y-1=0]??????????????? （B）[2x+y-1=0]

（C）[2x-y+1=0]?????????????? （D）[2x+y+1=0]

該題已知直線與圓的方程，能根據(jù)方程畫曲線，進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何作圖，如圖2所示. 這是在熟悉的情境下通過作圖對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)單地描述，但是點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)可以引起幾何量[PMAB]的變化. 由于[PMAB=][2S四邊形APBM=4S△PBM=2PBBM=4PM2-4]，[PMAB]取到最小值時(shí)，點(diǎn)[P]的位置即為點(diǎn)[M]在直線[l]上的射影，再求相應(yīng)位置時(shí)直線[AB]的方程，可以結(jié)合圖象及選擇支提供的信息，確定答案選D，如圖3所示.

這是一個(gè)涉及多知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)情境，需要?jiǎng)討B(tài)的直觀，能對(duì)幾何量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，反映出圖形的本質(zhì). 這個(gè)分析過程可以用水平（S2，V3，I2）表示.

例3 （全國(guó)新高考Ⅰ卷21 / Ⅱ卷22）已知函數(shù)[fx=][aex-1-lnx+lna.]

（1）當(dāng)[a=e]時(shí)，求曲線[y=fx]在點(diǎn)[1，f1]處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

（2）若[fx≥1]，求a的取值范圍.

該題是含參數(shù)的不等式恒成立問題，是一個(gè)較熟悉的數(shù)學(xué)情境. 處理函數(shù)問題的一般策略是有圖象不抽象.

角度1：借助技術(shù)直接畫出[fx]的圖象，設(shè)置參數(shù)[a]反映圖象的動(dòng)態(tài)變化過程，如圖4和圖5所示，能直觀地獲得解題的思路和結(jié)果的猜想.

當(dāng)[0<a<1]時(shí)，[f1=a+lna<1]，條件不滿足. 當(dāng)[a≥1]時(shí)，由于[fx=aex-1-1x，x>0]，只需證明當(dāng)[fx0=aex0-1-1x0=0]時(shí)，[fx0=aex0-1-lnx0+lna≥1]. 這是二元問題，可以采用減元法. 顯然[a=][1x0ex0-1≥1]，得到[0<x0ex0-1≤1]. 解得[0<x0≤1]. 則有[fx0=1x0-][x0-2lnx0+1≥f1=1].

角度2：若考慮到指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，將待證不等式進(jìn)行變換，即[aex-1-lnx+lna≥1？][aex-1≥lnx-lna+1]. 構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)[hx=aex-1]，[gx=][lnx-lna+1]，[a>0]，[x>0]，可以發(fā)現(xiàn)它們互為反函數(shù)，兩者的圖象都是單調(diào)上升且關(guān)于直線[y=x]對(duì)稱，結(jié)合圖6和圖7直覺判斷[lnx-lna+1≤x]恒成立，易求得[a≥1].

角度3：基于指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，可以將不等式兩邊化為同構(gòu)的函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性求解. 若[fx≥1]，則[elna+x-1-lnx+lna≥1]，即[elna+x-1+][lna+x-1≥elnx+lnx]. 設(shè)[gx=ex+x]，則[glna+x-1≥][glnx]. 考慮到[gx]是增函數(shù)，得[lna+x-1≥lnx]. 從對(duì)數(shù)曲線與直線的位置關(guān)系，可知[lna≥0]使不等式成立.

構(gòu)圖可以啟迪思路，但構(gòu)圖有難易，分析有繁簡(jiǎn)，直覺更需理性. 直觀和想象都需要合理的選擇和變通，由此可知該題的解決水平可以用（S1，V3，I3）來(lái)表示，具有較高難度，屬于水平二.

2. 形與形的轉(zhuǎn)換

給定的圖形需要適當(dāng)轉(zhuǎn)換才更能反映問題的本質(zhì). 例如，空間圖形及其三視圖、直觀圖、展開圖的轉(zhuǎn)換，圖形的整體與局部、高維與低維的轉(zhuǎn)換等.

例4 （全國(guó)新高考Ⅰ / Ⅱ卷·16）已知直四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的棱長(zhǎng)均為2，[∠BAD=60°]. 以點(diǎn)[D1]為球心，[5]為半徑的球面與側(cè)面[BCC1B1]的交線長(zhǎng)為???? .

問題研究的是直四棱柱側(cè)面與球的交線，是學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)中所熟悉的情境，但對(duì)空間想象能力要求較高. 學(xué)生需要畫出符合條件的直四棱柱的直觀圖，再?gòu)倪@個(gè)圖中解構(gòu)出一個(gè)個(gè)基本圖. 例如，（1）根據(jù)平面[A1B1C1D1⊥BCC1B1]，作點(diǎn)[D1]在平面[BCC1B1]上的射影[F]，如圖8所示. 可得[D1F⊥]平面[BCC1B1];（2）平面[BCC1B1]與球相交的截面圓，如圖9所示，圓心為[F];（3）在平面[BCC1B1]上，側(cè)面[BCC1B1]與截面圓的交線[GH]，如圖10所示，通過計(jì)算得到其長(zhǎng)為[22π]. 其水平層次可以用（S1，V3，I2）表示.

3. 物與形的聯(lián)結(jié)

借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是直觀想象的一個(gè)重要方面. 它融合了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，在實(shí)際情境中最能體現(xiàn)對(duì)素養(yǎng)的考查.

例5 （全國(guó)Ⅰ卷·理5）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率[y]和溫度[x]（單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[xi，yi i=1，2，…，20]得到如圖11所示的散點(diǎn)圖.

由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率[y]和溫度[x]的回歸方程類型的是（??? ）.

（A）[y=a+bx]?????????????????? （B）[y=a+bx2]

（C）[y=a+bex]??????????????? （D）[y=a+blnx]

該題以學(xué)生課外學(xué)習(xí)小組研究種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)為背景，涉及數(shù)據(jù)分析和各類函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于關(guān)聯(lián)情境. 要研究發(fā)芽率與溫度的關(guān)系，需要采集數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖，直觀感知其形狀變化，再聯(lián)想到相應(yīng)函數(shù)的變化規(guī)律，用函數(shù)來(lái)刻畫，即可以確定答案為選項(xiàng)D. 該題考查的本質(zhì)是對(duì)各種函數(shù)圖象形態(tài)的判斷，分析過程可以用水平（S2，V1，I1），總體屬于水平一.

例6 （全國(guó)新高考Ⅰ / Ⅱ卷·4）日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器（如圖12），利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)

間. 把地球看成一個(gè)球（球心記為[O]），地球上一點(diǎn)[A]的緯度是指[OA]與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)[A]處的水平面是指過點(diǎn)[A]且與[OA]垂直的平面. 在點(diǎn)[A]處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)[A]處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)[A]處的水平面所成角為（??? ）.

（A）20°?? （B）40°?? （C）50°?? （D）90°

日晷是中國(guó)古代最經(jīng)典和傳統(tǒng)的天文觀測(cè)儀器. 該題以地球與日晷的位置關(guān)系為研究對(duì)象，通過數(shù)學(xué)的抽象，歸結(jié)為球、平面、直線等數(shù)學(xué)對(duì)象的位置關(guān)系，在想象空間結(jié)構(gòu)（如圖13）的基礎(chǔ)上，以半徑[OA]和晷針[AB]所在平面作截面構(gòu)造平面圖形（如圖14）進(jìn)行分析，從而將三維空間問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題. 此題的情境較為復(fù)雜，但由于題目條件已經(jīng)對(duì)實(shí)際對(duì)象進(jìn)行了數(shù)學(xué)抽象，所以解題的關(guān)鍵是需要學(xué)生具備一定的構(gòu)圖能力，并能借助空間角的平面角的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其水平層次可表示為（S3，V2，I2），屬于水平二.

三、對(duì)教學(xué)的啟示

以全國(guó)Ⅰ卷理科試題為例，全卷可以借助直觀想象處理的問題分值占75%以上，內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的方方面面，考查水平集中在水平一和水平二. 對(duì)直觀想象素養(yǎng)不同水平層次的研究，有助于在教學(xué)中根據(jù)其水平層次對(duì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)而有步驟的培養(yǎng). 在平時(shí)的教學(xué)中充分挖掘直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)材料，并進(jìn)行有效的組織實(shí)施，顯得尤為重要.

1. 重視數(shù)學(xué)概念的多元表示

一個(gè)數(shù)學(xué)概念，如集合、函數(shù)、向量等，往往都有三種語(yǔ)言的表示方式，即自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言. 熟練掌握數(shù)學(xué)概念中語(yǔ)言的互譯是發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的基礎(chǔ). 掌握語(yǔ)言的關(guān)鍵途徑是運(yùn)用，因此需要在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言從多個(gè)角度對(duì)問題進(jìn)行描述的習(xí)慣.

2. 重視對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟

數(shù)學(xué)本質(zhì)就是精簡(jiǎn)實(shí)用、平易近人，根源往往自然且富有直觀內(nèi)涵. 借助圖形可以得到直觀的感悟. 例如，全國(guó)Ⅲ卷理科第3題考查不同統(tǒng)計(jì)樣本中的標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，學(xué)生往往會(huì)用公式進(jìn)行直接運(yùn)算，而忽視了其背后的數(shù)學(xué)意義和實(shí)際意義. 如果借用圖形來(lái)表示，樣本的均值與樣本點(diǎn)的重心相關(guān)，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差則體現(xiàn)了樣本點(diǎn)與重心的離散程度（距離的和），依據(jù)這一意義可以進(jìn)行直觀判斷，這是素養(yǎng)水平更深一層的體現(xiàn).

3. 重視教學(xué)中問題情境的設(shè)置

數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要體現(xiàn)為在不同的情境中能熟練地使用數(shù)學(xué)知識(shí). 為此，教學(xué)中有必要注重情境的設(shè)置，特別是通過關(guān)聯(lián)情境和綜合情境，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，能用圖表等直觀的工具認(rèn)識(shí)問題，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的意義和價(jià)值.

4. 直觀想象與其他素養(yǎng)是一個(gè)整體

從分析問題的過程來(lái)看，直觀想象可以啟迪思維，但眼見不一定為實(shí). 對(duì)問題的深入研究還需要數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的持續(xù)跟進(jìn). 同時(shí)，要實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的直觀想象，也需要在分析問題的過程中，在策略性的指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算，再選擇合適的構(gòu)圖. 要在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)綜合素質(zhì)的整體提升，在課堂上要充分重視學(xué)生的主體地位，只有給學(xué)生機(jī)會(huì)，讓學(xué)生表現(xiàn)、交流，才有課堂的活力和學(xué)生能力素養(yǎng)的真正提升.

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收稿日期：2020-08-04

作者簡(jiǎn)介：李柏青（1972— ），男，正高級(jí)教師，浙江省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.