例談求解多元函數(shù)最值問題的三種措施

王詠梅

多元函數(shù)最值問題中往往涉及了多個(gè)變量，無法直接運(yùn)用簡單基本函數(shù)的性質(zhì)、圖象來求得最值，因而此類問題一般較為復(fù)雜，需靈活運(yùn)用基本不等式及其變形式，通過三角換元、數(shù)形結(jié)合來求得問題的答案.下面結(jié)合實(shí)例來探討一下求解多元函數(shù)最值問題的三種措施.

一、利用基本不等式及其變形式

基本不等式是指若 a，b > 0 ，則 a + b ≥ 2 ab .在求 解多元函數(shù)最值問題時(shí)，通常需用到基本不等式及其 變 形 式 ，如 2 1 a + 1 b ≤ ab ≤ a + b 2 ≤ a2 + b 2 2 （a、b > 0）、 a2 + b 2 ≥ 2ab、a + b + c ≥ 3 ab 3 c、 n ∑i = 1 n 1 xi ≤ ∏i = 1 n xi n ≤ ∑i = 1 n xi n ≤ ∑i = 1 n x2 i n n 等.利用基本不等式及其變形式求解多元函 數(shù)最值問題需注意幾個(gè)條件：（1）每個(gè)變量是否都為 正數(shù)；（2）是否可配湊出幾個(gè)變量的和或積，并使其中 之一為定值；（3）幾個(gè)變量相等時(shí)等號是否成立.

例1.

解：

目標(biāo)式中含有三個(gè)變量，需先找出變量之間的關(guān)系，通過恒等變換減少變量的個(gè)數(shù)，將目標(biāo)式放縮為關(guān)于 a、b 的函數(shù)式；然后根據(jù)該式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其變形為幾個(gè)簡單分式的和，并使其中每兩個(gè)式子的積為定值，即可根據(jù)基本不等式 a + b ≥2 求得M的最值.

例2.

解：

對于本題，需運(yùn)用基本不等式的變形式 a2+ b2≥2ab 以及 a + b + c ≥33 c ，才能順利求得最值.在多次使用基本不等式及其變形式時(shí)，需確保在各個(gè)變量相等時(shí)，由基本不等式及其變形式得到的每個(gè)不等式的等號成立.

二、三角換元

由于多元函數(shù)最值問題中的變量較多，所以常常需通過三角換元，將問題中的變量化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，這樣就能將問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)最值問題來求解.通?？上雀鶕?jù)題目中所給的條件，用三角函數(shù) sin α、cos α、tan α替換問題中的變量；然后通過三角恒等變換化簡目標(biāo)函數(shù)式，利用三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)來求得最值.

例3.已知實(shí)數(shù)?x，y 滿足?x2+ y2≤1，求|x2+2xy - y2| 的最大值.

解：

由 x2+y2≤1可聯(lián)想到同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2θ+ cos2θ=1，于是令 x =rcos θ、y =rsin θ ， 且0

例4.已知實(shí)數(shù)?x，y ∈?R，x2- y2=2，求| 2x +3y | 的最小值.

解：

我們根據(jù)已知關(guān)系式 x2- y2=2，分別令 x =sec θ、3 y = tan θ 通過三角換元將問題中的雙變量 x 、y 用單變量θ表示出來，就能將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的三角函數(shù)問題，利用輔助角公式以及正余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行求解即可.

三、數(shù)形結(jié)合

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法求解多元函數(shù)最值問題，需深入挖掘目標(biāo)函數(shù)式中代數(shù)式的幾何意義，熟悉簡單基本函數(shù)的解析式和圖象，畫出相應(yīng)的圖形，即可將問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題，通過移動點(diǎn)、直線、曲線的位置，確定取得最值時(shí)的臨界情形，列出關(guān)系式，求得最值.

例5.已知 a＞0，b＞0，+ =3，求 a + b 的最小值.

解：

通過數(shù)與形之間的互相轉(zhuǎn)化，將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為直線 b =-a +t 與函數(shù) b = 圖象之間的位置關(guān)系問題，即可通過分析直線與函數(shù)圖象的臨界情形：相切，確定 a、b 的取值，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.

例6.已知?x，y ∈?R ，則?f（x，y） =（x -y）2+ x + +12的最小值是 ???.

解：

我們先將目標(biāo)函數(shù)式變形為兩式的平方和，即可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，將目標(biāo)式看作兩點(diǎn)（x，x +1） 、y，-之間的距離的平方；然后結(jié)合圖形，確定直線上的點(diǎn)到雙曲線 xy =-1上的點(diǎn)的最短距離，即可解題.

解答多元函數(shù)最值問題，關(guān)鍵是研究問題中的變量和目標(biāo)式，可通過變形目標(biāo)式，利用基本不等式及其變形式求解；也可通過三角換元，將多變量化為單變量的三角函數(shù)問題來求解；還可以通過數(shù)形結(jié)合，將變量視為動點(diǎn)的坐標(biāo)，通過研究動點(diǎn)、動直線、動曲線的位置關(guān)系，求得最值.同學(xué)們在解題時(shí)需仔細(xì)研究變量之間的關(guān)系，明確目標(biāo)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇與之相應(yīng)的思路進(jìn)行求解.

（作者單位：江蘇省啟東市東南中學(xué)）