體現(xiàn)函數(shù)的研究方法 發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

摘? 要：冪函數(shù)是高中生學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)，對(duì)高中階段研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等其他函數(shù)具有示范作用. 在教學(xué)中要充分體現(xiàn)研究函數(shù)的“基本套路”，體現(xiàn)從具體到抽象，從特殊到一般，觀察、歸納、抽象、概括、類比的思維方法，以及從函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算兩方面研究函數(shù)的方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：冪函數(shù);函數(shù)的研究方法;核心素養(yǎng)

為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書(shū)記給福建省壽寧縣下黨鄉(xiāng)鄉(xiāng)親們的回信精神，持續(xù)鞏固脫貧成果，10月22日至24日，由中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)主辦的“中央蘇區(qū)、革命老區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)”活動(dòng)在寧德市壽寧縣舉行，筆者有幸參與此次活動(dòng)，深受教育. 在壽寧縣，北京市第五中學(xué)的王琦老師做了一節(jié)“冪函數(shù)”的現(xiàn)場(chǎng)研究課，受到了現(xiàn)場(chǎng)教師和專家的一致好評(píng)，給當(dāng)?shù)貛?lái)了新的教學(xué)理念，以及教學(xué)實(shí)踐范例. 針對(duì)“冪函數(shù)”這節(jié)課，筆者談?wù)勗O(shè)計(jì)和實(shí)施中的一些思考，供大家參考.

一、教學(xué)目標(biāo)的定位

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是最基本的、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算的方法研究這些函數(shù)的性質(zhì);理解這些函數(shù)中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律;運(yùn)用這些函數(shù)建立模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)這些函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用. 對(duì)于冪函數(shù)，通過(guò)具體實(shí)例，結(jié)合[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，[y=x-1]，[y=x12]的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù).

教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們一開(kāi)始的困惑是在學(xué)生得出冪函數(shù)的概念“一般地，函數(shù)[y=xα]叫做冪函數(shù)，其中[x]是自變量，[α]是常數(shù)”后，是否可以突破上述這五個(gè)具體函數(shù)的限制，讓學(xué)生自己給[α]取不同的值，探索冪函數(shù)的圖象規(guī)律. 若這樣設(shè)計(jì)，就需要借助信息技術(shù)，讓學(xué)生利用信息技術(shù)畫(huà)出多個(gè)冪函數(shù)的圖象，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的重點(diǎn)就成為觀察圖象、歸納性質(zhì)，這樣就淡化了讓學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算研究這些函數(shù)的性質(zhì)的方法，與《標(biāo)準(zhǔn)》給出的教學(xué)目標(biāo)存在偏差. 同時(shí)，函數(shù)的圖象都是通過(guò)信息技術(shù)來(lái)畫(huà)的，學(xué)生不能體會(huì)先研究函數(shù)的性質(zhì)，再畫(huà)出函數(shù)圖象的函數(shù)研究方法. 另外，冪函數(shù)的種類很多，學(xué)生掌握起來(lái)有很大的困難，考慮到教學(xué)對(duì)象的實(shí)際情況，不能人為增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，因此教學(xué)內(nèi)容的定位依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，不進(jìn)行拓展，讓學(xué)生通過(guò)函數(shù)[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，[y=x-1]，[y=x12]的圖象和性質(zhì)，了解冪函數(shù)，掌握冪函數(shù)的研究方法.

二、教學(xué)重點(diǎn)的體現(xiàn)

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，積累了研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn). 到了高中，學(xué)習(xí)了集合語(yǔ)言和邏輯用語(yǔ)，而且高中對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了深化及符號(hào)表征，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了抽象與擴(kuò)展，學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)也發(fā)生了變化，對(duì)函數(shù)的研究將會(huì)在初中研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展與深入. 冪函數(shù)是學(xué)生高中學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)，對(duì)今后學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等其他函數(shù)具有示范作用，因此對(duì)冪函數(shù)的研究至關(guān)重要，需要讓學(xué)生體會(huì)研究一類函數(shù)的“基本套路”（定義、表示、圖象與性質(zhì)、應(yīng)用）. 在這個(gè)基本套路中，要讓學(xué)生經(jīng)歷研究一類函數(shù)的基本過(guò)程;體會(huì)一類函數(shù)具有的現(xiàn)實(shí)背景，明確一類函數(shù)的定義是從現(xiàn)實(shí)背景中抽象概括而來(lái)的;學(xué)習(xí)從特殊到一般，從具體到抽象，從函數(shù)圖象和解析式研究性質(zhì)的方法;同時(shí)深化對(duì)函數(shù)概念與函數(shù)性質(zhì)的理解.

人教A版教材將冪函數(shù)的內(nèi)容安排在一般函數(shù)的概念和性質(zhì)之后，可以理解為冪函數(shù)的學(xué)習(xí)是函數(shù)概念與性質(zhì)的下位學(xué)習(xí)，同時(shí)通過(guò)冪函數(shù)的學(xué)習(xí)積累研究一類具體函數(shù)的內(nèi)容、基本思路與方法，為后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等奠定基礎(chǔ)并提供范例.

三、教學(xué)過(guò)程的生成

在教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)——從實(shí)際情境中抽象出冪函數(shù)的定義后，教師追問(wèn)：根據(jù)定義，你能再舉出幾個(gè)冪函數(shù)嗎？這是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，雖然這樣的設(shè)問(wèn)是讓學(xué)生根據(jù)定義進(jìn)行舉例，但不能小看這個(gè)問(wèn)法，這不僅能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，而且對(duì)學(xué)生的思維水平要求更高. 學(xué)生需要在理解定義的基礎(chǔ)上，整合現(xiàn)有知識(shí)，舉出例子并進(jìn)行判斷，舉例子的過(guò)程就要考慮例子是否滿足定義，還要考慮例子的表達(dá)形式，是一個(gè)綜合的思維過(guò)程，比教師直接給出函數(shù)的解析式讓學(xué)生判斷是否滿足定義的思維要求更高. 這個(gè)過(guò)程不僅可以培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，還能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

在教學(xué)的第二個(gè)環(huán)節(jié)——探究?jī)绾瘮?shù)的圖象和性質(zhì)的“梳理研究路徑，明確研究?jī)?nèi)容”中，教師提問(wèn)：結(jié)合以往學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們應(yīng)該如何研究?jī)绾瘮?shù)？這樣設(shè)問(wèn)，主要是為了調(diào)動(dòng)學(xué)生以前積累的研究函數(shù)的方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為下面研究函數(shù)做好準(zhǔn)備. 接著，教師追問(wèn)：如何作出冪函數(shù)[y=xα]的圖象？學(xué)生根據(jù)以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，類比給出從特殊到一般的研究策略. 教師繼續(xù)追問(wèn)：[α]取什么特殊值進(jìn)行研究，才能具備代表性？據(jù)此，教師指出本節(jié)課只是拋磚引玉，只從[α]為正整數(shù)的情況中選取三個(gè)最簡(jiǎn)單的，即[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，從[α]為負(fù)整數(shù)的情況中選取一個(gè)最簡(jiǎn)單的，即[y=x-1]，從[α]為分?jǐn)?shù)的情況中選取一個(gè)最簡(jiǎn)單的，即[y=x12=x]進(jìn)行研究. 掌握了研究的方法，其他冪函數(shù)可以課后自行探究. 問(wèn)題層層深入、層層遞進(jìn)，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，思維的水平得到了發(fā)展.

教學(xué)的第三個(gè)環(huán)節(jié)——探究五個(gè)冪函數(shù)各自的圖象和性質(zhì)，這是本節(jié)課的重點(diǎn). 在這個(gè)環(huán)節(jié)，教師將要研究的五個(gè)函數(shù)分成兩類：一類為學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的熟悉的函數(shù)[y=x]，[y=x2]，[y=x-1];另一類為學(xué)生沒(méi)學(xué)過(guò)的、不熟悉的函數(shù)[y=x3]，[y=x12]. 第二類的兩個(gè)函數(shù)圖象的生成將是教學(xué)的重中之重，教師對(duì)這兩個(gè)函數(shù)的處理方式不同. 對(duì)于函數(shù)[y=x3]，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)列表、描點(diǎn)、作圖來(lái)完成. 在列表時(shí)，如果能夠結(jié)合函數(shù)的奇偶性，既可以提高列表效率，又可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)的奇偶性在函數(shù)研究過(guò)程中有事半功倍的作用，還可以讓學(xué)生理解在研究函數(shù)的過(guò)程中單調(diào)性與奇偶性的順序問(wèn)題. 對(duì)于函數(shù)[y=x12]的圖象的研究，教師先結(jié)合初中的知識(shí)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化形式，表示為學(xué)生熟悉的[y=x]形式，然后研究此函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性. 對(duì)于單調(diào)性的研究，教師把教材中的例題前移，放在此處處理，讓學(xué)生從單調(diào)性的定義證明函數(shù)[y=x12]在[0，+∞]上是單調(diào)遞增的，讓學(xué)生對(duì)這個(gè)陌生函數(shù)的單調(diào)性有了更深入的認(rèn)識(shí)，最后再讓學(xué)生根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)的圖象. 教學(xué)過(guò)程循序漸進(jìn)，在與學(xué)生的互動(dòng)中自然生成，給人的感覺(jué)是和諧、自然、水到渠成.

四、信息技術(shù)的使用

黨的十九大做出中國(guó)特色社會(huì)主義進(jìn)入新時(shí)代的判斷，開(kāi)啟了加快教育現(xiàn)代化、建設(shè)教育強(qiáng)國(guó)的新征程. 計(jì)算器、計(jì)算機(jī)在飛速發(fā)展的今天日益普及，運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等信息技術(shù)工具，不僅可以實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確地列表、畫(huà)圖、計(jì)算等數(shù)據(jù)處理，而且能使大量人工難以完成的數(shù)據(jù)處理變成可能，信息技術(shù)的使用已經(jīng)是教師教學(xué)的一部分. 在本節(jié)課中，信息技術(shù)使用恰當(dāng)，對(duì)于學(xué)生不熟悉的函數(shù)[y=x3]，[y=x12]，教師沒(méi)有直接利用信息技術(shù)軟件畫(huà)出函數(shù)的圖象，而是讓學(xué)生經(jīng)歷畫(huà)出函數(shù)圖象的過(guò)程，在學(xué)生得到大致圖形后，再利用信息技術(shù)準(zhǔn)確地畫(huà)出函數(shù)圖象，加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí). 信息技術(shù)雖然使得教學(xué)生動(dòng)、多樣、高效，但在教學(xué)中，不能為了使用技術(shù)而使用，也不能用信息技術(shù)代替學(xué)生的思考，要恰到好處.

五、教學(xué)引入的思考

對(duì)于冪函數(shù)的教學(xué)引入，我們有兩個(gè)觀點(diǎn)：一是依據(jù)冪函數(shù)背景，從實(shí)際生活中抽象;二是依據(jù)冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展中引出. 兩種方式各有優(yōu)勢(shì)和不足.

第一種引入方式，通過(guò)一系列實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生可以感受到客觀世界中很多變量關(guān)系可以用冪函數(shù)表示，從而體會(huì)到冪函數(shù)研究的必要性和應(yīng)用價(jià)值. 而且中學(xué)階段學(xué)習(xí)的幾種函數(shù)都有著它們的實(shí)際背景. 冪函數(shù)是高中階段學(xué)習(xí)的第一類具體函數(shù)，從實(shí)際背景中抽象出冪函數(shù)的概念，對(duì)高中階段其他函數(shù)的研究具有示范作用. 同時(shí)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象也是很多數(shù)學(xué)概念和問(wèn)題產(chǎn)生的方式.

第二種引入方式，結(jié)合學(xué)生初中學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)提出問(wèn)題：前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和表示法，以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和最大（最?。┲? 今天我們就應(yīng)用所學(xué)，研究一類具體的函數(shù). 初中我們學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，它們都是在實(shí)際生活中有著廣泛應(yīng)用的函數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)都是由[y=x]，[y=x2]，[y=1x=x-1]這樣一些更為基本的函數(shù)通過(guò)運(yùn)算得到的. 從解析式上看，這幾個(gè)函數(shù)有什么共同特征？學(xué)生觀察幾個(gè)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)它們都具有冪的形式，底數(shù)是自變量，指數(shù)是一個(gè)常數(shù)，然后給出定義. 這樣設(shè)計(jì)，學(xué)生容易認(rèn)同冪函數(shù)的基礎(chǔ)性，從而認(rèn)同研究?jī)绾瘮?shù)的價(jià)值，也為后續(xù)認(rèn)識(shí)冪函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系奠定基礎(chǔ). 多項(xiàng)式函數(shù)是我們最熟悉的函數(shù)形式之一，是由冪函數(shù)經(jīng)過(guò)一系列運(yùn)算得到的. 多項(xiàng)式函數(shù)用它近似代替一些比較復(fù)雜的函數(shù)，實(shí)現(xiàn)以簡(jiǎn)馭繁，這是研究函數(shù)在一點(diǎn)近旁性態(tài)的有力工具，也是微分學(xué)，乃至數(shù)學(xué)的精義所在. 微積分中的泰勒展開(kāi)式，給出了用多項(xiàng)式函數(shù)近似表達(dá)復(fù)雜函數(shù)的理論保證，在近似計(jì)算和數(shù)值分析中具有十分重要的意義，冪函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)的基礎(chǔ)，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著巨大的作用.

權(quán)衡兩種冪函數(shù)教學(xué)的引入，考慮冪函數(shù)是高中研究的第一個(gè)函數(shù)，教學(xué)中要充分體現(xiàn)冪函數(shù)的范例作用，我們選擇了第一種引入方式. 關(guān)于第二種引入，也就是冪函數(shù)的基礎(chǔ)地位，冪函數(shù)的價(jià)值，在后續(xù)的教學(xué)中尋找合適的時(shí)機(jī)，讓學(xué)生體會(huì).

新時(shí)代背景下，教育教學(xué)在《標(biāo)準(zhǔn)》、教材、考試等方面發(fā)生了一系列變化，需要我們教師緊跟時(shí)代的步伐，更新教育理念，認(rèn)真研究《標(biāo)準(zhǔn)》、研究教材，研究數(shù)學(xué)的本質(zhì)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，鑄魂育人.

參考文獻(xiàn)：

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[2]章建躍. 注重“基本套路”才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012（3）：封底.

收稿日期：2020-11-02

作者簡(jiǎn)介：雷曉莉（1973— ），女，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、評(píng)價(jià)和教師培訓(xùn)研究.