滲透“基本套路” 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

趙萬程

摘 要：“基本套路”是事物發(fā)生發(fā)展的基本規(guī)律，數(shù)學(xué)中的“基本套路”是研究數(shù)學(xué)問題發(fā)生發(fā)展的基本規(guī)律，即數(shù)學(xué)思維。要培養(yǎng)學(xué)數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，首先要讓學(xué)生體會、掌握這種基本思維，因此，新課程標準提倡教師以“研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路”為指導(dǎo)設(shè)計和開展教學(xué)活動。作為一線教師，我們應(yīng)該研究“基本套路”、實施“基本套路”、反思“基本套路”、發(fā)展“基本套路”，踏踏實實地落實新課程標準，實現(xiàn)立德樹人的目標。

關(guān)鍵詞：基本套路;核心素養(yǎng);意義;實施;思考

一、“基本套路”教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ)，不僅僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用層面，更體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維的運用層面，正如美國數(shù)學(xué)家萊克因所說：“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度”，柏拉圖也曾說：“數(shù)學(xué)是一切知識的最高形式”。因此，我們要教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，這正是新課程標準所希望達到的效果。

新課程標準注重發(fā)展學(xué)生的六項核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能。要落實核心素養(yǎng)，核心是數(shù)學(xué)教學(xué)育人要回歸數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)。所有的科學(xué)問題在本質(zhì)上都是簡單而有序的，用簡單的概念闡明科學(xué)的基本問題，用相似的方法解決不同的問題，數(shù)學(xué)更是如此。數(shù)學(xué)的研究對象多種多樣，但研究的內(nèi)容、過程和方法是如出一轍的，正所謂“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”。因此，我們在教學(xué)生每一種數(shù)量關(guān)系、幾何關(guān)系，都應(yīng)該以“研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路”為指導(dǎo)進行教學(xué)設(shè)計和開展課堂教學(xué)，使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)思想和方法的普適性，學(xué)會用相似的方法、已知的方法解決陌生的、未知的問題，逐漸形成“數(shù)學(xué)的思維方式”，以達到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的。

二、“基本套路”教學(xué)的實施

1.明套路，知章法

這里的“套路”并非狹義的指解題方法。比如分式函數(shù)的值域問題，我們可以通過設(shè)將函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)加以解決，也可以設(shè)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)加以解決，還可以去分母通過考察“二次方程根的分布”加以解決。其實這些方法均是將一個未知函數(shù)轉(zhuǎn)換為已知函數(shù)加以解決，是同一種思想的不同處理。很多文章上都把這些不同的處理總結(jié)成不同的方法，才會出現(xiàn)“函數(shù)值域的十種方法”，甚至“函數(shù)值域的十六種方法”，并稱之為“套路”，不同函數(shù)的值域用不同的套路。在筆者看來，函數(shù)值域就一種思想方法：化未知為已知。具體到用代數(shù)還是幾何還是數(shù)形結(jié)合，均是“化已知”的不同思考角度，不同處理方式。筆者曾聽過一位老師的課，課上在講解如上函數(shù)值域問題時老師總結(jié)強調(diào)：“二次分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為分子分母一個為一次一個為二次的結(jié)構(gòu)，然后對一次結(jié)構(gòu)進行換元構(gòu)造雙勾函數(shù)，這是解決二次分式函數(shù)值域的基本套路，而且是最普適的套路?！笨梢韵胂?，這樣的講解會固化學(xué)生的思維，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，也許“應(yīng)試”有用，但卻為了一時影響了學(xué)生一生。我們不需要這樣的“套路”。

這里的“套路”，是指事物發(fā)生發(fā)展的一般規(guī)律，比如餓了要吃飯，困了要睡覺。數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展也有著它的一般規(guī)律，比如基本初等函數(shù)都遵循著“背景——概念——圖像與性質(zhì)——應(yīng)用”的基本規(guī)律。明白事物發(fā)展的一般規(guī)律，才能用相同的思維思考不同的對象，才能達到“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”的效果，才能讓學(xué)生在以后碰到未知問題時知曉如何思考，如何去解決。

新課程標準提倡教師在教學(xué)過程中滲透“基本套路”意識，強調(diào)“相同的模塊有相同的套路，不同的模塊有不同的套路”，教師首先自己要強化“套路”意識，研究不同模塊“套路”結(jié)構(gòu)，優(yōu)化“套路”實施方式，發(fā)展“套路”教育理念，并依“套路”進行設(shè)計教學(xué)、開展教學(xué)過程，才能潛移默化的影響學(xué)生，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想和方法的普適性，學(xué)會用相似的方法解決不同的問題，形成數(shù)學(xué)的思維方式，核心素養(yǎng)就潤物細無聲的落實了。

2.教套路，練章法

教師應(yīng)依據(jù)所教知識研究的“基本套路”進行教學(xué)設(shè)計，并在教學(xué)中通過各種教學(xué)活動讓學(xué)生能夠體會、理解 “套路”意識，并提供平臺供學(xué)生演練“套路”研究，使學(xué)生逐漸形成數(shù)學(xué)的思考方式。

比如在“冪函數(shù)”的教學(xué)中，我們要依據(jù)研究基本初等函數(shù)的“套路”進行教學(xué)設(shè)計：

在研究冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)過程中，先通過描點法畫特殊五個特殊函數(shù)的圖像，然后對性質(zhì)進行總結(jié)歸納，再適當加以證明。整個教學(xué)過程體現(xiàn)了事物發(fā)生發(fā)展的基本規(guī)律。教材對冪函數(shù)的要求不高，只需要通過具體實例得出冪函數(shù)的概念，結(jié)合五個具體冪函數(shù)（其中有三個初中學(xué)過）的圖像，歸納抽象出五個冪函數(shù)的性質(zhì)即可。但如果把“冪函數(shù)”放到《函數(shù)的概念和性質(zhì)》這一章中分析就會發(fā)現(xiàn)，“冪函數(shù)”這節(jié)內(nèi)容所體現(xiàn)的不僅僅是冪函數(shù)本身，它是函數(shù)的概念和性質(zhì)的具體表現(xiàn)，可以進一步加深學(xué)生對函數(shù)的概念和性質(zhì)的理解，它也是是函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用，可以讓學(xué)生體會概念和性質(zhì)的作用;如果把“冪函數(shù)”放到“函數(shù)模塊”中分析又會發(fā)現(xiàn)，通過對要求較低的冪函數(shù)的研究，可以讓學(xué)生明確研究初等函數(shù)的“基本套路”，為后面研究相對較難的指對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)甚至數(shù)列指明研究策略。因此，“冪函數(shù)”這節(jié)內(nèi)容的要求雖然不高，但其作用巨大，有承前啟后之功效。因此，在后面學(xué)習指對數(shù)函數(shù)時，可提供平臺讓學(xué)生仿照冪函數(shù)的研究過程嘗試自己去研究指對數(shù)函數(shù)。

筆者在和徒弟探討基本初等函數(shù)的教學(xué)時，突發(fā)奇想和她一起進行了一個實驗，在她所任教的兩個班中選擇一個班級按如下方案授課：

①講完“冪函數(shù)”后，直接上“指數(shù)函數(shù)的概念”，然后讓學(xué)生仿照冪函數(shù)的研究套路課后自行研究指數(shù)函數(shù)，總結(jié)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，下節(jié)課展現(xiàn)研究成果;

②接著上“指數(shù)運算”，在指數(shù)運算最后一節(jié)課用10分鐘講解“對數(shù)”的概念，讓學(xué)生仿照指數(shù)運算的研究套路課后自行研究對數(shù)運算，下節(jié)課展示研究成果;

③在對數(shù)運算后給學(xué)生一個實際背景，讓學(xué)生課后仿照指數(shù)函數(shù)的研究套路自行對數(shù)函數(shù)進行研究，下節(jié)課展示研究成果。

即上課順序為：

其目的就是想試試看“基本套路”教學(xué)是否會影響學(xué)生的思維方式，并鑒定其效果。故在其上教學(xué)內(nèi)容上完以后，為兩個班同時留了一道作業(yè)附加題：請研究二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的新函數(shù)。從學(xué)生呈現(xiàn)出來的研究成果可以看出，按如上方式上課的班級學(xué)生總體對新的復(fù)合函數(shù)研究種類的多樣性、性質(zhì)的完整性好與另一個班級?？梢钥闯?，強調(diào)研究對象的“基本套路”確實有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，更有利于核心素養(yǎng)的落地。

當然，這只是試驗，筆者不建議為了講“套路”而隨意改變教學(xué)內(nèi)容的順序，數(shù)學(xué)是一門整體性、系統(tǒng)性很強的學(xué)科，教材的內(nèi)容編排順序自有其合理性、科學(xué)性，隨意改變不一定符合知識發(fā)生發(fā)展的自然過程和學(xué)生對知識發(fā)生發(fā)展過程的認知。教師只要在日常教學(xué)過程中盡可能多的滲透“基本套路”的意識即可?！盎咎茁贰币庾R的形成也不是一蹴而就的，教師要多引導(dǎo)，多滲透，多給學(xué)生創(chuàng)造機會和平臺練習，潛移默化中改變學(xué)生的思考方式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

3.思套路，調(diào)章法

依據(jù)研究新的數(shù)學(xué)對象的“基本套路”進行教學(xué)，雖然很早就有人在研究，但真正引起所有一線教師關(guān)注的還是新的課程標準的實施，目前依然處于研究階段。章建躍博士指出高中數(shù)學(xué)中“基本套路”的載體比比皆是，但他并沒有詳細說明“基本套路”的內(nèi)涵是什么，已有的研究也大多數(shù)是直接套用章建躍博士的觀點，“基本套路”的內(nèi)涵并沒有達成一致，“基本套路”的實施也都還在摸索，因此我們一線教師在教學(xué)過程中要實時的進行思考、反思、調(diào)整，形成自己的、適合學(xué)生的一套理論和辦法。

一是要反思自己對“基本套路”的理解是否到位。新教材重構(gòu)主題模塊，整合同一模塊的知識主題，更有利于學(xué)生對知識體系的認知，也更有利于“基本套路”的實施和落實，教師要對同一模塊的不同知識對象的研究整合成同一“基本套路”，不能牽強，要自然而然，要能讓學(xué)生感受到這就是事物發(fā)展的一般規(guī)律，才能引起學(xué)生的共鳴，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng);

二是思考不同模塊的不同套路之間的聯(lián)系、共性。不同模塊的不同套路之間不是割裂的、毫不相干的，無論是代數(shù)還是幾何，新知識對象的研究無不遵循著“發(fā)現(xiàn)——研究——應(yīng)用”的一般規(guī)律，“套路”的不同只是因為研究對象的種類不同而產(chǎn)生的差異，是同一棵樹上不同的樹枝。“基本套路”的建立應(yīng)該注重為學(xué)生構(gòu)建一個前后一致、邏輯連貫的學(xué)習過程。因此教師在進行教學(xué)設(shè)計和教學(xué)活動過程中要體現(xiàn)這種聯(lián)系、共性，才能讓學(xué)生真正理解“套路”，靈活運用“套路”，才能將“套路意識”融入學(xué)生的血脈之中。

三是要反思“基本套路”的實施方案是否適合學(xué)生。一方面，“基本套路”重視知識的邏輯過程和教師“教”的角度，比較容易忽略學(xué)生對知識的主動需求和探索過程中對數(shù)學(xué)問題解決的那種千回百轉(zhuǎn)、生動活潑的心理活動，因此“基本套路”的研究還應(yīng)充分考慮學(xué)生的心理需求;另一方面，不同學(xué)校的學(xué)生能力差異較大，同一學(xué)校不同層次的班級學(xué)生能力差異較大，同一班級的學(xué)生個體能力差異也較大，教師要依據(jù)任課班級的學(xué)生特點設(shè)計教學(xué)活動，適合學(xué)生的就是最好的。

三、 “基本套路”教學(xué)的思考

對象研究的“基本套路”并非是固化研究方式，“基本套路”是一種規(guī)律，我們要認識規(guī)律、研究規(guī)律、發(fā)展規(guī)律，進而形成數(shù)學(xué)思維、進化數(shù)學(xué)思維，才能大開腦洞，創(chuàng)造性的認識世界、發(fā)展世界。

1.“套路”一詞來源于武術(shù)，武者學(xué)習武術(shù)要從基本套路開始，隨著對武術(shù)理解的深入，逐漸能夠?qū)⒏鞣N套路融會貫通，信手拈來，再進一步則不在拘泥于某種套路，甚至能根據(jù)自身和對手的特點創(chuàng)造招式，而武術(shù)的最高境界則是無招，隨心所欲，無招勝有招。筆者想來，“數(shù)學(xué)思維”應(yīng)該也是如此，康托爾說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由”。我們今天教學(xué)生 “基本套路”的目的，是為了讓學(xué)生學(xué)會用“數(shù)學(xué)思維”思考世界，并將其成為一種本能，最后達到“無招”的境界。故我們在教學(xué)過程中，一方面要將“基本套路”意識滲透的足夠徹底，盡可能讓學(xué)生掌握的足夠扎實;另一方面也要滲透“基本套路”的靈活性、可塑性，總結(jié)分析不同模塊“套路”的共性和個性，逐漸發(fā)展為更高一級的“套路”，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成和升級奠定基礎(chǔ)。

2.在落實“基本套路”的過程中，非常容易使學(xué)生認為一切數(shù)學(xué)問題都能通過某一個套路進行解決，使得學(xué)生在解題時過于關(guān)注“通用通法”，失去對“一題多解”研究的動力和興趣，導(dǎo)致學(xué)生思維固化，不夠發(fā)散，最終的結(jié)果是喪失創(chuàng)造力。事實上，很多數(shù)學(xué)家也在尋求能夠解決某一類的所有數(shù)學(xué)問題的“套路”，比如希爾伯特提出了公理系統(tǒng)中的判定問題，有這樣一個設(shè)想：有了一個公理系統(tǒng)，就可以在這個系統(tǒng)基礎(chǔ)上提出各式各樣的命題，那么，有沒有一種機械的方法或者算法，對每一個命題加以檢驗，判斷它是否成立？然而數(shù)理邏輯的專家——哥德爾的不完全定理的面世，打碎了希爾伯特的夢想，哥德爾的成果指明：即使是在數(shù)論領(lǐng)域，對所有命題進行判定的機械化方法都是不存在的。滲透對象的研究“基本套路”是為了讓學(xué)生感受事物發(fā)生發(fā)展的一般規(guī)律，并非禁錮學(xué)生的思維，與發(fā)散性思維的培養(yǎng)并不沖突，無論思維如何發(fā)散，如何的天馬行空，都逃不開“規(guī)律”二字，發(fā)散的思維就像一個個自由飛翔的風箏，而“規(guī)律”就是風箏線，要想風箏飛得高、飛的遠、飛的自由自在，首先要拉好風箏線，然后給風箏自由。我們需要“基本套路”，也需要發(fā)散思維，在“基本套路”的指引下發(fā)散自己的思維，因此，我們在教學(xué)過程中要注意這兩方面的一致性。

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