基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“深度學(xué)習(xí)”教學(xué)實(shí)踐

曹洪章 郭懷玉

摘 要：本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)理論，對(duì)《余弦定理》一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探究，做了一堂基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐，談?wù)勅绾芜\(yùn)用此觀點(diǎn)對(duì)《余弦定理》這一節(jié)課進(jìn)行變革，體現(xiàn)新課標(biāo)理念。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);余弦定理

一、深度學(xué)習(xí)概述

深度學(xué)習(xí)是機(jī)器學(xué)習(xí)研究中的一個(gè)新的領(lǐng)域，其動(dòng)機(jī)在于建立、模擬人腦進(jìn)行分析學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它模仿人腦的機(jī)制來解釋數(shù)據(jù)，例如圖像、聲音和文本。深度學(xué)習(xí)（Deep learning）是美國學(xué)者Ference Marton和Roger Saljo在1976年基于大學(xué)生對(duì)于文本閱讀學(xué)習(xí)結(jié)果的研究提出的概念，但是國內(nèi)對(duì)深度學(xué)習(xí)的研究起步較晚。2005年黎加厚教授在促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的著作中，首次提出了深度學(xué)習(xí)的概念。深度學(xué)習(xí)通過組合低層特征形成更加抽象的高層表示屬性類別或特征，以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布式特征表示。在此之后國內(nèi)研究者，開始關(guān)注深度學(xué)習(xí)。隨著研究的不斷深入，許多與深度學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)的研究也開始出現(xiàn)。如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程，課堂教學(xué)等。對(duì)深度學(xué)習(xí)的跨學(xué)科研究也得到飛速的發(fā)展，如教育學(xué)，數(shù)學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域衍生出不同層次的深度學(xué)習(xí)研究。

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“深度學(xué)習(xí)”是指學(xué)習(xí)者運(yùn)用高階思維將所學(xué)的知識(shí)和技能應(yīng)用到新的復(fù)雜情境，逐步形成正確的價(jià)值觀和必備品格的認(rèn)知過程。深度學(xué)習(xí)是無監(jiān)督學(xué)習(xí)的一種。學(xué)習(xí)是一種基于高階思維發(fā)展的理解性學(xué)習(xí)，為理解而教，為理解而學(xué)，追求建立個(gè)性化的有遷移功能的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本文以余弦定理的一節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)為實(shí)例，開展基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)的一次教學(xué)實(shí)例活動(dòng)。

二、以《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)為例，基于核心素養(yǎng)的“深度學(xué)習(xí)”研究

（一）基本背景

余弦定理是人教A版必修5《1.1.2余弦定理》的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是繼正弦定理后學(xué)習(xí)的一個(gè)重要的解三角形定理。該定理實(shí)現(xiàn)了邊角的互化，為解決可轉(zhuǎn)化的三角形計(jì)算問題提供了重要的理論工具。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識(shí)和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣。但是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力較弱，分析與解決問題能力不強(qiáng)，知識(shí)的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度。我們從具體問題引入，從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，從特例抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程思想去審視、解決實(shí)踐問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

深度學(xué)習(xí)是學(xué)生自發(fā)自主地學(xué)習(xí)，而不是課堂上老師滿堂灌的教，深度學(xué)習(xí)并不是對(duì)昨天課堂的顛覆，而是改進(jìn)，希望課堂少些學(xué)生學(xué)習(xí)表面的熱鬧，多些能力的成長，特別是思維深度、密度和廣度的增加。

結(jié)合《余弦定理》這節(jié)課，核心素養(yǎng)又有哪些呢？這節(jié)課的根本問題是三角形中幾何元素間的關(guān)系，是探究規(guī)律的思維，是需要幾何直觀形象的發(fā)現(xiàn)和邏輯演繹的嚴(yán)密證明?！队嘞叶ɡ怼沸枰?jiǎng)?chuàng)設(shè)怎樣的情境，通過什么樣的思維活動(dòng)才能把數(shù)學(xué)知識(shí)通過數(shù)學(xué)活動(dòng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的理性思維（特別是邏輯思維），使學(xué)生學(xué)會(huì)有邏輯地、創(chuàng)造性地思考，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流，成為善于分析問題和解決問題的人才，在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，以達(dá)立德樹人之目的，是這節(jié)數(shù)學(xué)課程的主要任務(wù)。

（二）設(shè)計(jì)過程

1.創(chuàng)設(shè)新情境，激發(fā)求知欲

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的立德樹人目標(biāo)，容易超出學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平，處于最近發(fā)展區(qū)之外，學(xué)生易出現(xiàn)思維斷層，也不利于高級(jí)思維的培養(yǎng)。顯而易見，學(xué)生還停留在較淺層次的學(xué)習(xí)程度上。故做如下的教學(xué)設(shè)計(jì)：聯(lián)系舊知，明確學(xué)習(xí)意義;復(fù)習(xí)舊知。聯(lián)系是教學(xué)的第一環(huán)節(jié)，解決為什么學(xué)習(xí)的問題，目的是讓學(xué)生將舊知或經(jīng)驗(yàn)與新知相聯(lián)系，找到新知的價(jià)值，明確學(xué)習(xí)的意義，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的欲望。

教學(xué)實(shí)錄片段1：

師：（1）兩個(gè)三角形全等的判斷方法是什么？

（2）三角形的正弦定理內(nèi)容 ，主要解決哪幾類問題的三角形？

生：，，，，.

生：兩角一邊，兩邊一對(duì)角。（角角邊;兩邊和對(duì)角）

師：給予及時(shí)的鼓勵(lì)和表揚(yáng)。

點(diǎn)評(píng)：回顧舊知，讓新知識(shí)建立在舊知之上，研究思路、方法一致，運(yùn)用類比思想，遵循認(rèn)知規(guī)律！類比思想才是深度學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)的既不是知識(shí)，也不是技巧、技術(shù)，而是思想。

師：你能判斷下列三角形的形狀嗎？

（3）以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形

以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形

以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

（4）在△ABC中，，，你能求邊長嗎？

生1：第一個(gè)是直角三角形，勾三股四弦五呀，后兩個(gè)我猜可能是銳角三角形和鈍角三角形。

生2：應(yīng)該說第二個(gè)是鈍角三角形，第三個(gè)是鈍角三角形，可以看出來。

師：判斷的依據(jù)和原因是什么呢？

生3：以最大邊為直徑畫圓，如果第三個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)就是鈍角三角形，如果在圓外就是銳角三角形。

師：你的直觀想象能力很強(qiáng)，幾何直觀能力超強(qiáng)，邏輯思維也很好。

生：老師我發(fā)現(xiàn)： ，說明，三邊為3，4，5時(shí)該式為零，從而判斷是直角三角形，越大這個(gè)值就會(huì)大于0，就是銳角三角形，反之是鈍角三角形。

師：你回答的真棒，你的觀察力很強(qiáng)，總結(jié)概況能力很棒。你能從特殊看到一般，還會(huì)用式子表達(dá)出證明，說明你的觀察能力和發(fā)現(xiàn)問題能力很強(qiáng)，你的數(shù)學(xué)素養(yǎng)很高，尤其是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力很強(qiáng)。

生：老師用來判斷是銳角還是鈍角，太容易了。

師：你有著良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提前預(yù)習(xí)了本節(jié)課，已經(jīng)掌握了一把殺牛刀，不少同學(xué)和你用的方法一樣，恭喜你們。這恰恰就是我們今天要講的重點(diǎn)內(nèi)容，你們已經(jīng)初入門徑了。

生：，老師對(duì)不？

師：對(duì)，給你點(diǎn)贊，這就是我們要學(xué)習(xí)的余弦定理，那誰還能發(fā)現(xiàn)類似正余弦定理的關(guān)系呢？

點(diǎn)評(píng)：教師從幾何畫板引入問題，讓學(xué)生對(duì)新的環(huán)境有新的求知欲望，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生積極嘗試在新環(huán)境新情境中發(fā)現(xiàn)問題。數(shù)形結(jié)合思想滲透，幫助學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容，從感性入手，從特殊到一般，從多角度看待問題，用實(shí)踐進(jìn)行檢驗(yàn)認(rèn)知，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。這種觀點(diǎn)下的引導(dǎo)和創(chuàng)設(shè)問題情境，就是一種深度學(xué)習(xí)。問題是開放的，可以動(dòng)手畫圖感知，可以猜想再驗(yàn)證，可以算出等等。余弦定理要解決的兩類問題，“邊邊邊”和“邊角邊”兩類問題，拋出問題之后，組織學(xué)生討論，教師在下面巡視，觀察學(xué)生的求解過程。在學(xué)生積極參與探究活動(dòng)的過程中，學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)到的等量關(guān)系或者不等量關(guān)系如下：， ，，

等，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性、開放性思維，從相關(guān)知識(shí)入手，選擇簡潔的工具。積極嘗試創(chuàng)新型思維培養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)，重要的不是結(jié)果而是過程，實(shí)踐結(jié)果往往令課堂有意外收獲或驚喜，發(fā)現(xiàn)問題往往比解決問題更重要。

生：老師，我知道三角形內(nèi)角和是.

生：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

生：還有面積公式。

師：同學(xué)們回答的都很好，這些都是關(guān)系，數(shù)學(xué)就是研究幾何元素之間等量或不等量關(guān)系的，那我們今天學(xué)習(xí)的《余弦定理》就是一種三角形六個(gè)元素間的一種等量關(guān)系，大家首先感知了余弦定理，下面誰有好的方法去證明一下你的發(fā)現(xiàn)《余弦定理》呢？

點(diǎn)評(píng)：在教師開放性的問題引導(dǎo)下，學(xué)生可能從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論，這就是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的深度學(xué)習(xí)。它兼有了高觀點(diǎn)，同時(shí)情境又貼合學(xué)生實(shí)際，能引發(fā)學(xué)生共鳴，讓學(xué)生自己表達(dá)自己的思想，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)去觀察世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想去思考世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)世界。教師知識(shí)提供創(chuàng)設(shè)的情境，并提供時(shí)間給學(xué)生創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}，這就讓學(xué)生思維的廣度和密度得到了訓(xùn)練。

2.創(chuàng)設(shè)思維活動(dòng)，開展深度學(xué)習(xí)

誰有好的方法去證明一下你的發(fā)現(xiàn)《余弦定理》呢？在這樣的開放性問題提出后，大多數(shù)學(xué)生都有躍躍欲試的狀態(tài)。利用類比思想想象，嘗試?yán)斫庑轮??！爸庇^想象”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，解決“為什么”問題，目的是使學(xué)生充分發(fā)揮想象，通過類比、聯(lián)系的方式探索新知，進(jìn)一步步理解新知。這一環(huán)節(jié)主要采用小組合作探究的方式進(jìn)行教學(xué)，教師通過提問的方式進(jìn)行引導(dǎo)。

教學(xué)實(shí)錄片段2：

師：誰有好的方法去證明一下你的發(fā)現(xiàn)《余弦定理》呢？

點(diǎn)評(píng)：向量法、幾何法、解析法等方法不限，學(xué)生思維空間很大，學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的舞臺(tái)就很大。為了比較各組成果優(yōu)劣，鼓勵(lì)各組可以用不同的方法板書展示，分組開展探究活動(dòng)，教師在下面巡視和學(xué)生討論時(shí)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)、提示。

一組：向量法。

二組：幾何法。

三組：坐標(biāo)法。

以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，.

師：這三種是比較有代表性的解法，還有其它方法有興趣的同學(xué)課下可以接著研究，下面誰能有合適的語言表達(dá)出余弦定理呢？并說明能解決哪類問題。

用文字語言表示是：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，可以解決兩邊和夾角的問題。

生：還可以變式為：解決三邊求角的問題。

點(diǎn)評(píng)：同學(xué)間的講解、提示、補(bǔ)充，既有傾聽思考，又有理解表達(dá)，幫助學(xué)生從主觀想象走向客觀知識(shí)，促使學(xué)生獲得新知，豐富自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這些正是體現(xiàn)了新課標(biāo)讓學(xué)生達(dá)到“三會(huì)”目標(biāo)。找到適合自己知識(shí)結(jié)構(gòu)的解法，課堂頓時(shí)變得十分熱鬧，經(jīng)過激烈的討論，學(xué)生最終達(dá)到以下共識(shí)：思想決定思路。思維的層次、廣度和密度得以體現(xiàn)。

突破本題的關(guān)鍵在于借助轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想對(duì)邊角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為達(dá)成共識(shí)需要注意具體轉(zhuǎn)化的策略，學(xué)生主要有三種代表性的建議。一是向量法，將第三邊c利用向量差的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為另兩邊的關(guān)系;二是幾何法，利用勾股定理，將斜邊轉(zhuǎn)化為直角邊;三是坐標(biāo)法，將三角問題轉(zhuǎn)化成圖象，借助于坐標(biāo)化求距離。

3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知

教學(xué)的第三個(gè)環(huán)節(jié)，屬于“怎么辦”問題，應(yīng)用掌握新知，目的是讓學(xué)生通過練習(xí)操作，學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)的新知和技能解決問題，將課本知識(shí)轉(zhuǎn)化成個(gè)人技能。經(jīng)過前面環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)余弦定理已經(jīng)有了比較全面的理解，接下來還需要進(jìn)一步對(duì)余弦定理進(jìn)行應(yīng)用和掌握。首先，教師布置如下習(xí)題：

例1 在△ABC中，已知 ，求解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）.

例2 在△ABC中，已知 ，解三角形（角度精確到1′）.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問題，例題1解決了課堂引入時(shí)提出的問題（4），用筆算解題，例題2加強(qiáng)計(jì)算器的運(yùn)算訓(xùn)練，同時(shí)，鞏固好余弦定理相關(guān)知識(shí)，體會(huì)所學(xué)知識(shí)和方法在解三角形中的簡單應(yīng)用。

例3 已知△ABC中 求c邊長。

點(diǎn)評(píng)：①本題可用正弦定理分析引導(dǎo);②也可應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于c的方程求解。③比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題也可以用余弦定理解決，具有優(yōu)越性。繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是設(shè)元的方程思想求解問題，并讓學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)“邊邊角”問題解法，為下面學(xué)習(xí)做輔墊?；跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)，重要的是學(xué)生學(xué)會(huì)思考、善于思考，讓學(xué)生獨(dú)立解答;接著，有針對(duì)性地請兩名學(xué)生展示解題過程，這兩名學(xué)生分別利用正弦定理和余弦定理來解答;通過比較兩種不同的解法，讓學(xué)生領(lǐng)悟運(yùn)用余弦定理解題的優(yōu)越性，同時(shí)也能感受到兩個(gè)定理在解三角形問題中的利與弊。學(xué)生思維得到碰撞，嘗試批判性思維。

4.課堂練習(xí)檢測，延伸擴(kuò)展新知

課堂檢測是教學(xué)的第四個(gè)環(huán)節(jié)，由教師提供具有典型性問題對(duì)學(xué)生進(jìn)行檢測和反饋，讓學(xué)生靈活運(yùn)用已有的知識(shí)和技能進(jìn)行思考與運(yùn)用，從而延伸和拓展所學(xué)的知識(shí)，掌握知識(shí)的本質(zhì)。

檢測1 銳角△ABC中則取值為（ ）

檢測2 在△ABC中若有，你能判斷這個(gè)三角形的形狀嗎？若 呢？

點(diǎn)評(píng)：第1題符合多想少算的理念，第2題進(jìn)行變式訓(xùn)練。用檢測去鞏固所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生逐步形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力。根據(jù)分層教學(xué)的需要，可適度調(diào)整此練習(xí)檢測或留作課下作業(yè)或課堂測試。

5.歸納總結(jié)反思，交流分享成果

“歸納總結(jié)反思”是教學(xué)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，目的是讓學(xué)生充分展示自己的收獲與反思，在分享和交流過程中達(dá)到融會(huì)貫通。在這一環(huán)節(jié)中，教師要營造活躍的交流和分享氛圍，讓小組派代表或?qū)W生個(gè)人展示和分享自己的收獲，其他學(xué)生可進(jìn)行補(bǔ)充

和點(diǎn)評(píng)，教師充當(dāng)鼓勵(lì)者和評(píng)價(jià)者，對(duì)學(xué)生的交流和分享進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和補(bǔ)充，并以知識(shí)結(jié)構(gòu)圖和思維導(dǎo)圖等形式呈現(xiàn)出來的為目的。將學(xué)習(xí)風(fēng)格與教學(xué)設(shè)計(jì)有機(jī)結(jié)合，充分關(guān)注和尊重學(xué)生的個(gè)體差異。基于核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)模式的教學(xué)設(shè)計(jì)具有目標(biāo)明確、步驟具體、思路清晰、循序漸進(jìn)的特點(diǎn)。在教學(xué)過程中，師生角色分明，任務(wù)清晰，活動(dòng)有序。

通過知識(shí)回顧，使學(xué)生各自體會(huì)收獲，養(yǎng)成學(xué)生每日反省自身的良好習(xí)慣，讓學(xué)生因每天能得到進(jìn)步而自信。在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中抓住前后知識(shí)的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，使學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些實(shí)際問題。學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)不夠完善。因此本課運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行示范引導(dǎo)，將舊知識(shí)與新知識(shí)進(jìn)行重組擬合及提高，幫助學(xué)生建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。將基于核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)模式應(yīng)用于實(shí)際課堂，能有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和感悟新知的能動(dòng)性，是一種值得不斷改進(jìn)和優(yōu)化的教學(xué)模式。

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