立意于“基本經(jīng)驗(yàn)”的“相似三角形判定定理3”課例及分析

田海霞

摘 要：幫助學(xué)生積累基本經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。但在以“相似三角形判定定理3”為載體的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，教師設(shè)計(jì)與組織的數(shù)學(xué)活動(dòng)普遍不能滿足學(xué)生積累基本經(jīng)驗(yàn)的需要。鑒于此，本文在重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，針對(duì)課程授課活動(dòng)展開重建，在經(jīng)過(guò)改善以后的教育成果被眾多教師所認(rèn)同。

關(guān)鍵詞：基本經(jīng)驗(yàn);相似三角形判定定理;教學(xué)方法;案例分析

一、背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)”。但在以浙教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第四章第4節(jié)“相似三角形的判定定理3”為載體的“多人同課異構(gòu)”式的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，教師設(shè)計(jì)與組織的數(shù)學(xué)活動(dòng)普遍不能滿足學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的需要。網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似現(xiàn)象。鑒于此，本研究在重復(fù)式觀課以及反思的前提下，針對(duì)課程授課活動(dòng)展開重建，在經(jīng)過(guò)改善以后的教育成果被眾多教師所認(rèn)同。

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷回顧并提出問(wèn)題的過(guò)程——明確研究問(wèn)題

師：我們知道，有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定相似;有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;兩邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形不一定相似;兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似（已知角不是夾角的不一定相似）。三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似嗎？本節(jié)課就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：探索三角形相似的條件——生成相似三角形判定定理3

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家依次完成下列任務(wù)。

（1）在白紙上畫一個(gè)△ABC。

（2）作一個(gè)△A'B'C'，使.

（3）議一議：△ABC與△A'B'C'是不是相似三角形。

（待學(xué)生完成任務(wù)）

師：△ABC與△A'B'C'相似嗎？

生1：好像相似。但說(shuō)不出它們對(duì)應(yīng)角相等的理由。

師：其他同學(xué)探索結(jié)果如何？

眾生：好像相似，但需要證明。

師：好的。我們雖然不能完全肯定，但可以提出這樣的猜想：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。證明該猜想是準(zhǔn)確的，需要學(xué)生按照順序完成下面的任務(wù)活動(dòng)。

（1）在所畫的圖形上標(biāo)注已知條件。

（2）結(jié)合圖形寫出已知與求證。

（待學(xué)生完成任務(wù)）

師：如圖1，要證△ABC∽△A'B'C'，只要證什么？

生2：只要證△ABC與△A'B'C'的其中一對(duì)內(nèi)角相等。

師：有道理。能證它們的其中一對(duì)內(nèi)角相等嗎？好像“已知與求證”難以溝通。

生3：如圖1，像證相似三角形判定定理1和判定定理2一樣，在△A'B'C'中構(gòu)造△A'DE，使△A'DE≌△ABC，只要證△A'DE∽△A'B'C'.

師：有道理。怎樣構(gòu)造△A'DE，使△A'DE∽△A'B'C'且△A'DE≌△ABC？

生4：如圖1，在△A'B'C'的A'B'邊上截取A'D=AB，過(guò)點(diǎn)D作DE∥B'C'，交A'C'于點(diǎn)E，則△A'DE∽△A'B'C'（預(yù)備定理）。

師：好的。要證△A'DE≌△ABC，只要證什么？

生5：因?yàn)锳'D=AB（作圖），只要證A'E=AC， DE=BC.

師：好的。怎樣證A'E =AC，DE=BC？

眾生：困惑、期待。

師：因?yàn)椤鰽'DE∽△A'B'C'，所以，

又因?yàn)锳'D=AB，所以，

因?yàn)椋ㄒ阎?，所以?/p>

所以A'E=AC.同理DE=BC.

這樣△A'DE∽△A'B'C'且△A'DE≌△ABC，

所以△ABC∽△A'B'C'.

師：請(qǐng)大家把證明過(guò)程完整地寫出來(lái)，若有困難，可參考課本的寫法。

（待學(xué)生完成任務(wù)）

師：證明這個(gè)判定定理的基本思路是什么？

生6：根據(jù)相似三角形的傳遞性，通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)證明。

生7：通過(guò)構(gòu)造全等三角形把分散的條件集中起來(lái)。

師：有道理。我們根據(jù)相似三角形傳遞性，用構(gòu)造全等三角形的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)化歸（把分散的兩個(gè)三角形轉(zhuǎn)化為預(yù)備定理的幾何模型，從而使分散的條件相互溝通）。這種化歸思想以后會(huì)經(jīng)常用到。

師：證A'E=AC的基本思路是什么？

生8：用兩組比例線段來(lái)傳遞邊的相等關(guān)系。

師：非常好！這種用等量傳遞的方法來(lái)證線段相等以后也會(huì)經(jīng)常用到。

環(huán)節(jié)3：參與嘗試定理應(yīng)用的活動(dòng)——合作解決有代表性的問(wèn)題

師：現(xiàn)在判斷兩個(gè)三角形相似有哪些方法？

生9：相似三角形的定義、預(yù)備定理、判定定理1、判定定理2和判定定理3.

師：不錯(cuò)。下面我們一起來(lái)解決下列問(wèn)題1.

問(wèn)題1：如圖2，4×4方格中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？

師（稍停頓后）：要判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似，找邊的關(guān)系容易，還是找角的關(guān)系容易？

生10：找邊的關(guān)系容易。因?yàn)閳D中三角形每條邊的長(zhǎng)度可以算出來(lái)的。

師：有道理。若設(shè)每一個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)是多少？

生11：

師：好的。AB、BC、CA的對(duì)應(yīng)邊分別是什么？它們是否對(duì)應(yīng)成比例？

生12：AB、BC、CA的對(duì)應(yīng)邊分別是EF、FD、DE.因?yàn)?，所以它們?duì)應(yīng)成比例。

師：好的。請(qǐng)大家把解題過(guò)程完整地寫出來(lái)。

（待學(xué)生完成任務(wù)）

師：下面我們?cè)僖黄饋?lái)解決下列問(wèn)題2.

問(wèn)題2：已知：如圖3，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，A'，B'，C'分別是OA，OB，OC上的點(diǎn)，且.求證：△A'B'C'∽△ABC.

師：根據(jù)已知條件，在圖中你能發(fā)現(xiàn)哪幾對(duì)相似三角形？

生13：根據(jù)已知條件可推出：△OA'B'∽

△OAB，△OB'C'∽△OBC，△OC'A'∽△OCA.

師：不錯(cuò)。由此，可推出哪些成比例的關(guān)系式？

生14：.

師：好的。這樣△A'B'C'∽△ABC嗎？為什么？

生15：因?yàn)椋?/p>

所以△A'B'C'∽△ABC.

師：好的。請(qǐng)大家把證明過(guò)程完整地寫出來(lái)。若有困難，請(qǐng)參考課本的寫法。

（待學(xué)生完成任務(wù)）

師：解決這個(gè)問(wèn)題的基本思路是什么？

生16：用等量傳遞來(lái)尋找所需要的成比例線段。

師：不錯(cuò)。等量傳遞的解題經(jīng)驗(yàn)以后會(huì)經(jīng)常用到。如圖4，若將圖3中的點(diǎn)O移到BC上，且，則△A'B'C'∽△ABC嗎？為什么？

生17：△A'B'C'∽△ABC.

因?yàn)?，∠B'OA'=∠BOA，

所以△B'OA'∽△BOA，所以∠A'B'O=∠B.

同理可得，∠A'C'O=∠C，所以△A'B'C'∽△ABC。

生18：因?yàn)椤鰾'OA'∽△BOA，

所以，∠B'A'O=∠BAO.

同理可得，，∠C'A'O=∠CAO，

所以，∠B'A'C'=∠BAC，

所以△A'B'C'∽△ABC.

師：好的。下面請(qǐng)大家完成課本中的練習(xí)題。

（待學(xué)生完成任務(wù)后教師組織學(xué)生交互反饋與評(píng)價(jià)）。

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

師：本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

生19：本節(jié)課研究了相似三角形判定定理3及其應(yīng)用。

師：好的。我們是怎樣研究的？

生20：先探索并證明判定定理3，再用判定定理3解決幾何問(wèn)題。

師：不錯(cuò)。大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中還有哪些收獲或體會(huì)？

生21：當(dāng)直接證兩個(gè)三角形相似有困難時(shí)，可考慮用相似三角形的傳遞性。

生22：等量傳遞是溝通已知與未知的橋梁。

生23：等量傳遞也是證線段相等或角相等的方法。

師：好！等量傳遞是解題的基本經(jīng)驗(yàn)，在后繼學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到。

三、教學(xué)分析

張奠宙教授覺(jué)得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要指的是“在數(shù)學(xué)目標(biāo)的不斷引導(dǎo)之下，針對(duì)實(shí)際事物展開思考以及操作，實(shí)現(xiàn)感性向理性的轉(zhuǎn)變，進(jìn)而形成新型認(rèn)知”?；诖朔治霰砻鳎逃虒W(xué)經(jīng)驗(yàn)主要是在思考以及做當(dāng)中經(jīng)過(guò)沉淀得到的。所以教師需要依照具體的教育內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且組織多種活動(dòng)的順利展開，讓學(xué)生可以掌握更多的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。相似三角形判定定理3也是判定兩個(gè)三角形相似的重要工具;證明相似三角形判定定理3的基本思路對(duì)后繼學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用。探索與證明判定定理3的過(guò)程和所蘊(yùn)含的歸納思想、類比思想、構(gòu)造思想、演繹思想等，定理的應(yīng)用過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想及等量傳遞的經(jīng)驗(yàn)等，這些對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力、能力和個(gè)性有積極的影響。盡管判定定理3及其證明方法“課標(biāo)要求”是“了解”，但定理的探索與證明的過(guò)程有能力發(fā)展點(diǎn)，特別是通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)化歸的思想方法和等量傳遞的解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)后繼學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用。目前在該課的教學(xué)中，大多數(shù)教師沒(méi)有經(jīng)歷分類探索的過(guò)程;有些教師缺乏探索定理的過(guò)程;某些教師會(huì)對(duì)定理以前的具體分析過(guò)程進(jìn)行證明;在判定定理以后缺少相應(yīng)的反思活動(dòng);大多數(shù)教師在認(rèn)知過(guò)程中沒(méi)有留給學(xué)生足夠的自主思考與實(shí)踐的時(shí)間和合作交流的機(jī)會(huì)。這不能滿足學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的需要。

本課例在“精致化”分析基礎(chǔ)上，把具體的教育活動(dòng)立足在數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)方面，由學(xué)生掌握的知識(shí)點(diǎn)與技能著手分析，并且讓他們處理與解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究分析的時(shí)候，讓他們積累更多的經(jīng)驗(yàn)。將課本內(nèi)容當(dāng)做是關(guān)鍵，經(jīng)過(guò)教師價(jià)值方面的指引，和學(xué)生的實(shí)際情況有效整合起來(lái)，提升他們的認(rèn)知水平與能力。在現(xiàn)階段的“回顧并提出問(wèn)題”實(shí)際授課的時(shí)候，一方面需要對(duì)三角形判定有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行回顧，另一方面也提出有關(guān)問(wèn)題，采取合理的措施和方式方法，實(shí)現(xiàn)新知識(shí)和舊知識(shí)之間的良好關(guān)聯(lián)，激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)激情以及欲望。在“探索并證明判定定理3”實(shí)際授課的時(shí)候，不只是憑借現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)參與到“畫圖猜想→分析證明→多樣表達(dá)”的過(guò)程，以獲得判定定理3及發(fā)展探索與證明的能力，并且做好判定定理反思，以積淀用構(gòu)造全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)化歸和用兩組比例線段來(lái)傳遞邊的相等關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在“解決問(wèn)題1”的教學(xué)中，一方面需要做好判斷以前的分析，另一方面也要做好判斷以后的說(shuō)理，對(duì)判定定理3進(jìn)行鞏固，提升學(xué)生的計(jì)算能力與水平。在“解決問(wèn)題2”的教學(xué)中，既有證明之前的觀察，以發(fā)展學(xué)生的觀察能力，又有解決問(wèn)題2之后的反思與變式，以積淀等量傳遞的經(jīng)驗(yàn)和加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。在“回顧與思考”的教學(xué)中，既有回顧研究?jī)?nèi)容，又有回顧研究方法，還有學(xué)生談收獲或體會(huì)，以再認(rèn)本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容與研究方法及所蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

大部分教師都覺(jué)得，該課程和定理教學(xué)要求相符合，將學(xué)生放在課堂的中心位置上，實(shí)現(xiàn)了過(guò)程和結(jié)果之間的良好統(tǒng)籌，能實(shí)現(xiàn)“能陳述并會(huì)用圖形和符號(hào)表示相似三角形判定定理3，能感悟證明

定理的思想方法及積淀用兩組比例線段來(lái)傳遞邊的相等關(guān)系的經(jīng)驗(yàn);會(huì)用相似三角形判定定理與性質(zhì)解決有關(guān)幾何問(wèn)題”的教學(xué)目標(biāo)。因此，一般地，定理教學(xué)要經(jīng)歷“提出問(wèn)題（從具體問(wèn)題或特殊問(wèn)題出發(fā)）→操作觀察（通過(guò)畫圖、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算等，觀察事物間的關(guān)系）→歸納猜想（由特殊猜想一般——?dú)w納，由此及彼或觸類旁通——類比）→驗(yàn)證或證明（簡(jiǎn)單說(shuō)理，舉反例，演繹證明）→多樣表達(dá)（口頭、數(shù)學(xué)文字、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)）→解決問(wèn)題（解決數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部問(wèn)題）→反思內(nèi)化（感悟研究過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及積淀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）”的過(guò)程，保障數(shù)學(xué)活動(dòng)的順利展開，讓學(xué)生擁有足夠的自主探究機(jī)會(huì)，讓他們參與到合作溝通活動(dòng)當(dāng)中，將教師在具體課堂活動(dòng)當(dāng)中的主導(dǎo)性作用充分發(fā)揮出來(lái)。教師也需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)，讓他們主動(dòng)投入到課堂活動(dòng)當(dāng)中，增強(qiáng)他們對(duì)定理方面的認(rèn)知，保障其“深度”以及“寬度”，讓學(xué)生可以提出某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且參與到獨(dú)立思考以及探究當(dāng)中，提升他們的質(zhì)疑水平與表達(dá)能力。

根據(jù)具體的授課活動(dòng)分析，在當(dāng)前的定理教育教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，教師應(yīng)保障技能、知識(shí)與態(tài)度之間的統(tǒng)一。要求教師提升定理思維的主動(dòng)性，不斷指引學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維與邏輯思維。將“最近發(fā)展區(qū)”相關(guān)的題材內(nèi)容當(dāng)做是重要的載體，由學(xué)生掌握的知識(shí)點(diǎn)以及實(shí)際經(jīng)驗(yàn)著手，經(jīng)過(guò)教師的價(jià)值指引，和學(xué)生學(xué)習(xí)之間有效整合起來(lái)，讓他們掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與技能，這對(duì)他們的可持續(xù)發(fā)展而言十分重要。例如，在課程實(shí)際授課的時(shí)候，教師需要保障自身設(shè)置問(wèn)題的定向指導(dǎo)性，需要將適度開放的原則落實(shí)在實(shí)處。

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