試論以靜制動(dòng)

徐乾平

摘要：動(dòng)點(diǎn)問題指的是坐標(biāo)系或平面幾何圖形中的一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行變化的問題，一般是應(yīng)用題的最后一問，屬于比較難的題目，而近年來(lái)動(dòng)點(diǎn)問題有越來(lái)越基礎(chǔ)化的趨勢(shì)，開始出現(xiàn)在填空題和選擇題中，所以教師在動(dòng)點(diǎn)問題教學(xué)中一定要格外重視，讓每一名學(xué)生了解解題原理，明確解題思路，用“以靜制動(dòng)”的思路來(lái)解決此類問題。本文從三種題型角度進(jìn)行舉例和闡述，以求各位教師能夠更加高效地進(jìn)行教學(xué)，望給予教師參考。

關(guān)鍵詞：以靜制動(dòng);初中數(shù)學(xué);動(dòng)點(diǎn)問題;舉例

引言：“以靜制動(dòng)”指的是以理論知識(shí)為基礎(chǔ)，舉一些實(shí)際的、簡(jiǎn)單易懂的例子，讓學(xué)生初步理解定義，然后教師再將題目代入，以便學(xué)生能夠更好地理解。在動(dòng)點(diǎn)問題教學(xué)過程中，我們教師要抓住題目思路的基本點(diǎn)，即點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中達(dá)到的特殊位置，從而讓學(xué)生能夠順利展開空間想象能力，進(jìn)而有思考和分析的過程，有了關(guān)鍵的解題點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)問題將迎刃而解。

一、動(dòng)點(diǎn)問題的題型和解題注意事項(xiàng)

動(dòng)點(diǎn)問題的歸根到底是幾何問題，學(xué)生必須要理解幾何圖形的基本性質(zhì)，并且能夠很好地運(yùn)用起來(lái)，才能進(jìn)行進(jìn)一步的探討[1]。動(dòng)點(diǎn)問題涉及的圖形一般是四邊形和三角形，常見的運(yùn)用到題目中的圖形有平行四邊形、菱形、矩形、正方形。動(dòng)點(diǎn)問題的解題要注意以下幾點(diǎn)：①設(shè)出未知數(shù)，動(dòng)點(diǎn)問題可能求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，也有可能求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度，學(xué)生要根據(jù)未知量設(shè)置相應(yīng)的未知數(shù)，以便進(jìn)行接下來(lái)的計(jì)算;②找等量關(guān)系，等量關(guān)系一般指的是邊長(zhǎng)相同、速度×?xí)r間=距離、中點(diǎn)平分線段等，在解題過程中學(xué)生要善于挖掘這些信息，多運(yùn)用方程解決問題;③分類討論，因?yàn)橐恍╊}目不會(huì)直接說出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，所以需要分類討論點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，很多學(xué)生會(huì)掉進(jìn)題目的陷阱，只考慮了一種運(yùn)動(dòng)情況，教師在教學(xué)過程中要格外注意[2]。

二、動(dòng)點(diǎn)問題的舉例和分析

1. 平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題

【例】四邊形ABCD是菱形，P是邊AD上的點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒，Q是邊BC上的點(diǎn)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC運(yùn)動(dòng)，速度是2厘米/秒，BC的長(zhǎng)度是5厘米.

（1）已知∠B是60°，連接PQ，設(shè)點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)G時(shí)，求證：△DGP≌△BGQ;

（2）設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t，當(dāng)四邊形ACFE是平行四邊形時(shí)，求出t的值.

【分析】第（1）問是比較基礎(chǔ)的平行和全等三角形問題，根據(jù)BG=DG、AD∥BC、∠DPG=∠BQG，運(yùn)用“角角邊”定則就可以得出兩個(gè)三角形是全等三角形。第（2）問就涉及到上文提到的分類討論，因?yàn)镼的運(yùn)動(dòng)方向沒有明確給出，所以Q可能在C的左側(cè)，也有可能在C的右側(cè)，當(dāng)圖形是平行四邊形時(shí)，AP=CQ，根據(jù)這個(gè)等式列方程，最后求出答案。解第（2）問時(shí)運(yùn)用了平行四邊形的對(duì)邊相等的特征。

2. 菱形的動(dòng)點(diǎn)問題

【例】如圖，在等邊△ABC中，∠B是直角，∠A=60°，邊CA長(zhǎng)60厘米，點(diǎn)M是邊CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以6厘米/秒的速度勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以3厘米/秒的速度勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)若有其中任意一個(gè)點(diǎn)停下，那么另一個(gè)點(diǎn)也立即終止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)M作MQ⊥BC于點(diǎn)Q，連接MP，PQ.

（1）設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t，并且t小于等于10秒，求出t的值，使四邊形AMQP成為菱形;

（2）求出t的值，使△MPQ為直角三角形.

【分析】第（1）問涉及到平行四邊形的證明、菱形的特征，若四邊形APQD是菱形，那么AP=AM，可以列出方程60-6t=3t，解方程回答問題。第（2）問涉及到分類討論，三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一個(gè)位置時(shí)，△MPQ是特殊的直角三角形，三個(gè)頂點(diǎn)都有可能是直角點(diǎn)，需要分類說明，這道題考查了直角三角形的性質(zhì)，用方程可以得出最后的結(jié)果。

3. 矩形的動(dòng)點(diǎn)問題

【例】如圖，在矩形ABCD中，AB= 2cm BC= 4cm點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A即停止;同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P，Q的速度都是1cm/s，連接PQ、AQ、CP.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形;

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQCP是菱形.

【分析】這道題涉及到矩形和菱形的特征，即矩形的對(duì)邊相等，菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直，所以第（1）問可得方程t=4-t，解方程回答問題，第（2）問可根據(jù)勾股定理，列方程√22+t2=4-t，解方程回答問題。

結(jié)束語(yǔ)：雖然動(dòng)點(diǎn)問題有一個(gè)固定的思考方向，但是具體的解題思路還是各有不同，所以教師要督促學(xué)生們將新的動(dòng)點(diǎn)問題題型記錄下來(lái)，經(jīng)常拿出來(lái)練習(xí)，這樣才能用靈活的思路面對(duì)有可能出現(xiàn)的各種題型。我們教師教給學(xué)生對(duì)不是題目的答案，而是數(shù)學(xué)的思維方式，只有培養(yǎng)出學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，才能提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，讓他們用更加完善的思維面對(duì)今后的學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1].何華萍. 畫圖 轉(zhuǎn)化 討論——例談初中數(shù)學(xué)"動(dòng)點(diǎn)問題"的解題指導(dǎo)策略[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（5）：87-88.

[2].系艷清. 探索一類動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的解決方法[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2020（3）：15-18.

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