淺析數(shù)形結(jié)合思想在解二次函數(shù)有關(guān)題型時(shí)的有效策略

汪波

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間幾何的一門學(xué)科，能更好地幫助人類解決生活問題，提升學(xué)生邏輯思維能力，訓(xùn)練學(xué)生分析問題和解決問題的有效策略 ，增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)世界和了解世界奧秘的信心，從而樹立學(xué)好文化科學(xué)知識(shí)的自信。故此，數(shù)學(xué)作用毋庸置疑，其效果是巨大的，當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂是傳承文化、貫徹教育理念的重要場(chǎng)所，提升課堂效率，讓師者教出智慧、生者學(xué)出樂趣來(lái)，便成了課堂高效的重要目標(biāo)。筆者認(rèn)為：轉(zhuǎn)化二次函數(shù)的解題難度，讓抽象的數(shù)學(xué)更具體形象、更直觀，數(shù)形結(jié)合思想便是學(xué)生正確理解二次函數(shù)相關(guān)問題的有效途徑，能更有效地化解課堂思維的瓶頸，讓課堂的有效性及高效性得以體現(xiàn)，讓數(shù)學(xué)課更有趣味性、更有數(shù)學(xué)味。

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形，少直觀;形缺數(shù)，難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！辈浑y看出數(shù)形結(jié)合思維方式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要手段，更是數(shù)學(xué)學(xué)科本身所俱有的特征，當(dāng)然更是化解數(shù)學(xué)難度的重要途徑。九年級(jí)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的求解大多存在求解的困惑，特別是代數(shù)綜合題及幾何綜合題 。針對(duì)學(xué)生求解的困惑點(diǎn)，教師的引領(lǐng)智慧可從數(shù)形結(jié)合思想入手，讓二次函數(shù)的綜合題 的求解能從直觀的形中找到求解方案，使數(shù)學(xué)教學(xué)能俱有數(shù)學(xué)本身學(xué)科的智慧來(lái)。

本人通過課堂的反饋發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)類型的知識(shí)時(shí)，主要有如下認(rèn)識(shí)瓶頸：

1、形數(shù)轉(zhuǎn)化橋梁無(wú)法構(gòu)建，從而使知識(shí)間的聯(lián)系無(wú)法形成，函數(shù)知識(shí)呈碎片化，各種性質(zhì)的割裂讓解決方案無(wú)法形成。

2、二次函數(shù)的性質(zhì)理解不夠透徹，相關(guān)特征沒有形成形數(shù)結(jié)合的認(rèn)知體系，從而使極值求解知數(shù)忘形，讓極值的求解方案過于片面或無(wú)法找到正確的方向。

3、存在性的模型中的“形”能力欠缺，要么只有形而無(wú)數(shù)，要么只有數(shù)而無(wú)形，特別在方程思想形成中缺乏建模意識(shí)，導(dǎo)制求解結(jié)果不全或根本無(wú)法求解。

4、與面積有關(guān)的代數(shù)綜合題及幾何綜合題的求解過程中，學(xué)生的思維呈割裂狀，只現(xiàn)形沒有數(shù)的意識(shí)，知識(shí)只是斷崖式呈現(xiàn)，從而數(shù)學(xué)問題無(wú)法形成解決方案。

5、知函數(shù)圖象，需求二次不等式組的解集的取值問題的求解中，分段意識(shí)不強(qiáng)，學(xué)生大都缺乏整體思考的意識(shí)，只見高山不見平湖，求解范圍不全的情況較多。

6、特殊的二次函數(shù)的極值求解中，學(xué)生的思維混亂，缺少整合形數(shù)的通道，只會(huì)思考形而缺方程思想的意識(shí)，導(dǎo)制在解決問題時(shí)陷入困惑。

總之，二次函數(shù)的相關(guān)問題的求解，綜合類題的難度大的根本原因便在于學(xué)生在整合數(shù)形時(shí)缺乏應(yīng)有的建構(gòu)理念，導(dǎo)制方程思想的建模能力與幾何圖形的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)是割裂式的、碎片化的，因而無(wú)法解決問題。而要解決二次函數(shù)的綜合類題，本人認(rèn)為可從如下幾個(gè)方面進(jìn)行化解：

一、由數(shù)入形，從平面直角坐標(biāo)系入手建模，點(diǎn)亮學(xué)生求知的眼睛。

本人在二次函數(shù)的習(xí)題講解中便大膽整合教材，讓代數(shù)的抽象與幾何直觀能更好地整合，充分激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓更多的學(xué)生主動(dòng)去參與學(xué)習(xí)，利用好圖形，使學(xué)生在形數(shù)轉(zhuǎn)化中有自已的獨(dú)特見解。

如、二次函數(shù)y=|a∣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（m，n）、B（0，y1 ）、C（3-m，n）、D（2，，y2 ），E（2，y3），則y1 ，y2 ， y3的 大小關(guān)系是（ ）。

A、y1

本例在選用中，主要是考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的畫圖方法的認(rèn)識(shí)水平，關(guān)鍵點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)|a∣的理解程度，只有理解了|a∣的代數(shù)意義，才可將數(shù)學(xué)圖形找出來(lái)。而要解決此類問題時(shí)，本人采用了以平面直角坐標(biāo)系為思考的起點(diǎn)，通過學(xué)生在此圖形中合理將五點(diǎn)有序數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，從而通過數(shù)入形的通道，找準(zhǔn)該拋物線的對(duì)稱軸存在的原因和其對(duì)應(yīng)的方程為：x=32的事實(shí)，從而巧用其對(duì)稱性，找出各點(diǎn)存在性的大小，再通過函數(shù)圖象的增減性及到對(duì)稱軸的距離的遠(yuǎn)近確定其大小。在具體求解中教師主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生畫圖能力 ，并及時(shí)利用好計(jì)算距離的遠(yuǎn)近的方法找出問題求解方案。

不難看出，本例中平面直角坐標(biāo)系構(gòu)建成為解決問題的最主要的工具，只有學(xué)生通過分析發(fā)現(xiàn)圖形存在性，方可讓函數(shù)取值的大小變得更簡(jiǎn)單、更直觀、更容易。

又如：已知拋物線y=-x2+mx+2-m，在自變量x的值滿足是-1≤x≤2時(shí)，若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為6，則m的值是多少？

通常在解決函數(shù)值的極值問題中，常規(guī)辦法是：

首先找出自變量的取值范圍，然后由自變量及函數(shù)圖象的增減性入手去分析，具體分為如下三種情況：

1、當(dāng)拋物線對(duì)稱軸在自變量范圍范圍內(nèi)，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)便是其極值。

2、當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸在自變量范圍外時(shí)，若在遞增的圖象范圍內(nèi)時(shí)，則由其增減性來(lái)定。

3、當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸在自變量范圍外時(shí)，若在遞減的圖象范圍內(nèi)時(shí)，其增減性可從圖象中分析得出。

而本例需教師引領(lǐng)學(xué)生通過分析三種可能性，在形成具體的求解結(jié)果中逐步發(fā)現(xiàn)形與數(shù)相結(jié)合的分析更科學(xué)、更合理。特別是學(xué)生在參與構(gòu)圖過程中熱情能更好地提升了對(duì)學(xué)好二次函數(shù)的信心。本人在課堂中采用了分段、分部分討論，形成拋物線的頂點(diǎn)式，由其頂點(diǎn)式入手，找到對(duì)稱軸方程，巧妙構(gòu)建成方程，通過求解方程及相關(guān)的計(jì)算得到本例的求解結(jié)果。

故此，當(dāng)函數(shù)的區(qū)域求值時(shí)，應(yīng)給定較清晰的定義域，然后通過平面直角坐標(biāo)系形成對(duì)應(yīng)的圖象，建立合理的數(shù)學(xué)模型，找到其各自的圖形特征，由圖形的本身所俱有的性質(zhì)形成求解方案。正所謂：形由數(shù)來(lái)驗(yàn)證，數(shù)由形來(lái)定方向。

例①問的求解只需由形入數(shù)，找出點(diǎn)坐標(biāo)，通過三點(diǎn)求解法定出函數(shù)的解析式，這是函數(shù)的基礎(chǔ)題。但②問的面積極值求法，實(shí)際上可由其自變量取值范圍及二次函數(shù)的極值求法定出。在此類例題中，學(xué)生大多數(shù)仍停在面積求解中，缺乏對(duì)自變量取值認(rèn)定，從而使求解失誤。③問中旋轉(zhuǎn)意識(shí)，則需教師引領(lǐng)學(xué)生去巧妙構(gòu)形，以形析數(shù)，形成科學(xué)合理的認(rèn)知模式。線段PA的存在方式的不同性，可由其先構(gòu)

形建模中找到，然后以數(shù)化形，讓P點(diǎn)的兩種存在及其坐標(biāo)的合理構(gòu)建，然后形成方程求解出的答案。

總之，形數(shù)的轉(zhuǎn)化的合理性，會(huì)使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。也更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的智慧，而數(shù)形結(jié)合思想中最核心的便是：以形建模定

直觀、數(shù)式方程巧計(jì)算，這樣才能讓二次函數(shù)的求解更順暢、更科學(xué)、更易得分?；蛟S二次函數(shù)的形數(shù)結(jié)合的思考方式僅是求解方法中一種特例，可這種結(jié)合的完美程度，會(huì)讓枯燥的數(shù)學(xué)課堂在教師的精妙的預(yù)設(shè)中生成科學(xué)的智慧來(lái)，也定能讓當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂生出師生共成長(zhǎng)的樂趣來(lái)。

故此本人希望數(shù)學(xué)教師能更幸福地從教，能從高效課堂中點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，還原數(shù)學(xué)本來(lái)的美好。真誠(chéng)期待數(shù)學(xué)課堂中的公平與和諧，師生互動(dòng)的愉悅點(diǎn)亮學(xué)生求知的雙眼。那就讓數(shù)形結(jié)合思想在課堂中無(wú)縫對(duì)接找到求解二次函數(shù)有關(guān)題型的金鑰匙，期盼一線數(shù)學(xué)教師真正成為學(xué)生一生中的貴人。