也談“數(shù)學(xué)建?！彼枷朐诔踔袛?shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用

楊小榮 鄧萍

摘要：數(shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中也有著非常重要的作用，有利于教師和學(xué)生將知識(shí)歸納總結(jié)，做到化零為整，多題一解的效果。初中階段數(shù)學(xué)建模教學(xué)有它的特殊性，在初中階段，學(xué)生建模能力的形成是基礎(chǔ)知識(shí)基本技能、基本數(shù)學(xué)方法訓(xùn)練的一種綜合效果，建模能力的培養(yǎng)主要是打基礎(chǔ)，但是，過分強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)會(huì)導(dǎo)致基礎(chǔ)與實(shí)際應(yīng)用的分裂。如何把握分寸是一個(gè)值得探討的問題，同時(shí)也是我們教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;初中數(shù)學(xué);能力培養(yǎng);實(shí)際問題

一.數(shù)學(xué)模型定義

數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言和方法對(duì)各種實(shí)際對(duì)象作出抽象或模擬而形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。廣義上的數(shù)學(xué)模型就是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，是對(duì)客觀事物的某些屬性的一個(gè)近似反映。狹義上的數(shù)學(xué)模型就是將具體問題的基本屬性抽象出來成為數(shù)學(xué)機(jī)構(gòu)的一種近似反映。數(shù)學(xué)模型有兩種基本功能：統(tǒng)一功能和普適性功能。

二.數(shù)學(xué)建模思想的基本步驟及意義

數(shù)學(xué)建模的實(shí)質(zhì)就是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)將復(fù)雜無章的實(shí)際問題抽象成符合邏輯的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后將所有的數(shù)學(xué)關(guān)系組建成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的過程。數(shù)學(xué)模型建立的具體流程如下：

（1）合理分析問題。首先要對(duì)所需研究的問題進(jìn)行深入的了解，全面分析問題產(chǎn)生的各方面原因，并且要盡可能多的掌握問題相關(guān)的背景資料。（2）假設(shè)化簡(jiǎn)問題。掌握到問題的研究背景之后就要根據(jù)問題的具體特征以及問題的特定目的來對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，同時(shí)還要用精確的數(shù)學(xué)語言將最終的數(shù)學(xué)模型描述出來，這一過程主要實(shí)現(xiàn)了將復(fù)雜無章的問題抽象成具體的問題。（3）建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是要建立在先前假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)知識(shí)來刻畫變量之間的數(shù)量關(guān)系，從而得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（4）求解驗(yàn)證模型。在求解數(shù)學(xué)模型過程中要將其果與實(shí)際況進(jìn)行對(duì)比，從來驗(yàn)證求解結(jié)果的有效行和準(zhǔn)確性。（5）模型結(jié)果分析。模型結(jié)果住住夠體現(xiàn)出所建立模型的可性。如果模數(shù)

三.數(shù)學(xué)建模的步驟

（1）模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。（2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。（3）模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具）（4）模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)）。（5）模型分析：對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)止的分析。（6）模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，在次重復(fù)建模過程。（7）模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異。數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的基本要求。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容來對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，般情下，教師首先需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)特定的問題情境，然后對(duì)相應(yīng)的問題建立數(shù)學(xué)模型，最后對(duì)可靠模型進(jìn)行解釋、應(yīng)用與拓展，學(xué)生通過對(duì)問題的探討和研究可以實(shí)現(xiàn)真正意義上的“做數(shù)學(xué)”和“用數(shù)學(xué)”的過程，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

應(yīng)用（一）.追擊問題模型在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

【例1】甲在乙的東面10公里，兩人同時(shí)向東而行，甲每小時(shí)走5公里，乙應(yīng)該每小時(shí)走幾公里，經(jīng)過5小時(shí)，才能趕上甲？

【例2】時(shí)鐘上7點(diǎn)多少分時(shí)，時(shí)針與分針重合？

這兩個(gè)問題看似毫不相關(guān)，一個(gè)是代數(shù)問題一個(gè)是幾何問題。但是第二個(gè)例題可以看作7點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針210o，時(shí)針以0.5o/分，分針以6o/分同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求分針追上時(shí)針的時(shí)間就是我們所求時(shí)間。根據(jù)對(duì)追擊問題的等量關(guān)系的建模：追趕者與被追趕者同時(shí)走的路程之差=相距路程，可以建立方程6ot-0.5ot=210o即可求出時(shí)間

應(yīng)用（二）.工程問題模型在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的應(yīng)用。

工程問題主要涉及獨(dú)做與合做問題，這對(duì)學(xué)生是一大難點(diǎn)。

【例1】一項(xiàng)工程，由甲隊(duì)獨(dú)做，比規(guī)定的多3小時(shí)完成，由乙隊(duì)單獨(dú)做，需比規(guī)定日期多12小時(shí)才能完成，現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做8小時(shí)后，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做6小時(shí)，甲再獨(dú)做2小時(shí)剛好完成任務(wù)，求規(guī)定時(shí)間。

此題涉及獨(dú)做與合做組合完成，學(xué)生一時(shí)不容易分清題中關(guān)系，整體感覺混亂。此類工程問題我們可以把我們自己假想成工程老板，最后對(duì)甲、乙進(jìn)行工資結(jié)算?？梢越＃杭淄瓿晒こ塘?乙完成工程量=總共完成工程量。設(shè)規(guī)定時(shí)間是小時(shí)，則甲、乙獨(dú)做分別需要小時(shí)和小時(shí)，所以甲和乙的工作效率分別是，把甲和乙分別叫到自己面前陳述工作過程，甲“我先和乙合做8小時(shí)，離開了幾小時(shí)后再返回做兩小時(shí)”——即時(shí)共做了10小時(shí)，同樣乙共做了8+6=14小時(shí)，所以可以列方程

應(yīng)用（三）.在不等式（組）中的應(yīng)用

在現(xiàn)實(shí)世界中，正如相等關(guān)系一樣不等關(guān)系也是普遍存在的，如在市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)、生產(chǎn)決策和社會(huì)生活中的估計(jì)生產(chǎn)數(shù)量、核定價(jià)格范圍、盈虧平衡分析、投資決策等許多問題中，很難確定（有時(shí)也不需要）具體的數(shù)值，則可挖掘?qū)嶋H問題所隱含的數(shù)量關(guān)系，建立不等式（組）模型，進(jìn)而解決實(shí)際問題。

【例1】某市籌備國(guó)慶，園林部門決定利用現(xiàn)有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A，B兩種園藝造型共50個(gè)擺放在迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個(gè)A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個(gè)B種造型需甲種花50盆，乙種花卉90盆。某校九年級(jí)（1）班課外小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì)，問符合題意的搭配方案有幾種請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來

【解析】設(shè)搭配A種造型x個(gè)，則B種造型為（50-x）個(gè)，依題意，得

四、用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題可以達(dá)到以下目的

1.用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題便與理論聯(lián)系實(shí)際。數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往忽視運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的所謂“掐頭去尾燒中斷”的教學(xué)方法，使得中學(xué)數(shù)學(xué)脫離現(xiàn)實(shí)生活。因此，解題中要注意引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系日常生活，把日常生活中的一些實(shí)際問題用數(shù)學(xué)來解決。要重視從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題，從而解決實(shí)際問題這個(gè)全過程。通過數(shù)學(xué)模型方法解題，可以把數(shù)學(xué)與實(shí)際問題溝通起來，互相滲透，互相轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)更生地扎根于實(shí)際。

2.用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。不少學(xué)生感到數(shù)學(xué)枯燥無味，所以要數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中充滿樂趣。數(shù)學(xué)模型是從實(shí)際提煉出來，而后又用之解決問題，可激發(fā)學(xué)生極大的興趣：學(xué)會(huì)了主動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)了去素取自己所要學(xué)的知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興更高了，更自覺了。

3.用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維。在高分下令人慮的是，中學(xué)生應(yīng)用意識(shí)薄弱，動(dòng)手能力差，雖善于解題，但創(chuàng)造能力差，而運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解題能起到改善作用。數(shù)學(xué)模型具有激、求異、探究的特點(diǎn)，使學(xué)生思維處于活躍狀態(tài)，多角度、多層次的觀察、認(rèn)識(shí)、思考問題，使學(xué)生充分發(fā)揮自己的想象力和主觀能動(dòng)性。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有意識(shí)地介紹有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景及應(yīng)用實(shí)例是非常必要的它將有助于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用特征的理解。

指導(dǎo)教師：陳倫全

參考文獻(xiàn)：

[1]高軍明《數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》

[2]劉瑩《數(shù)學(xué)建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用》。

（成都市中和中學(xué)?610041）