“神秘”賦值的玄機(jī)

黃光鑫

摘 要：本文探討一類用導(dǎo)數(shù)方法討論函數(shù)零點(diǎn)問題中，如何賦值的問題.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);函數(shù)零點(diǎn);賦值

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0042-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：黃光鑫（1966-），男，學(xué)士，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)不講極限的內(nèi)容，使得一類用導(dǎo)數(shù)方法討論函數(shù)零點(diǎn)的題目經(jīng)常采用賦值的方法說明函數(shù)值的正負(fù)，進(jìn)而說明函數(shù)圖象的走勢(shì)，討論函數(shù)零點(diǎn)的問題.有些賦值比較容易想到，有些賦值在學(xué)生看來簡(jiǎn)直是神來之筆，從天而降，無法想象！市面上不少參考書也是照搬照抄，不動(dòng)腦筋！在各種不同的參考書上對(duì)同一個(gè)題目都是千篇一律的賦值方式！學(xué)生當(dāng)然會(huì)問這背后的玄機(jī)在哪里？能不能想出另外的賦值方式？本文將和大家一起探討這些“神秘”賦值的玄機(jī)，請(qǐng)不吝賜教.

例1 （2016·全國Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求a的取值范圍;

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

解 （1）f ′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.①設(shè)a=0，則f （x）=（x-2）ex，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

②設(shè)a>0，則當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f ′（x）<0;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f ′（x）>0.所以f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

又f（1）=-e，f（2）=a，取b滿足b<0且ba2（b-2）+a（b-1）2=a（b2-32b）>0，故f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 神秘賦值“取b滿足b<0且ba[t（b-2）+（b-1）2]=a[b2+（t-2）b+1-2t].若需要b∈（-∞，0）時(shí)h（b）=b2+（t-2）b+1-2t>0，則對(duì)稱軸b=2-t2>0，

h（0）=1-2t>0t<12即可，這就要求eb &nbsp; ? ③設(shè)a<0，由f ′（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.

若a≥-e2，則ln（-2a）≤1，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f ′（x）>0，因此f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）<0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn).

若a<-e2，則ln（-2a）>1，故當(dāng)x∈（1，ln（-2a））時(shí)，f ′（x）<0;當(dāng)x∈（ln（-2a），+∞）時(shí)f ′（x）>0.因此f （x）在（1，ln（-2a））單調(diào)遞減，在（ln（-2a），+∞）單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）<0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，a的取值范圍為（0，+∞）.

（2）不妨設(shè)x1f（2-x2），即f（2-x2）<0.

由于f（2-x2）=-x2e2-x2+a（x2-1）2，而f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0，所以f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2.

設(shè)g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，則g′（x）=（x-1）（e2-x-ex）.

所以當(dāng)x>1時(shí)，g′（x）<0，而g（1）=0，故當(dāng)x>1時(shí)，g（x）<0.

從而g（x2）=f（2-x2）<0，故x1+x2<2.

例2 已知函數(shù)f（x）=ex+ax-a（a∈R且a≠0）.

（1）若f（0）=2，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f（x）在＼[-2，1＼]上的最小值;

（2）若函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 （1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，又f（0）=1-a=2，得a=-1，所以f（x）=ex-x+1，求導(dǎo)得f ′（x）=ex-1.

易知f（x）在＼[-2，0＼]上單調(diào)遞減，在＼[0，1＼]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）在＼[-2，1＼]上取得最小值2.

（2）知f ′（x）=ex+a，由于ex>0，

①當(dāng)a>0時(shí)，f ′（x）>0，f（x）在R上是增函數(shù)，

當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=ex+a（x-1）>0;

當(dāng)x<0時(shí)，取x=-1a，則f（-1a）<1+a（-1a-1）=-a<0.

點(diǎn)評(píng) 神秘賦值“當(dāng)x<0時(shí)，取x=-1a，則f（-1a）<1+a（-1a-1）=-a<0”的玄機(jī)在哪里？這里f（-1a）=e-1/a-1-a ? ? ②當(dāng)a<0時(shí)，令f ′（x）=0，得x=ln（-a）.在（-∞，ln（-a））上，f ′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減;在（ln （-a），+∞）上，f ′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=ln（-a）時(shí)，f（x）取最小值.

函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f（ln（-a））=eln（-a）+aln（-a）-a=-2a+aln（-a）>0，解得：-e2 ? ? 綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-e2，0）.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-aln x.

（1）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

（2）證明：當(dāng)a>0時(shí)，f（x）≥2a+aln 2a.

（1）解 f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f ′（x）=2e2x-ax（x>0）.

當(dāng)a≤0時(shí)，f ′（x）>0，f ′（x）沒有零點(diǎn);

當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閥=e2x單調(diào)遞增，y=-ax單調(diào)遞增，

所以f ′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

又f ′（a）>0，假設(shè)存在b滿足00時(shí)，f ′（x）存在唯一零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 神秘賦值“0 ? ? 當(dāng)“04.這里把4作為中間變量.沿著這樣的思維，考慮到e2≈7.39，2e2<15<16，于是可以考慮把16作為中間變量，所以可以這樣令“0 ? ? （2）證明 由（1），可設(shè)f ′（x）在（0，+∞）上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f ′（x）<0;當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f ′（x）>0.

故f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為f（x0）.

由于2e2x0-ax0=0

e2x0=a2x0（上式取對(duì)數(shù)得到下式）

2x0=lna2x0=lna-ln2-lnx0.

所以f（x0）=a2x0+2ax0+aln2a≥2a+aln2a.

故當(dāng)a>0時(shí)，f（x）≥2a+aln2a.

例4 ＼[2017年新課標(biāo)卷（Ⅰ）（21）＼]已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解 （1）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f ′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-1）（2ex+1）.

①若a≤0，則f ′（x）<0，所以f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減;②若a>0，則由f ′（x）=0得x=-lna.當(dāng)x∈（-∞，-lna）時(shí)，f ′（x）<0;當(dāng)x∈（-lna，+∞）時(shí)，f ′（x）>0所以f（x）在（-∞，-lna）單調(diào)遞減，在（-lna，+∞）單調(diào)遞增.

（2）①若a≤0，由（1）知，f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn).②若a>0由（1）知，當(dāng)x=-lna時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為f（-lna）=1-1a+lna.（ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，由于f（-lna）=0，故f（x）只有一個(gè)零點(diǎn);（ⅱ）當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，由于1-1a+lna>0，即f（-lna）>0，故f（x）沒有零點(diǎn);（ⅲ）當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，1-1a+lna<0，即f（-lna）<0，又f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2>-2e-2+2>0，故f（x）在（-∞，-lna）有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)n0滿足n0>ln（3a-1），則f（n0）=en0（aen0+a-2）-n0>en0-n0>2n0-n0>0.由于ln（3a-1）>-lna，因此f（x）在（-lna，+∞）有一個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍為（0，1）.

點(diǎn)評(píng) 神秘賦值“正整數(shù)n0滿足n0>ln（3a-1）”的玄機(jī)在哪里？ 當(dāng)n0>ln（3a-1）時(shí)，en0>3a-1，∴aen0+a-2>1，從而f（n0）=en0（aen0+a-2）-n0>en0-n0>2n0-n0>0.

其實(shí)令n0>ln（4a-1），n0>ln（5a-1）…都行.這里的賦值也用到了一個(gè)常用的對(duì)數(shù)恒等式：alogaN=N（a>0且a≠1）.

如果借助一些已知的不等式，比如ex≥ex也可以這樣思考：ex≥exex-1-x≥0，要使ex（aex+a-2）-x>0，只需aex+a-2>1e……（*），借鑒上面的思路，我們想讓aex>-a+（ ? ），于是考慮aex>2-a+1e，ex>2a-1+1ae，x>ln（2a-1+1ae），取n0>ln（2a-1+1ae）.上面每一步可逆，賦值成功.

從以上幾個(gè)例題可以隱隱略略看出：這類賦值問題，我們要仔細(xì)觀察所出現(xiàn)式子的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)問題的需要，結(jié)合一些已知的恒等式和不等式，借助于待定系數(shù)法或?qū)ふ抑虚g變量總能找到成功賦值的方法！“神秘”賦值其實(shí)并不“神秘”！

參考文獻(xiàn)：

＼[1＼]王朝銀.創(chuàng)新設(shè)計(jì)·復(fù)習(xí)用書·數(shù)學(xué)·理科[M].西安：陜西人民出版社，2014.

[責(zé)任編輯：李 璟]