借助二次函數(shù)圖象 攻克函數(shù)參數(shù)求值問(wèn)題

摘 要：二次函數(shù)圖象是高中數(shù)學(xué)教學(xué)和思維能力培養(yǎng)、傳遞并應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的良好載體.有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題中涉及到許多數(shù)學(xué)思想方法和思維能力.本文詳細(xì)講解如何借助二次函數(shù)圖象，借助數(shù)形結(jié)合思想實(shí)現(xiàn)函數(shù)參數(shù)求值問(wèn)題的解決.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;參數(shù)求值;二次函數(shù)

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0018-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：陳方圓（1983.5-），女，江蘇省南京人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)形結(jié)合能夠?qū)⒑瘮?shù)的數(shù)量特征通過(guò)圖象進(jìn)行幾何化，或者將函數(shù)某些幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量特征，將函數(shù)數(shù)量與幾何特征緊密結(jié)合.二次函數(shù)作為試題中常遇到的函數(shù)，熟悉其圖象和有關(guān)性質(zhì)，可以搭建起求解有關(guān)二次函數(shù)的參數(shù)問(wèn)題的便捷橋梁.

一、數(shù)形轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)參數(shù)問(wèn)題直觀化

二次函數(shù)是常見(jiàn)但極其重要的函數(shù)之一，許多參數(shù)問(wèn)題都會(huì)或多或少地涉及到此函數(shù).利用函數(shù)的性質(zhì)思考函數(shù)的圖象，借助函數(shù)圖象思考對(duì)應(yīng)的函數(shù)，在參數(shù)取值求解問(wèn)題中，巧妙引入數(shù)形結(jié)合的思想，可以將問(wèn)題形象直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，幫助問(wèn)題又快又好地解決.如：

例1 已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），若f（x）=a·b，且f（x）在區(qū)間（-1，1）時(shí)是增函數(shù)，求參數(shù)t的取值范圍.

解析 f（x）=a·b=x2（1-x）+（x-1）t=-x3+x2+tx+t，則f ′（x）=-3x2+2x+t.因?yàn)閒（x）在區(qū)間（-1，1）時(shí)是增函數(shù)，所以f ′（x）≥0t≥3x2-2x在（-1，1）恒成立.令g（x）=3x2-2x即t≥g（x）max，函數(shù)g（x）在（-1，13]內(nèi)單調(diào)遞減，在（13，1）內(nèi)單調(diào)遞增，g（-1）=5，g（1）=1，所以t≥g（x）max=5.

反思 借助導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，借助二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)最值;在對(duì)二次函數(shù)圖象和有關(guān)性質(zhì)熟悉后，有時(shí)并不需要將二次函數(shù)圖象呈現(xiàn)在解題過(guò)程中.

二、數(shù)形相配，簡(jiǎn)化參數(shù)問(wèn)題求解

在求解參數(shù)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些方程或者不等式兩邊對(duì)應(yīng)的圖象非常容易作出來(lái)，可以將這些方程或不等式的圖象在同一坐標(biāo)中表示表示出來(lái)，借助研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)或者位置關(guān)系，以形助數(shù)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的直觀化，如：

例2 關(guān)于x的不等式x-（a+1）22≤（a-1）22與x2-3（a+1）x+2（3a+1）≤0（a∈R）的解集分別是A，B，若AB，求參數(shù)a的取值范圍.

解析 此題涉及到集合關(guān)系，一般能夠?qū)⒓线M(jìn)行表示的就需要將幾何表示出來(lái).由題意得到A=x|2a≤x≤a2+1.不妨設(shè)函數(shù)f（x）=x2-3（a+1）x+2（3a+1），該函數(shù)圖象是一條拋物線，且開(kāi)口向上.因?yàn)锳B，所以f（2a）=-2a2+2≤0，

f（a2+1）=（a+1）a（a-1）（a-3）≤0.解得a=-1或1≤a≤3.

反思 此題涉及到集合以及集合關(guān)系，需要將能表示的集合盡可能地表示;有關(guān)二次函數(shù)圖象需要特別熟悉，掌握開(kāi)口、對(duì)稱軸、最值的求解方法，都將給畫(huà)圖或解題帶來(lái)極大的便利.

三、數(shù)形結(jié)合，攻克參數(shù)取值問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合可以使得內(nèi)容更加直觀，從視覺(jué)上給解題帶來(lái)一定的指引和幫助，再經(jīng)過(guò)縝密的分析和邏輯思考，進(jìn)而形成解題的完整思路.數(shù)形結(jié)合需要對(duì)函數(shù)解析式以及函數(shù)相對(duì)應(yīng)的圖形保持敏感性，敏捷靈活地將某類函數(shù)與圖象進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如對(duì)于非常熟悉的二次函數(shù)圖象.熟練將二次函數(shù)圖象進(jìn)行表示，將極大簡(jiǎn)化求解步驟，如：

例3 函數(shù)f（x）=x3-ax2+bx+5（a，b∈R），若函數(shù)g（x）=f（x）-（b-1）x-5，且在區(qū)間[1，2]內(nèi)g（x）是單調(diào)遞增的函數(shù)，求參數(shù)a的取值范圍.

解析 由題意知g（x）=x3-ax2+x，則g′（x）=3x2-2ax+1.（1）當(dāng)Δ≤0時(shí)，即-3≤x≤3時(shí)，g（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)是增函數(shù)，滿足題意;（2）當(dāng)Δ>0時(shí)，即a<-3或a>3時(shí)，滿足題意的要求是：

反思 二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中極為重要的基礎(chǔ)函數(shù)之一，掌握二次函數(shù)圖象，熟練將圖象進(jìn)行呈現(xiàn)，以及靈活運(yùn)用相關(guān)內(nèi)容，是十分必要的;對(duì)二次函數(shù)問(wèn)題中的分類要避免遺漏.

一般而言，高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)問(wèn)題都是基于常規(guī)函數(shù)進(jìn)行演變和復(fù)合的，對(duì)于此類函數(shù)，要積極將導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，并借助數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的直觀化、簡(jiǎn)潔化，減少計(jì)算量，提高參數(shù)范圍問(wèn)題求解的正確率.

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[責(zé)任編輯：李 璟]