如何解答排列與組合問題

田娟

排列與組合問題是高中數(shù)學(xué)中的常見問題，由于一個事件中可能出現(xiàn)的情況較多，所以我們采用不同的排列組合方式進(jìn)行排列，得到的結(jié)果也不相同，因此，我們只有找到正確的解題方法，才能得出正確的答案，下面，我們談一談如何解答排列組合問題。

一、倍縮法

倍縮法適用于定序問題，在運用倍縮法解答定序問題時，我們可先不考慮元素順序的限制，直接進(jìn)行排列，再除以定序元素的全排列數(shù)，在解答的過程中，我們要首先判斷該事件是否是定序問題，然后再利用倍縮法解題。

例1.有7名同學(xué)要排成一列照相，其中甲必須站在乙的左邊，乙必須站在丙的左邊，按照這種要求可以得到__種排列方法。

解析：很明顯，題中對元素的排列順序有要求，這是一個定序問題，我們可以考慮利用倍縮法來解題。

例2.從10個人中挑選出8個人圍坐成一桌，則會有

種不同的坐法。

解析：該問題屬于中檔難度的問題，由于桌子是環(huán)形的，所以在排列的過程會有順序要求，可以運用倍縮法解題，首先考慮從10個人挑選8個人的情況，再對8個人圍桌而坐的情況進(jìn)行分析。

倍縮法的應(yīng)用范圍很廣，不僅適用于環(huán)形排列問題，還適用于定序問題。

二、捆綁法

捆綁法是指把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列的方法，捆綁法適用于相鄰問題，在運用捆綁法解題時，我們要注意先排列相鄰元素外部的元素，然后再排列相鄰元素內(nèi)部的元素。

例3.有6位同學(xué)站成一排，甲、乙、丙3名同學(xué)要求站在一起，請問有多少種排法？

解析：甲、乙、丙3名同學(xué)要求站在一起，說明這是一個相鄰問題，可以選擇捆綁法來解題，我們首先要將甲乙丙3名同學(xué)看作一個整體，與剩下的3名同學(xué)一起排列，然后再對甲乙丙3名同學(xué)進(jìn)行排列。

解：把甲乙丙看作“整體”時，和剩下3名同學(xué)一起排列，有A4種排法，甲、乙、丙3名同學(xué)有A3種排法，根據(jù)乘法計數(shù)原理可得一共有A4A3，即144種排法。

三、插空法

對于不相鄰問題，我們一般選擇運用插空法來解題，在運用插空法解題時，我們首先要考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的間隔中。

例4.學(xué)校的元旦晚會中有4個舞蹈節(jié)目、3個歌唱節(jié)目和3個小品節(jié)目，為了合理安排節(jié)目，學(xué)校決定不把小品節(jié)目放在一起，那么該晚會的節(jié)目安排會有

種不同的排法。

解析：題目中要求不把小品節(jié)目放在一起，這就是要求小品節(jié)目不相鄰，可利用插空法來解題，先需要排列除小品以外的節(jié)目，然后再將小品插入到其它節(jié)目的間隔當(dāng)中。

解：除小品以外的7個節(jié)目進(jìn)行排列，則有A7種不同的排法。

將3個小品節(jié)目插入7個節(jié)目之間的間隔，則有c8種不同的排法，因此一共有A7C8種不同的排法，即282240種不同的排法。

雖然排列與組合問題在高考中占比不大，但題目也存在一定難度，它不僅考查了我們運用排列組合知識解題的能力，還考查了我們分析問題的能力，解答排列與組合問題的關(guān)鍵在于，根據(jù)題意判斷問題的類型，然后選擇對應(yīng)的方法解題。

（作者單位：甘肅省天水市武山縣第一高級中學(xué)）