數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探索

石艷平 尚小舟

摘 要：“數(shù)”和“形”是小學(xué)數(shù)學(xué)兩大基本的學(xué)習(xí)內(nèi)容。通過《幾何原本》中的“幾何代數(shù)法”到當(dāng)今小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合專題案例，發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法可以幫助小學(xué)生更好地理解數(shù)的運算法則、探尋和進一步說明數(shù)的規(guī)律，深悟某些經(jīng)典問題的解題方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)的規(guī)律；幾何直觀

中國分類號：G623.5 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：2095-9052（2020）06-0102-02

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，兩者有著緊密的聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合一直是數(shù)學(xué)研究的一個熱點，從研究成果看，大多數(shù)是圍繞數(shù)形結(jié)合思想方法、內(nèi)涵的研究[1]；或是圍繞小學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)[2]；或是圍繞數(shù)形結(jié)合思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)某個知識內(nèi)容教學(xué)中的滲透[3-5]。美國數(shù)學(xué)教育家Wilkins認為數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一是理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和歷史發(fā)展。上海市靜安區(qū)教育學(xué)院曹培英老師提出以數(shù)形結(jié)合為主題的教學(xué)，具有相當(dāng)大的潛在發(fā)展空間[6]，這對本文的撰寫有很大的啟示。

一、《幾何原本》中的“幾何代數(shù)法”

1607年，中國數(shù)學(xué)家徐光啟和西方傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）根據(jù)克拉維烏斯的《歐幾里得原本十五卷》翻譯成《幾何原本》[7]。第二篇突出內(nèi)容是對幾何代數(shù)法的貢獻[8]。當(dāng)時因希臘人不承認存在無理數(shù)，因此所有有關(guān)度量的長度、面積、角度和體積都不能從數(shù)量上處理，只能用線段來代替。如矩形的面積表示矩形兩邊長度的兩數(shù)乘積，三數(shù)的乘積便是體積。第二篇的幾個命題從幾何上處理了對應(yīng)等價的代數(shù)問題。命題1：如果有兩條線段，其中一條被割成任意幾段，則兩條線段所夾的矩形等于各個小段和未截的那條線段所夾的矩形之和[9]。用現(xiàn)在的記法是a（b + c + d + …）= ab + ac + ad + …。

看起來是當(dāng)時希臘人沒有無理數(shù)概念而尋求他法，但它已然開啟了數(shù)形結(jié)合思想方法的先河。

二、巧用數(shù)形結(jié)合，加深數(shù)學(xué)理解

（一）利用圖形表征理解數(shù)的運算

讓學(xué)生根據(jù)圖形明白4表示什么含義（邊長為2的正方形面積）。從等式角度學(xué)生很容易理解1 + 3 = 2×2，從圖形上看學(xué)生能表述為：1個邊長為1的正方形和3個邊長為1正方形組成邊長為2的正方形。以此類推1 + 3 + 5 = 9，進一步體會邊長3正好是等式左邊連續(xù)奇數(shù)的個數(shù)。教師放手讓學(xué)生獨立完成1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5×5的圖形表示，說出等式中數(shù)的含義，進一步驗證了剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。此時學(xué)生不難理解：從1開始，n個連續(xù)奇數(shù)的和就是n2。學(xué)生通過用觀察直觀圖形來解釋和說明等式的含義，可增強對數(shù)學(xué)等式的深刻理解。

（二）借助《幾何原本》中對整數(shù)乘法的幾何方法，解釋乘法的運算定律

（三）用數(shù)形結(jié)合的方法，巧解經(jīng)典數(shù)學(xué)問題

雞兔同籠問題已經(jīng)被很多數(shù)學(xué)研究者用多種解法詮釋它。主流的解法有假設(shè)法、抬腳法、畫圖法、列表法、列方程等。其中假設(shè)法是很常用，而且不受數(shù)據(jù)大小影響的方法，但相當(dāng)一部分小學(xué)生在初學(xué)時對這種方法總是悟不透。我們?nèi)绻妹娣e來代表雞或兔腳的數(shù)量，傳統(tǒng)的假設(shè)法會是怎樣呢？以下題為例：

現(xiàn)有頭35個，腳共94只，問雞兔各幾只？用假設(shè)法解之，往往有很多學(xué)生對“假設(shè)全是兔，解出來的是雞的數(shù)量”難以理解?，F(xiàn)在結(jié)合幾何圖形，假設(shè)全是兔，在圖5中，最大矩形的面積表示35只兔子腳的數(shù)量，即35×4 = 140（只）。用140 - 94 = 46（只），即虛線表示的矩形面積，它的代數(shù)含義是表示假設(shè)全是兔后比實際多出來的46只腳。因為一只兔比一只雞多2只腳，46÷2 = 23（只），如果虛線矩形的一邊長為2，則另一邊長就是23，即有23只雞，自然得到有12只兔了。結(jié)合圖形的面積理解用假設(shè)法解雞兔同籠問題，增強幾何直觀，解題思路在幾何意義的幫助下更清晰，更透徹。

三、結(jié)語

“數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”是華羅庚教授對數(shù)形結(jié)合思想的深刻闡釋。從以上諸多案例中不難看出“形”的直觀性有助于人們解釋說明發(fā)現(xiàn)“數(shù)”的規(guī)律或方法，“數(shù)”的深刻性由于小學(xué)生的認知水平有限，要多從簡單枚舉歸納進行合情推理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，注重探索數(shù)和形的關(guān)系，讓我們更直觀地理解數(shù)，更深刻地看到形。

參考文獻：

[1]李才俊.小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)涵與實踐——教育信息化與教育技術(shù)創(chuàng)新學(xué)術(shù)研討會論文集[C].重慶：重慶市鼎耘文化傳播有限公司，2019.

[2]張克誠.基于小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想下的數(shù)形結(jié)合思想研究[J].課程教育研究，2019（29）：122.

[3]范麗.借助數(shù)形結(jié)合建構(gòu)數(shù)學(xué)概念——以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“長方體和正方體表面積”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)參考，2019（3）：30.

[4]鐘法旺.數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的三個“輔助點”——以“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”一課的教學(xué)為例[J].科教文匯，2014（4）：156-157.

[5]單媛媛.淺談“數(shù)形結(jié)合”在小學(xué)第一學(xué)段“數(shù)概念”教學(xué)中的運用策略[J].小學(xué)數(shù)學(xué)參考，2019（3）：30.

[6]曹培英.數(shù)形結(jié)合的教學(xué)新探索——“數(shù)與形”課堂教學(xué)分析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（Z1）：114-115.

[7][古希臘]歐幾里得·幾何原本[M].利瑪竇譯，徐光啟述.上海：上海古籍出版社，2011.

[8][美]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第一冊）[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2014.

[9][古希臘]歐幾里得·幾何原本[M].蘭紀(jì)正，朱恩寬譯，梁宗巨，張毓新，徐伯謙校訂.南京：鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F，南京：譯林出版社，2011.

（責(zé)任編輯：李凌峰）