高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)中最值問(wèn)題研究

李耀珍

摘 要：正三角函數(shù)的最值問(wèn)題是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的難點(diǎn)之一，也是高中數(shù)學(xué)中重點(diǎn)學(xué)習(xí)的項(xiàng)目。本文將針對(duì)歷年高考考查的三角函數(shù)熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行研究探討，整理出一些對(duì)于三角函數(shù)求最值問(wèn)題最常見(jiàn)、最直接的做法。希望這次的例談三角函數(shù)中的最值問(wèn)題的幾種常見(jiàn)類(lèi)型能夠給大家的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)一些幫助。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);求最值;最值問(wèn)題;二次函數(shù);常見(jiàn)類(lèi)型

一、三角函數(shù)中常見(jiàn)的最值問(wèn)題分析

三角函數(shù)的最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中有關(guān)三角函數(shù)問(wèn)題中最常見(jiàn)的一類(lèi)，也是比較復(fù)雜多變的一類(lèi)，根據(jù)這類(lèi)題型演變出來(lái)的題目很多，但其實(shí)質(zhì)上是對(duì)含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求值。在解答三角函數(shù)最值為題時(shí)，只要記住這是一個(gè)二次函數(shù)，然后融合在各種復(fù)雜環(huán)境下，做出復(fù)合函數(shù)的基本求解動(dòng)作就可以。遇到任何問(wèn)題不能亂糟糟的去看，而是要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，一步一步將題目拆解，完成解答。這也是數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)。

1.y=asinx+b型分析

y=asinx+b型也是最常見(jiàn)的一種，簡(jiǎn)單應(yīng)對(duì)起來(lái)也比較輕松，大部分的學(xué)生還是可以在這里得分的。在做題解答的策略上也沒(méi)有特別疑難的地方。據(jù)分析只要設(shè)t=sinx，化為求一次函數(shù)y=at+b在閉區(qū)間[-1，1]上的最值。這樣就可以將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的三角函數(shù)提醒，利用已學(xué)的一些公式一步步劃分計(jì)算，最后得到答案。不管是什么樣的求函數(shù)只要一步步劃分，總是能夠最終得解的，例如求y=-3sinx+2的最值。也是這種解法。筆者在研究三角函數(shù)多種求最值的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到這類(lèi)題型，其解法也較為一致，令t=s作一歸納就能順利完成解題。最值問(wèn)題遇上二次函數(shù)，本身就會(huì)將問(wèn)題復(fù)雜化，只要我們耐心梳理，總能夠看透本質(zhì)，解答出來(lái)。

2.y=asinx+bcosx+c型分析

如果大家能夠按照數(shù)學(xué)老師平時(shí)解題的習(xí)慣，將每次遇到的三角函數(shù)都分門(mén)別類(lèi)的記錄總結(jié)下來(lái)，這對(duì)大家的學(xué)習(xí)是有很大幫助的。三角函數(shù)本身就是一種將基礎(chǔ)知識(shí)綜合應(yīng)用的提醒。在生活中也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，因此近幾年高考題中三角函數(shù)的出現(xiàn)常常伴隨著生活類(lèi)的題目。大家在解答時(shí)要習(xí)慣性的建模，這樣有利于問(wèn)題的順利解答。此類(lèi)求最值的問(wèn)題也經(jīng)常出現(xiàn)在生活類(lèi)的解答題中，根據(jù)題目的要求自行建立三角函數(shù)。建立的函數(shù)大多數(shù)都是這種y=asinx+bcosx+c型，其解法主要是通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的公式將這些函數(shù)轉(zhuǎn)化，使其劃分的更為簡(jiǎn)單，然后借助于它的特性來(lái)解決最值問(wèn)題。

二、三角函數(shù)中常見(jiàn)的最值問(wèn)題解答歸納

將函數(shù)關(guān)系式化為一個(gè)角的一種函數(shù)形式就是我們中學(xué)課本中所說(shuō)的三角函數(shù)，而生活中展現(xiàn)出來(lái)的三角函數(shù)模型也很多。筆者在探討三角函數(shù)最值問(wèn)題解答方法的時(shí)候發(fā)現(xiàn)最常用來(lái)解答歸納的行為就是借助于三角函數(shù)建模。由此看來(lái)，建立模型是解決三角函數(shù)特殊性質(zhì)的最佳方法。下面筆者就將整理歸納的一些三角函數(shù)類(lèi)型與解法舉例說(shuō)明。

1.y=asinx-asinx·cosx+a+b的解答歸納

例1，已知函數(shù)（x）=2asinf2x-23asinx·cosx+a+b（a0）的定義域?yàn)閇0，2]，值域?yàn)閇-5，1]，求常數(shù)a、b的值。

前面提到過(guò)關(guān)于y=asinx+bcosx+c型的分析過(guò)程，針對(duì)y=asinx-asinx·cosx+a+b的解答歸納其實(shí)也很好判別。三角函數(shù)一般都是利用其求最值，這也是尤其特殊的函數(shù)性質(zhì)所決定的。在本題的解答過(guò)程中，只要牢牢記住簡(jiǎn)化、歸納的本質(zhì)方法就行，利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的公式將函數(shù)化為一個(gè)角的一種函數(shù)的形式。這樣就能夠大幅度的簡(jiǎn)化該函數(shù)的難易程度，將復(fù)雜、看不清思路的函數(shù)題簡(jiǎn)化成最普通的三角函數(shù)。例如本題通過(guò)降次之后再加上逆用二倍角公式就可以形成三角函數(shù)中的基本函數(shù)，也就是高中數(shù)學(xué)課本上最初出現(xiàn)的y=asinx+bcosx+c型的函數(shù)，這樣大家面對(duì)著這樣的簡(jiǎn)單模型函數(shù)應(yīng)該就知道該如何下手解答了。

2.y=asinx2+bsinx+c的解答歸納

例2，求函數(shù)f（x）=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。

三角函數(shù)求最值的方法不少，其中最常用的還是利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的特性。在高中課本中出現(xiàn)的最值問(wèn)題上，多次使用的解答方法都是利用定義域和閉區(qū)間上模型歸納。由此可見(jiàn)，無(wú)論函數(shù)是怎樣的形式出現(xiàn)，都是一個(gè)二次函數(shù)，這個(gè)是改變不了的。常見(jiàn)類(lèi)型的解答歸納都可以從這道例題上來(lái)總結(jié)出。在解答時(shí)可以化為以sinx為自變量的二次函數(shù)，這樣就能在復(fù)雜的函數(shù)變化中畫(huà)出一塊最簡(jiǎn)單、有效的定義域區(qū)間，然后將二次函數(shù)的模型圖畫(huà)出來(lái)。利用這個(gè)球最值得最基本法則將函數(shù)值求解出來(lái)。對(duì)于三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解歸納，應(yīng)引起師生充分的重視。只有將這塊掌握好，才能夠鞏固牢固三角函數(shù)方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

結(jié)論：作為正三角函數(shù)中最為重要的難點(diǎn)問(wèn)題之一，三角函數(shù)求最值問(wèn)題是必須要攻克的。本文在研究過(guò)程中查證了不少例題，上述文章也羅列了一些例題的統(tǒng)一歸納解法。希望各位師生可以針對(duì)歷年高考考查的三角函數(shù)熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行鞏固研究，牢牢掌握三角函數(shù)求最值問(wèn)題最常見(jiàn)、最直接的做法。希望筆者的例談三角函數(shù)中的最值問(wèn)題能夠給大家的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)一些幫助。

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