函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王鵬

摘?要：函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想之一，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，貫穿整個教學(xué)過程.新課標(biāo)改革背景下強調(diào)“教師教學(xué)過程中除了注重知識傳授外，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方法、思想情感以及價值觀的培養(yǎng)，提高學(xué)生問題分析與解答能力.”在此背景下，探究函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，不僅為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了思想指導(dǎo)，還有利于突出重難點，滿足新課標(biāo)教學(xué)要求.為此，本文結(jié)合具體解題過程，分析函數(shù)思想的應(yīng)用策略.

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想;高中數(shù)學(xué);解題

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0051-02

函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)知識的一項重要板塊，在生活形態(tài)中屬于量與量之間的變換，能夠為其它知識學(xué)習(xí)提供向?qū)ё饔?為此，利用函數(shù)思想優(yōu)化學(xué)生解題過程，提高解題能力，不僅是實現(xiàn)函數(shù)思想滲透的一種關(guān)鍵途徑，更是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大特色與魅力.

一、函數(shù)思想相關(guān)分析

函數(shù)是數(shù)學(xué)的基本概念，是函數(shù)思想發(fā)展的基礎(chǔ).因此，教師在應(yīng)用函數(shù)思想輔助解題時，必須充分了解函數(shù)有關(guān)定義及性質(zhì)，具體包括周期函數(shù)、單調(diào)遞增/遞減函數(shù)、奇/偶函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)（如圖1）、對數(shù)函數(shù)（如圖2）等，在此基礎(chǔ)上體會函數(shù)思想.

在高中數(shù)學(xué)中，許多知識中都體現(xiàn)了函數(shù)思想，包括方程、不等式、線性規(guī)劃、隨機變量、算法等，可謂是無處不在.在解題教學(xué)中，教師要注重分析不同知識與函數(shù)之間的關(guān)系，尋求函數(shù)思想運用的切入點.

二、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運用過程

1.引用函數(shù)單調(diào)性，求解不等式問題

函數(shù)與不等式屬于兩個性質(zhì)完全不同的知識結(jié)構(gòu)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，它們卻有著密切的聯(lián)系.不等式性質(zhì)很大程度上反映了函數(shù)單調(diào)性.因此，在解題教學(xué)中，教師可以利用函數(shù)思想引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點審視不等式，更好地把握不等式本質(zhì)特征.為此，在筆者看來，不等式中最值與恒成立問題是函數(shù)思想滲透的切入點.相關(guān)例題如下：

例1?對任意x∈[-1，1]，f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值大于零恒成立，求a的取值范圍.

首先，帶著函數(shù)思想進行審題，發(fā)現(xiàn)該問題的本質(zhì)可以概述為“在某一閉區(qū)間上有參數(shù)的二次函數(shù)大于零恒成立的問題”.其次，借助分類討論思想先將x∈[1，1]根據(jù)對稱軸x=4-a2進行分類，分為1<4-a2、-1≤4-a2≤1、4-a2<-1三大段，討論它在函數(shù)的遞增、遞減區(qū)間上f（x）值的情況，分別求出a的取值范圍，綜合出a的最終取值范圍a<1.由此以來，在解題時不需要再討論Δ<0的情況，不僅能夠使每種情況不被遺漏，還可以提高解題的精確度.

2.引入函數(shù)解析式，求解數(shù)列問題

高中階段學(xué)習(xí)的等比、等差數(shù)列本就是一類自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，與函數(shù)思想有著密切的聯(lián)系，不同的數(shù)列問題中無形中會隱藏著函數(shù)的某種特征.利用函數(shù)思想求解數(shù)列問題也是歷年高考中的重點考題.利用函數(shù)思想求解數(shù)列問題的途徑有很多，比如求解等差數(shù)列前n項和的最值問題時，可以將Sn看做關(guān)于n的二次函數(shù)，運用配方法，引入函數(shù)單調(diào)性知識解決問題.為了從“形”上幫助學(xué)生充分認(rèn)識函數(shù)思想與數(shù)列知識之間的關(guān)系，本節(jié)以函數(shù)解析式的運用為例，分析相關(guān)數(shù)列問題的求解.

例2?已知a1=1，a2=a3=a4=0，求數(shù)列{an}的通項公式.

從函數(shù)思想角度分析來看，數(shù)列{an}與n之間存在著某種函數(shù)關(guān)系，可以將an看做f（n），列出函數(shù)解析式：f（n）=0（即an=0），此時n是f（n）=0的根，也可以稱作零點.原問題的求解過程就可以設(shè)出an的表達式：an=k（n-2）（n-3）（n-4），根據(jù)已知條件：a1=1，運用待定系數(shù)法，求出k的值為-16，從而得出數(shù)列{an}的通項公式.

3.引入函數(shù)與方程聯(lián)系，求解零點問題

函數(shù)思想是處理“數(shù)學(xué)型”問題的一種思維方法，描述的是現(xiàn)實生活中數(shù)量之間的變化關(guān)系.在問題解決中，從實際情境中建立對應(yīng)函數(shù)模型，運用函數(shù)基本知識，實現(xiàn)問題的解決.方程類知識在教學(xué)中也孕育了函數(shù)思想，它的本質(zhì)在于研究問題在運動中的等價關(guān)系，一般情況下習(xí)慣首先明確給出的未知量與已知量之間關(guān)系，通過構(gòu)建方程或方程組，由未知量推導(dǎo)出已知量.雖然兩者看起來本質(zhì)不同，但在實際操作中常常互相滲透，函數(shù)間的關(guān)系與方程之間可以互相轉(zhuǎn)換.

例3?已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R），討論函數(shù)f（x）的零點情況.

通過審題發(fā)現(xiàn)，函數(shù)f（x）并不是所熟悉的函數(shù)模型，解析式包括對數(shù)、冪函數(shù)，此時需要首先確定函數(shù)定義域x∈（0，+SymboleB@

）.接下來引導(dǎo)學(xué)生對原函數(shù)進行變形，變?yōu)閒（x）=x（lnx-ax-1）（a∈R），同時用g（x）表示“l(fā)nx-ax-1”，二次變形為f（x）=xg（x）.因為x≠0，因此對函數(shù)f（x）零點的討論可以轉(zhuǎn)為對函數(shù)g（x）零點情況的討論.解題過程進行到這一步時，引入函數(shù)思想中與方程之間的聯(lián)系，將對g（x）零點的討論等價轉(zhuǎn)化為討論方程lnx-ax-1=0的根的情況.但方程仍然不是我們熟悉的方程，此時可以重新從函數(shù)角度進行審視，將方程轉(zhuǎn)化為lnx-1x=a的形式，求解y=lnx-1x與y=a交點橫坐標(biāo)，從而得出原函數(shù)f（x）的零點情況.

綜上所述，函數(shù)思想在高中解題過程中的運用，不僅展現(xiàn)了函數(shù)知識與其它板塊知識之間的聯(lián)系，還為解題提供了新思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識，提高解題能力.為此教師要重視函數(shù)思想的滲透，優(yōu)化解題過程.

參考文獻：

[1]朱兆軒.函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中的再思考和實踐[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（22）：124.

[2]何介.如何將函數(shù)思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（05）：90.

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