橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同

盧會玉

摘?要：坐標是向量進行代數(shù)化的中傳媒介，通過向量的坐標表示可將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.若能建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，就可以使圖形中復雜的幾何關系轉(zhuǎn)化為簡單直接的代數(shù)關系，雖然存在運算問題，但是大大減少了推理過程，有效地降低思維量，起到事半功倍的效果.本文從已知條件中有明顯垂直關系和未給出明顯垂直關系等角度例談了坐標法解決平面向量的模長問題. 將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，體現(xiàn)了向量解題的工具性.

關鍵詞：平面向量;模長;平面直角坐標系;坐標法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0066-03

以平面向量模長為背景的綜合題，通常與函數(shù)、不等式、平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識點結合考查，能綜合考查學生分析問題和解決問題的能力，能有效考查學生的思維品質(zhì)和學習潛能，體現(xiàn)了高考在知識點交匯處命題的思想，是高考的熱點，也是難點. 解決這類問題的關鍵是認真分析題意，恰當?shù)貙栴}等價轉(zhuǎn)化為解析幾何中的模型，或者函數(shù)或不等式求最值等問題進行求解.

正因為向量既有“數(shù)”，又有“形”的雙重身份，所以數(shù)形結合法是解決平面向量模長問題的常見方法.而坐標法作為學生非常熟悉的方法，自然而然成為了平面向量模長的解題利器，這也是一種將幾何問題代數(shù)化的典范.

一、已知向量坐標求模長的問題

已知向量坐標求模長的問題常與二次函數(shù)的最值或者三角函數(shù)的范圍有關，運算正確即可.

例1?已知向量a=（1-t，t），b=（2，3），則a-b的最小值為（）.

A. 2?B.23?C.22D.42

解析?a-b=（t+1）2+（t-3）2=2（t-1）2+8≥22，所以當t=1時a-b的最小值為22.

故選C.

例2?已知向量a=（cosθ，sinθ），b=（3，-1）則2a-b的范圍是.

解析?2a-b=（2cosθ-3，2sinθ+1），則2a-b=（2cosθ-3）2+（2sinθ+1）2=8sin（θ-π3）+8.由sin（θ-π3）∈-1，1得8sin（θ-π3）+8∈0，16，即2a-b∈0，4.

二、已知條件中有明顯垂直關系的模長問題

有一類在已知條件中有明顯的垂直關系的問題，比如已知矩形、數(shù)量積為零等等. 這類問題很多學生是可以想到用坐標法的，建立直角坐標系后，剩余的問題就是運算.

例3?在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點P為矩形ABCD內(nèi)一點，則使得|AP-AC|≥1的概率為（）.

A.π4B.π8C.1-π4D.1-π8

圖1

解析?建立如圖1所示的平面直角坐標系，A為坐標原點.則A（0，0），B（2，0），C（2，1），則

AP-AC=（x，y）-（2，1）=（x-2，y-1），所以|AP-AC|=（x-2）2+（y-1）2≥1，表示在矩形ABCD內(nèi)，以C為圓心，1為半徑的圓的外部，所以概率為

2-π42=1-π8.故選D.

例4?在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB·AF=2，則AE·BF的值是.

圖2

解析?以A為坐標原點，AB，AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（2，0），E（2，1），F(xiàn)（x，2），故AB=（2，0），AF=（x，2），AE=（2，1），BF=（x-2，2）.

∴AB·AF=（2，0）·（x，2）=2x=2，∴x=1.因此AE·BF=（2，1）·（1-2，2）=2.

例5?已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足c-a-b=1，則c的最大值是.

解析?因為a，b是單位向量，且a·b=0，所以可設a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），則c-a-b=（x-1，y-1）.由c-a-b=1得（x-1）2+（y-1）2=1，即（x，y）的軌跡是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓.

故cmax=2+1.

例6?在Rt△ABC中，∠A=90°，點D是邊BC上的動點，且AB=3，AC=4，AD=λAB+μAC（λ>0，μ>0），則當λμ取得最大值時，AD的值為（）.

A. 72?B. 3?C. 125?D. 52

解析?由題意可知，不妨以A坐標原點，AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立直角坐標系，則A（0，0），B（3，0），C（0，4）.

因為AD=λAB+μAC（λ>0，μ>0），且點D在邊BC上，所以λ+μ=1，則λμ≤（λ+μ）24=14（當且僅當λ=μ=12時取等號）.

此時AD=λAB+μAC=12AB+12AC=12（3，0）+12（0，4）=（32，2），

所以AD=（32）2+22=52.

故選D.

三、已知條件中未出現(xiàn)明顯垂直關系的模長問題

已知條件中未給出明顯垂直關系的問題是比較常見的，那么如何透過現(xiàn)象，找到建立直角坐標系的契機，這就需要認真分析題目已知條件，難度較大.

例7?在平面內(nèi)，AB·AC=BA·BC=CA·CB=6，動點P，M滿足AP=2，PM=MC，則BM的最大值是（）.

A. 3?B. 4?C. 8?D. 16

解析?由AB·AC=BA·BC=CA·CB=6，得AB·（AC+BC）=BC·（BA+CA）=AC·（AB+CB）=0.所以△ABC是等邊三角形，設△ABC的邊長為x，則AB·AC=x2

cos60°=12x2=6，得x=23.

以BC所在的直線為x軸，以BC的中垂線為y軸建立坐標系，則B（-3，0），C（3，0），A（0，3）.由AP=2，得點P滿足：x2+（y-3）2=4.由PM=MC得M（x，y）為PC的中點.設M（x，y），則P（2x-3，2y），代入x2+（y-3）2=4得（2x-3）2+（2y-3）2=4，即（x-32）2+（y-32）2=1，即點M在以（32，32）為圓心，1為半徑的圓上，則BM的最大值是圓心到B的距離加上半徑：（-3-32）2+（0-32）2+1=4.

故選B.

例8?已知點A，B，C在圓x2+y2=1上運動，且AB⊥BC，若點P的坐標為（2，0），則PA+PB+PC的最大值為（）.

A.6?B.7C.8D.9

解析?由題意得，AC為圓的直徑，故可設A（a，b），C（-a，-b），B（x，y），則PA+PB+PC=（a-2，b）+（x-2，y）+（-a-2，-b）=（x-6，y），所以PA+PB+PC=（x-6）2+y2的最大值為圓x2+y2=1上動點到點（6，0）距離的最大值，顯然最大值為7.

故選B.

例9?已知向量a，b夾角為π3，b=2，對任意x∈R，有b+xa≥a-b，則tb-a+tb-a2t∈R的最小值是.

解析?將b+xa≥a-b兩邊平方整理可得：x2a2+2xa·b-（a2-2a·b）≥0.因為對x∈R都成立，則Δ=4（a·b）2+4a2（a2-2a·b）≤0，即（a2-a·b）2≤0，則a2-a·b=0，即a·（a-b）=0，即a⊥（a-b），則a2=a·b=abcosπ3，則a=1，a-b=a2-2a·b+b2=3.

令AO=a，AB=b，建立如圖3所示的直角坐標系，則A（1，0），B（0，3），所以a=（-1，0），b=（-1，3），所以tb-a+tb-a2=圖3（1-t）2+（3t）2+12-t2+3t2=4t2-2t+1+4t2-t+14=2t-142+0-342+t-182+0+382，表示Pt，0與M14，34，N18，-38的距離之和的2倍，當M，P，N共線時，取得最小值2MN，即有2MN=214-182+34+382=72.故答案為72.

例10?已知向量a，b，c滿足a=4，b=22，a與b的夾角為π4，（c-a）·（c-b）=-1，求c-a的最大值.

解析?設OA=a，OB=b，OC=c，以OA所在直線為x軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系，因為a=4，b=22，a與b的夾角為π4，則A（4，0），B（2，2）.設C（x，y），則，a=（4，0），b=（2，2），c=（x，y），又因為（c-a）·（c-b）=-1，所以x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1，表示以（3，1）為圓心，以1為半徑的圓，c-a表示點A，C的距離，即圓上的點與點A（4，0）的距離.

∵圓心到A的距離為（3-4）2+（1-0）2=2，∴c-a的最大值為2+1.

例11?已知向量a，b，且b=2，b·（2a-b）=0，則tb+（1-2t）a（t∈R）的最小值為.

解析?由b=2可設b=（2，0），設a=（x，y），則2a-b=2（x，y）-（2，0）=（2x-2，2y）.由b·（2a-b）=0可得：4x-4=0，x=1，即a=（1，y）.則tb+（1-2t）a=t（2，0）+（1-2t）（1，y）=（1，（1-2t）y），所以tb+（1-2t）a=1+（1-2t）2y2≥1，即tb+（1-2t）a（t∈R）的最小值為1.

例12?在△AOB中，G為△AOB的重心（三角形中三邊上中線的交點叫重心），且∠AOB=60°.若OA·OB=6，則OG的最小值是.

解析?因為OA·OB=6，且∠AOB=60°，則OA·OB=OAOBcos60°=12OAOB=6，所以OAOB=12.以邊OA所在的直線為x軸，以O為坐標原點，建立直角坐標系，并設OB=m，則OA=12m，則A（12m，0），B（m2，32m），O（0，0），所以G（12m+m23，3m23），即OG=（4m+m6，3m6）.

所以OG=（4m+m6）2+（3m6）2=m29+16m2+43≥2（當且僅當m29=16m2，即m=23時取等號）. 則OG的最小值是2.

平面向量問題總是給人一種“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的感覺，但是不論平面向量問題是以何種方式呈現(xiàn)，不論和哪些知識進行交匯，首先應該去思考能否進行坐標法解答. 坐標是向量進行代數(shù)化的中傳媒介，通過向量的坐標表示可將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.而坐標是需要借助于直角坐標系的，所以對于某些平面向量問題，若能建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，就可以使圖形中復雜的幾何關系轉(zhuǎn)化為簡單直接的代數(shù)關系.雖然存在運算問題，但是大大減少了推理過程，有效地降低思維量，起到事半功倍的效果.

上述問題幾乎都是通過建立坐標系將向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式問題求解，體現(xiàn)了向量解題的工具性. 建立直角坐標系的原則是能準確快捷地表示有關向量或點的坐標，正確找到變量間的關系，以及正確分析目標函數(shù)代表的幾何意義.

參考文獻：

[1]陳凱晨.平面向量模長問題求解的常用策略[J].數(shù)理化解題研究，2016（01）：23.

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