三角函數(shù)最值問題的思考

許文捷

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學的重點和難點部分，三角函數(shù)的最值問題更是高考考查的熱點問題?；诖耍P者從三角函數(shù)的概念入手，分析了三角函數(shù)最值問題的解決方法，在具體例題的基礎(chǔ)上，介紹了利用三角函數(shù)單調(diào)性、三角函數(shù)的性質(zhì)、均值定理以及數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題的方法，希望通過此次研究提升三角函數(shù)最值問題的解題能力并為其他學生提供借鑒。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；均值定理；數(shù)形結(jié)合

三角函數(shù)的最值問題是綜合性較強的題目，是對我們關(guān)于三角函數(shù)概念、圖形、性質(zhì)以及相關(guān)公式等內(nèi)容的全方位考察，更會凸顯出數(shù)學中的函數(shù)思想。三角函數(shù)最值問題在高考中出現(xiàn)的概率也比較高，我們需要認識到三角函數(shù)的重要性，積極突破三角函數(shù)學習的難點，從而在高考中取得較好的數(shù)學成績。

一、三角函數(shù)的概念

三角函數(shù)是數(shù)學教學中的重點內(nèi)容，由于三角函數(shù)中涉及的知識點較多，因此許多學生在進行三角函數(shù)學習的過程中耗費了大量的時間，是我們學習過程中的學習難點。三角函數(shù)要求我們具有較強的邏輯思維能力以及知識的靈活應(yīng)用能力，因此在考試過程中，三角函數(shù)成為考試的重點考察內(nèi)容。另外，三角函數(shù)表達的意義較為抽象，因此學生在學習過程中常常因為沒有對題目進行深入理解導致最終的學習質(zhì)量下降，針對這種情況，我們應(yīng)在平時的學習過程中注意總結(jié)方法，在扎實掌握基礎(chǔ)知識的同時，在教師引導下積極進行有針對性的做題訓練。在此過程中，不斷加深對三角函數(shù)相關(guān)知識的認識，培養(yǎng)三角函數(shù)學習自信心。通過采用有效的訓練方法，逐步提高三角函數(shù)最值問題的解題能力[1]。

二、三角函數(shù)最值問題的解決方法

（一）利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決最值問題

在利用單調(diào)性解決最值問題的過程中，主要通過以下兩種方式進行：第一種為利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，二次函數(shù)是學生學習數(shù)學階段的重點內(nèi)容，二次函數(shù)圖形中具有明顯的數(shù)值變化，同時二次函數(shù)具有最大值、最小值以及明顯的單調(diào)性，加上二次函數(shù)的難度較小，所以我們可以利用二次函數(shù)解決三角函數(shù)中的最值問題。例如：函數(shù)中含有兩個變量，在解決實際問題的過程中，為了保證二次函數(shù)的應(yīng)用質(zhì)量，需要將其中的變量進行消除，使其成為一個變量，最終以一元方程的形式呈現(xiàn)出來。

第二種為利用導數(shù)進行求解，導數(shù)是人們研究三角函數(shù)中的一項重要工具，導數(shù)能夠利用其特殊性質(zhì)將函數(shù)的單調(diào)性以及變化規(guī)律顯示出來，在解決三角函數(shù)最值問題的過程中具有較高的應(yīng)用價值。在應(yīng)用導數(shù)解決三角函數(shù)最值問題的過程中，首先要將題目中具有價值的信息提取出來，找到其相對應(yīng)的知識點。其次，利用導數(shù)的性質(zhì)確定三角函數(shù)的單調(diào)性，并將題目中的數(shù)值進行帶入。最后，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性的分析結(jié)果對三角函數(shù)中的最值判斷以及計算[2]。

（二）利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題

對三角函數(shù)的性質(zhì)進行應(yīng)用能夠?qū)θ呛瘮?shù)的最值問題進行有效解決，例如：正弦函數(shù)是函數(shù)教學中的重點內(nèi)容，正弦函數(shù)具有一定的界限性以及明顯的單調(diào)性，能夠?qū)θ呛瘮?shù)中的數(shù)值進行明確的區(qū)域劃分，降低三角函數(shù)最值問題的解決難度。例如：在應(yīng)用正弦函數(shù)解決問題的過程中，由于正弦函數(shù)具有一定的界限性，所以函數(shù)中的變量必須要在正弦函數(shù)變量的范圍之內(nèi)，利用sin2α+cos2α=1這一規(guī)律解決三角函數(shù)的最值問題。在選擇正弦函數(shù)解決問題的過程中，必須注意以下問題，第一、將原變量向三角函數(shù)進行轉(zhuǎn)化；第二、對三角函數(shù)進行整理和變形；第三、利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值的數(shù)值。

（三）利用均值定理解決最值問題

均值定理能夠通過建立積與和之間不等關(guān)系的方式解決三角函數(shù)的最值問題，其中“和定求積”以及“積定求和”是其主要的應(yīng)用原理，由此可以看出均值定理的實際應(yīng)用價值。在利用均值定理解決問題的過程中需要注意以下問題：第一、三角函數(shù)中的變量必須為正數(shù)；第二、三角函數(shù)各個變量之間必須要滿足一定的定量關(guān)系，在實際應(yīng)用過程中必須要滿足以上兩個條件才能應(yīng)用均值定理解決問題。如果在實際計算過程中忽略了以上兩點，不僅會增加解題難度，同時還會影響最終的解題質(zhì)量。

（四）利用數(shù)形結(jié)合解決最值問題

作為高中數(shù)學的重點和難點內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合主要是利用“以形助數(shù)”的思想，應(yīng)用數(shù)學圖形的直觀性解決抽象的數(shù)學問題。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)最值問題，可以根據(jù)目標函數(shù)具備的幾何意義，使三角函數(shù)更為具體化與直觀化，從而使我們更為簡單地找到三角函數(shù)最值。比如下面一道例題：求y=的最大值和最小值。y=可以看做是定點（2，2）和動點（sinx，cosx）連線的斜率，已知動點（sinx，cosx）在單位圓sinn2α+cos2α=1上，所以可將三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)槎c（2，2）和單位圓上某點之間連線斜率的最值問題。根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可知，直線和圓相切的時候即可得出最值。所以，三角函數(shù)y=的最大值ymax=；最小值ymin=。由此可以看出，在解答三角函數(shù)最值問題的時候，我們可以根據(jù)函數(shù)的特點，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形問題，通過圖形的幾何意義解答最值問題。

綜上所述，三角函數(shù)的最值問題綜合性較強，對我們邏輯思維能力和知識應(yīng)用能力提出了一定的要求。通過對三角函數(shù)最值問題的分析可知，我們在解答三角函數(shù)最值問題時，要熟練運用各種解題方法，全面地掌握各種解題方法的適用性和使用條件，從而提高三角函數(shù)最值問題解題效率和準確率，提高數(shù)學學習成績。本文的探究仍舊存在不足之處，僅供參考。

參考文獻：

[1]曹廣明，劉成.三角函數(shù)中的最值問題求解[J].中學數(shù)學月刊，2017（11）：48-50.

[2]楊竣皓.求解三角函數(shù)最值問題的常見方法[J].語數(shù)外學習（高中版中旬），2017（03）：42.endprint