實變函數(shù)方法在經(jīng)典微積分中的應(yīng)用研究

摘要：作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)性課程，實變函數(shù)論同數(shù)學(xué)各分支領(lǐng)域存在極為緊密的聯(lián)系，特別是在經(jīng)典微積分中的應(yīng)用，可以應(yīng)對數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性特點，為學(xué)生奠定良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。本文結(jié)合實變函數(shù)方法的相關(guān)內(nèi)容，探討了其在經(jīng)典微積分中的具體應(yīng)用，并分析了基于實變函數(shù)論的微積分教學(xué)策略，以期為推動實變函數(shù)在微積分中的進(jìn)一步延伸提供參考。

關(guān)鍵詞：大學(xué)數(shù)學(xué);實變函數(shù)方法;微積分;應(yīng)用

實變函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)的一門專業(yè)核心課程，也是進(jìn)入后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性課程，如果實變函數(shù)的學(xué)習(xí)存在缺陷，那么未來的專業(yè)課學(xué)習(xí)也必然會面臨著現(xiàn)實的阻礙。與基礎(chǔ)教育相比，高等教育階段的數(shù)學(xué)課程抽象性、系統(tǒng)性、理論性特點愈發(fā)突出，這也意味著學(xué)生的學(xué)習(xí)難度也隨之提升，將實變函數(shù)方法應(yīng)用到各分支領(lǐng)域，特別是微積分這一基礎(chǔ)性領(lǐng)域，對于緩解學(xué)生的畏難情緒、幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)思維脈絡(luò)具有重要價值。

一、實變函數(shù)方法概述

19世紀(jì)與20世紀(jì)之交，實變函數(shù)論作為一個新的數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生，實變函數(shù)方法也應(yīng)運而生，其是研究一般實變函數(shù)的數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)家勒貝格的測度、可測集、可測函數(shù)和積分的理論構(gòu)成了實變函數(shù)論的最主要的內(nèi)容。如果說微積分討論的函數(shù)都是性質(zhì)“良好”的函數(shù)，則實變函數(shù)論是從連續(xù)性、可微性、勒貝格可積性三個方面討論最一般的函數(shù)，包括從微積分學(xué)來看性質(zhì)不好的函數(shù)。

二、實變函數(shù)方法在經(jīng)典微積分中的應(yīng)用

（一）Riemann積分進(jìn)行定義

實變函數(shù)本身來源于數(shù)學(xué)分析基本理論的延伸，是基于特定數(shù)學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)與發(fā)展，從這一點上來說，其是對Riemann積分的改進(jìn)。Riemann的思想是對函數(shù)項[0，1]區(qū)間上的dirichlet函數(shù)不可積，其主要是一種分割定義域的方式，從而產(chǎn)生了lebesgue的測度理論以及積分理論。為解決此類問題，就需要實現(xiàn)實變函數(shù)方法同值域基本概念與理論的密切結(jié)合。

（二）在概率論及隨機(jī)分析中的應(yīng)用

實變函數(shù)方法在概率論與隨機(jī)分析中的應(yīng)用，也是由這兩門細(xì)分課程的具體情況決定的，概率論與隨機(jī)分析具有極強的抽象性，需要依托于實變函數(shù)方法這一橋梁，以實現(xiàn)更進(jìn)一步、更細(xì)分地挖掘。例如，在lebesgue的授課中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于該積分和Riemann的關(guān)系理解往往較為模糊，而如果引入實變函數(shù)方法則可以有效解決這一問題。最直觀的表現(xiàn)就是在對應(yīng)測度的子集的可測問題上，實變函數(shù)方法的應(yīng)用可以實現(xiàn)舉一反三的效果。

（三）在外測度lebesgue中的定義講解

在專業(yè)教學(xué)中，無法對lebesgue給出直接的概念性定義，往往只能借助極限理論實現(xiàn)對圓的面積公式的獲取，即由外切正多邊形外包、內(nèi)接正多邊形的面積內(nèi)填的極限推導(dǎo)圓的面積。在此期間可以對外包的個數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，涉及的主要運算有并運算、差運算、余運算以及交運算，其對應(yīng)的結(jié)果都可以進(jìn)行預(yù)測。這種方法對數(shù)學(xué)微積分中的根源問題進(jìn)行了有效分析，可以幫助學(xué)生解決理解上的困難。

三、基于實變函數(shù)論的微積分教學(xué)策略

（一）上好“第一堂課”

微積分本身具有較強的抽象性，尤其是對剛剛步入大學(xué)生活的學(xué)生來說，微積分課程同其在高中階段接觸到的數(shù)學(xué)課程在思想上、應(yīng)用模式上均存在著顯著的差異，這也使得其很難在短時間內(nèi)快速適應(yīng)微積分的學(xué)習(xí)，甚至很多學(xué)生從此產(chǎn)生了對于數(shù)學(xué)學(xué)科的畏懼心理。因此，上好“第一堂課”，在大學(xué)伊始幫助學(xué)生奠定扎實的微積分學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，具有極高的現(xiàn)實價值。這就要求教師應(yīng)當(dāng)積極思考實變函數(shù)論下的趣味性與引導(dǎo)性教學(xué)策略，以興趣激發(fā)為主，力求消除學(xué)生的畏懼與抵觸情緒。例如，微積分教學(xué)中較為常見的區(qū)域性問題，往往要求學(xué)生對無窮可微性進(jìn)行深入理解，這種理解是一個遞進(jìn)的過程，因此教師在講解過程中也應(yīng)當(dāng)注意梯度設(shè)置，做好各層次的有效銜接，實現(xiàn)環(huán)環(huán)相扣的引入教學(xué)。再例如，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到實變函數(shù)論的基礎(chǔ)性作用，使得其理解實變函數(shù)論對于后續(xù)深入學(xué)習(xí)的重要性，在教學(xué)伊始就可以通過對有關(guān)數(shù)學(xué)史發(fā)展脈絡(luò)的介紹，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)化實變函數(shù)學(xué)習(xí)的熱情，為其主動將實變方法應(yīng)用到微積分中打下堅實基礎(chǔ)。

（二）以優(yōu)質(zhì)的教學(xué)方案作為支持

微積分本身的抽象性與系統(tǒng)性較強，因此在基于實變函數(shù)論的微積分教學(xué)中，教師必須把握好可能出現(xiàn)的各種問題，將其納入到統(tǒng)一的教學(xué)方案中去，同時依照實際教學(xué)過程中對于學(xué)生狀態(tài)的觀察，及時審視該種教學(xué)方案是否存在應(yīng)用價值、是否需要進(jìn)行調(diào)整補充，從而形成動態(tài)化的方案支撐，以期實現(xiàn)最佳的教學(xué)效果。

（三）探究課的合理安排

實變函數(shù)方法與微積分均具有極強的應(yīng)用型與探索性特點，從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，到訴諸于實變方法摸索解決方案、最終解決問題，這是一個持續(xù)性的探索過程，從本質(zhì)上來說，這種探究也是數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力所在。因此，在基于實變函數(shù)論的微積分教學(xué)中，教師可以設(shè)置一些針對性的探究討論課程。在正式進(jìn)入教學(xué)環(huán)節(jié)之前，由學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)，以文獻(xiàn)查閱、慕課學(xué)習(xí)等方式獲取關(guān)于基礎(chǔ)性微積分與實變函數(shù)方法的資料，并同本階段的教材內(nèi)容進(jìn)行結(jié)合，增強對于實變函數(shù)方法的理解。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生設(shè)置引導(dǎo)性的探究問題，例如，根據(jù)lebesgue積分的操作步驟，思考應(yīng)當(dāng)如何簡化其計算過程。這一類問題緊扣教學(xué)主題，又具有極強的開放性，學(xué)生在已經(jīng)擁有了一定的知識積累的基礎(chǔ)上，也能夠以較強的自主性去對lebesgue的積分操作進(jìn)行辨證思考，實現(xiàn)對積分求和定理的靈活運用，取代過去不能用微分號的特點，了解lebesgue在何種情況下不可以取積分。這種探究的形式，可以使得學(xué)生保持長效的學(xué)習(xí)熱情，引導(dǎo)其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐漸“登堂入室”

四、結(jié)束語

綜上，實變函數(shù)方法是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性手段，對于學(xué)生的知識建構(gòu)具有必要價值，將實變函數(shù)方法應(yīng)用到微積分中，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)各分支領(lǐng)域的密切聯(lián)系，形成更加系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維。對于高校教師來說，應(yīng)當(dāng)立足于實變函數(shù)論的基本特點，保證課堂教學(xué)的有效性，最大程度激發(fā)實變函數(shù)方法的應(yīng)用價值。

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作者簡介：魏育飛（1972-），男，漢族，內(nèi)蒙古巴彥淖爾人，內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)本科，內(nèi)蒙古河套學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)系，副教授。