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    淺談拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)

    2020-09-10 12:33:21韓樹新何軍王鑰王煒卿
    教育教學(xué)論壇 2020年32期
    關(guān)鍵詞:數(shù)值計(jì)算數(shù)學(xué)分析

    韓樹新 何軍 王鑰 王煒卿

    [摘 要]文章采用文獻(xiàn)描述性研究法,介紹了拉格朗日的生平,總結(jié)拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)分析以及數(shù)值計(jì)算的貢獻(xiàn),拉格朗日在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就。拉格朗日的研究不僅為后一代數(shù)學(xué)家們提供了素材和經(jīng)驗(yàn),也對(duì)我們當(dāng)代的生活產(chǎn)生了重大影響。

    [關(guān)鍵詞]拉格朗日;數(shù)學(xué)分析;數(shù)值計(jì)算

    [基金項(xiàng)目]2017年度河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目青年項(xiàng)目“將數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的策略研究”(2017JYQ04)

    [作者簡介]韓樹新(1963—),女,河北武強(qiáng)人,碩士,河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院教授,主要從事復(fù)分析研究;何 軍(1966—),女,甘肅張掖人,學(xué)士,河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)助理研究員,主要從事企業(yè)管理研究;王煒卿(2001—),女,山東淄博人,山東女子學(xué)院會(huì)計(jì)學(xué)院財(cái)務(wù)管理專業(yè)本科生在讀;王 鑰(1987—),女,山東淄博人,博士,河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院副教授(通信作者),主要從事復(fù)分析研究。

    [中圖分類號(hào)] O11[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324(2020)32-0322-02[收稿日期] 2020-03-16

    一、引言

    拉格朗日是18至19世紀(jì)承前啟后的數(shù)學(xué)大師,其地位僅次于歐拉。拉格朗日在數(shù)學(xué)方面的研究,對(duì)18世紀(jì)創(chuàng)立的數(shù)學(xué)分支貢獻(xiàn)很大。近年來,一些學(xué)者對(duì)拉格朗日做了深入研究。田鵬研究拉格朗日的生平事跡[1]。王穎對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行了充分的分析和研究[2]。吳元澤對(duì)拉格朗日乘數(shù)法的幾何意義進(jìn)行了討論[3]。師冰雪、李占松對(duì)工程計(jì)算中拉格朗日插值多項(xiàng)式的誤差進(jìn)行了評(píng)價(jià)[4]。M. V. Korobkov研究了拉格朗日中值定理對(duì)向量值映射情形的推廣[5]。拉格朗日在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就對(duì)我們現(xiàn)代生活產(chǎn)生了重要影響。本文介紹了拉格朗日的生平,總結(jié)了拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn),讓大家對(duì)拉格朗日有更充分的了解。

    二、拉格朗日的生平

    拉格朗日1736年1月25日出生于意大利都靈。中學(xué)時(shí),拉格朗日更愛好文學(xué)。漸漸地,在跟老師雷維里學(xué)習(xí)的過程中,拉格朗日發(fā)現(xiàn)了存在于幾何學(xué)中的奧秘,并轉(zhuǎn)而喜歡上了幾何學(xué)。1753年,在讀了有關(guān)牛頓微積分的介紹之后,拉格朗日的目光又停留在了數(shù)學(xué)分析上。從此,拉格朗日在科學(xué)的道路上不斷攀登,越走越遠(yuǎn),直至人生盡頭。

    1754年,18歲的拉格朗日取得了第一項(xiàng)研究成果,獨(dú)自推導(dǎo)出了求兩個(gè)函數(shù)乘積的高階求導(dǎo)公式。拉格朗日寫信將這一發(fā)現(xiàn)告知了歐拉,但萊布尼茨早在半個(gè)世紀(jì)前就得出了他的這項(xiàng)發(fā)現(xiàn),他雖失落,但并沒有放棄,繼續(xù)進(jìn)行研究。在數(shù)學(xué)研究生涯的初始階段,經(jīng)過小波折后,拉格朗日的思想轉(zhuǎn)向了對(duì)變分法的研究。受歐拉變分法工作的啟發(fā),1754年,通過純分析方法,拉格朗日對(duì)積分的極值問題進(jìn)行了求解,將該方法告知了歐拉,歐拉對(duì)拉格朗日的想法非常支持。歐拉非常欣賞拉格朗日的天賦和才華,因此向柏林研究院推薦拉格朗日。由于拉格朗日自身的才華,他被任命為柏林研究院的院士。四年后,拉格朗日發(fā)表了有關(guān)變分法的論文,正是由于拉格朗日在變分法方面的重大貢獻(xiàn)和奠定的重要基礎(chǔ),變分法才能夠成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支得以發(fā)展。

    拉格朗日十分注重對(duì)數(shù)論、方程論的研究,他證明了代數(shù)基本原理,對(duì)一般數(shù)值方程解進(jìn)行了研究。在數(shù)論方面,1759年,拉格朗日求解佩爾方程失敗后,于1766年,給出了佩爾方程整數(shù)解存在性的證明;1772年,他對(duì)由費(fèi)馬提出的四平方定理進(jìn)行了證明,此外,在1773年,還對(duì)威爾遜定理進(jìn)行了證明。

    1783年,拉格朗日的妻子、腓特烈大帝相繼去世,拉格朗日失去了感情和事業(yè)的兩大支持者,決心換一個(gè)環(huán)境生活。于是,1786年,在路易十六的邀請(qǐng)下,拉格朗日赴巴黎科學(xué)院繼續(xù)進(jìn)行他的研究工作。

    1795年,拉格朗日被任命為巴黎高等師范學(xué)校的數(shù)學(xué)教授,由此,拉格朗日的研究工作也正式重新開始,通過對(duì)他過去的數(shù)學(xué)研究進(jìn)行整理,他相繼出版了《解析函數(shù)論》和《函數(shù)計(jì)算講義》兩本著作。拿破侖把拉格朗日、拉普拉斯等自然科學(xué)家都吸收進(jìn)了保守的參議院。1813年4月,拉格朗日被授予大十字勛章。但這時(shí)候的拉格朗日無法潛心研究,身體狀況不佳,于4月中旬去世。

    三、拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)

    拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)非常大,比如拉格朗日中值定理,應(yīng)用拉格朗日中值定理可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、有界性、一致連續(xù)性,證明等式、不等式,判斷方程根的存在性,求極限,判斷級(jí)數(shù)斂散性等。

    拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)分析的另一個(gè)重要貢獻(xiàn)是拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法能夠?qū)Χ嘣瘮?shù)的極值進(jìn)行求解,尤其是存在多個(gè)變量和限制條件的情況。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,凡是有約束條件的極值問題都可以用拉格朗日乘數(shù)法求解,而且約束最優(yōu)化問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中占有重要的地位,所以拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。例如,效用最大化問題可轉(zhuǎn)化為求在約束條件下效用函數(shù)的最大值問題,因此可用拉格朗日乘數(shù)法求解。此外還有成本最小化的問題也可以通過轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解。

    四、拉格朗日對(duì)數(shù)值計(jì)算的貢獻(xiàn)

    在科學(xué)研究和生產(chǎn)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,部分函數(shù)的具體解析式無法得知,對(duì)這部分函數(shù),只能通過實(shí)驗(yàn)或觀察的方式得到一些離散點(diǎn)的函數(shù)值。此外,還存在部分函數(shù),雖然其具體的解析表達(dá)式是知道的,但表達(dá)式過于煩瑣,要想分析和計(jì)算這些函數(shù)比較的困難,這時(shí)候就需要尋找一個(gè)合適的近似函數(shù)來代替原來的函數(shù),而插值法就是這樣一種尋求近似函數(shù)的方法。1795年,在拉格朗日出版的一本數(shù)學(xué)知識(shí)方面的著作中對(duì)插值法進(jìn)行了簡單的介紹,之后拉格朗日本人就和插值法聯(lián)系在一起[6](P65-66)。所以有了插值多項(xiàng)式、線性插值、拋物線插值、插值余項(xiàng)等。

    由于拉格朗日插值法能夠?qū)唧w的計(jì)算步驟和計(jì)算過程進(jìn)行簡化,因此其在工程中發(fā)揮著的重大的作用,而且隨著計(jì)算機(jī)的普及,拉格朗日插值法已與matlab等軟件結(jié)合起來,現(xiàn)已研究出了用拉格朗日插值法尋求近似函數(shù)的程序,大大方便了人們的計(jì)算。

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