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    2類特殊三圈圖的路能量

    2020-09-10 12:29:38李文靜邵燕靈
    關(guān)鍵詞:圖論特征值

    李文靜 邵燕靈

    摘 要:針對三圈圖種類較多且路矩陣復(fù)雜度較高的問題,運(yùn)用矩陣分析方法、根的存在性定理及不等式的放縮,研究了2類三圈圖有無懸掛點(diǎn)時(shí)的路能量。首先,分別給出2類三圈圖有無懸掛點(diǎn)時(shí)的4種路矩陣,利用矩陣分析方法對實(shí)對稱矩陣分塊得出對應(yīng)的特征多項(xiàng)式,由根的存在性定理及韋達(dá)定理判定出正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)并估計(jì)出取值范圍;其次,通過不等式的放縮求出2類三圈圖有無懸掛點(diǎn)時(shí)的路能量。結(jié)果表明,2類三圈圖在有無懸掛點(diǎn)時(shí)路矩陣負(fù)特征值的個(gè)數(shù)及取值范圍是不一樣的,對應(yīng)的路能量也是不一樣的。所得結(jié)果對后續(xù)三圈圖的路能量極值問題研究具有一定的借鑒價(jià)值,也有利于推測相關(guān)化學(xué)分子結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。

    關(guān)鍵詞:圖論;實(shí)對稱矩陣;特征值;三圈圖;路矩陣;路能量

    中圖分類號:O157.5?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    文章編號:1008-1542(2020)04-0334-07

    doi:10.7535/hbkd.2020yx04006

    圖能量的研究來源于對化學(xué)分子結(jié)構(gòu)的研究。20世紀(jì)70年代,著名數(shù)學(xué)化學(xué)家GUTMAN[1]最先提出了圖能量的概念,將其定義為圖的鄰接矩陣特征值的絕對值之和。顯然,研究圖能量的關(guān)鍵就是研究圖的鄰接矩陣特征值,即與圖譜有關(guān),在文獻(xiàn)[2—3]中可查閱關(guān)于圖譜的性質(zhì)。研究圖能量的方法一般依據(jù)的是矩陣?yán)碚?,關(guān)于矩陣的一些研究方法及結(jié)論可參考文獻(xiàn)[4—5]。隨著圖能量的提出,許多學(xué)者對各種簡單圖類的能量的界展開了研究,并去刻畫相對應(yīng)的極值圖,陸續(xù)提出了拉普拉斯能量、無符號拉普拉斯能量、距離能量及Randic'能量等各種能量的定義,關(guān)于這些能量的研究可參考文獻(xiàn)[6—12]。

    PATEKAR等[13]提出了圖的路矩陣定義,研究了完全圖、樹、單圈圖、完全二部圖及正則圖等簡單圖類的路矩陣特征值及相關(guān)性質(zhì)。SHIKARE等[14]探究了一些簡單圖路矩陣的譜半徑及路能量,提出了關(guān)于樹、單圈圖和雙圈圖的路能量的極值猜想。AKBARI等[15]證明了上述猜想,得到了n階連通圖的路能量的下界是2(n-1),證明了其極值圖是樹,還確定了n階單圈圖的路能量是關(guān)于圈長k的增函數(shù),因此分別在k=n和k=3時(shí)得到最大值和最小值;文獻(xiàn)[16]研究了n階雙圈圖的路能量,得到當(dāng)2個(gè)圈恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)取得最大路能量,當(dāng)2個(gè)圈恰有1條公共路時(shí)取得最小路能量。更多關(guān)于路能量與路拉普拉斯矩陣和對應(yīng)的路拉普拉斯能量的研究參考文獻(xiàn)[17—19]。

    3?結(jié)?語

    通過對2類特殊三圈圖的路矩陣進(jìn)行分塊,采用矩陣分析方法,得出了對應(yīng)的特征多項(xiàng)式,根據(jù)根的存在性定理估計(jì)出特征值的取值范圍,分別證明得到了2類三圈圖有無懸掛點(diǎn)時(shí)的路能量。

    本研究僅研究了2類三圈圖的路矩陣和對應(yīng)的路能量,其余種類的三圈圖的路矩陣更為復(fù)雜,分塊塊數(shù)更多,應(yīng)用目前方法研究比較困難。今后將會(huì)采用新方法研究其余種類三圈圖的路矩陣和路能量,以期得到三圈圖路能量的極值圖。

    參考文獻(xiàn)/References:

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