帶有臨界增長的Kirchhoff方程極小能量變號解的存在性

梁文國 黃永艷

摘 要：為了深入研究Kirchhoff方程的性質(zhì)，討論了帶有Hartree項和臨界增長非線性項的Kirchhoff方程極小能量變號解的存在性。利用能量泛函在變號Nehari流形上的下確界Cλ收斂于0，得到空間E緊嵌入L6（R3）這一技術(shù)性結(jié)果。結(jié)果表明，利用限制變分方法和定量形變引理獲得極小化序列對應(yīng)的極小值點是該問題的非平凡解。研究方法在理論證明方面得到了良好的結(jié)果，對研究其他Kirchhoff方程解的存在性有一定的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：非線性泛函分析;Kirchhoff方程;Hartree非線性項;臨界增長;變分方法;變號解

中圖分類號：O175?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1008-1542（2020）04-0327-07

doi：10.7535/hbkd.2020yx04005

3?結(jié)?語

本文研究了帶有Hartree項和臨界增長非線性項的Kirchhoff方程極小能量變號解的存在性。利用變分方法和精細(xì)的分析技巧獲得了緊嵌入的結(jié)果。然而，文中的理論證明是在特定的勢函數(shù)、非線性項和一個參數(shù)下進(jìn)行的，并未考慮其他勢函數(shù)和多參數(shù)的情形。未來研究中，將嘗試解決這類問題解的存在性以及解的漸進(jìn)行為。

參考文獻(xiàn)/References：

[1]?BENCI V， FORTUNATO D. An eigenvalue problem for the Schrdinger-Maxwell equations[J]. Topological Methods in Nonlinear Analysis，1998，11（2）：283-293.

[2]?SHI Qihong， PENG Congming.Wellposedness for semirelativistic Schrdinger equation with power-type non-linearity[J]. Nonlinear Analysis： Theory， Methods & Applications， 2019， 178：133-144.

[3]?SHI Qihong， WANG Shu. Klein-Gordon-Zakharov system in energy space： Blow-up profile and subsonic limit[J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2019， 42（9）：3211-3221.

[4]?巴振， 賀小明.一類Kirchhoff-Poisson方程變號解的存在性[J].中央民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2015， 24（2）：82-87.

BA Zhen， HE Xiaoming. Existence of sign-changing solutions for a class of Kirchhoff-Poisson equation in bounded domains[J]. Journal of MUC （Natural Science Edition），2015， 24（2）：82-87.

[5]?郝亞文， 李宇華.漸近周期的Kirchhoff-Schrdinger-Poisson系統(tǒng)非平凡解的存在性[J].河南科技大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2017， 38（3）：95-99.

HAO Yawen， LI Yuhua. Nontrivial solution existence for asymptotically periodic Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system[J]. Journal of Henan University of Science and Technology（Natural Science）， 2017， 38（3）：95-99.

[6]?郝劍偉， 黃永艷.帶有Hartree和對數(shù)非線性項的Schrdinger方程非平凡解的存在性[J].河北科技大學(xué)學(xué)報， 2019， 40（6）：482-487.

HAO Jianwei， HUANG Yongyan. Existence of nontrivial solution of Schrdinger equations with Hartree and logarithmic nonlinearities[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology， 2019， 40（6）：482-487.

[7]?LI Gongbao， PENG Shuangjie， YAN Shusen. Infinitely many positive solutions for the nonlinear Schrdinger-Poisson system[J]. Communications in Contemporary Mathematics， 2010， 12（6）：1069-1092.

[8]?馬鋒， 趙雷嘎.一類非線性Schrdinger-Poisson方程解的存在性[J].北京化工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2015，42（2）：119-124.

MA Feng， ZHAO Leiga. Existence of solutions for a class of Schrdinger-Poisson equations[J]. Journal of Beijing University of Chemical Technology（Natural Science）， 2015， 42（2）：119-124.

[9]?余勝龍， 唐春雷.帶有負(fù)的非局部項的Schrdinger-Poisson方程的正基態(tài)解[J].西南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2013， 35（6）：68-71.

YU Shenglong， TANG Chunlei. On positive ground state solution to the Schrdinger-Poisson system with the negative non-local term[J]. Journal of Southwest University （Natural Science Edition）， 2019， 40（6）：68-71.

[10]趙桂蘭.一類Kirchhoff-Schrdinger-Poisson系統(tǒng)正解的存在性[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報， 2015， 28（2）：198-203.

ZHAO Guilan. Existence of a positive solution to a class of Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system[J]. Basic Sciences Journal of Textile Universities， 2015，28（2）：198-203.

[11]SUN Jijiang， MA Shiwang. Ground state solutions for some Schrdinger-Poisson systems with periodic potentials[J].Journal of Differen-tial Equations， 2016，260（3）：2119-2149.

[12]IANNI I. Sign-changing radial solutions for the Schrdinger-Poisson-Slater problem[J]. Topological Methods in Nonlinear Analysis， 2013， 41（2）：365-385.

[13]LIANG Zhanping， XU Jing， ZHU Xiaoli. Revisit to sign-changing solutions for the nonlinear Schrdinger-Poissonsystem in?R3[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2016， 435（1）：783-799.

[14]ALVES C O， SOUTO M A S. Existence of least energy nodal solution for a Schrdinger-Poisson system in bounded domains[J]. Zeitschrift Für Angewandte Mathematik Und Physik， 2014， 65（6）：1153-1166.

[15]ALVES C O， SOUTO M A O， SOARES S H M. A sign-changing solution for the Schrdinger-Poisson equation in R3[J].The Rocky Mountain Journal of Mathematics， 2017， 47（1）：1-25.

[16]WANG Zhengping， ZHOU Huansong. Sign-changing solutions for the nonlinear Schrdinger-Poisson system in R3[J]. Calculus of Variations and Partial Differential Equations， 2015，52（3/4）：927-943.

[17]SHUAI Wei， WANG Qingfang. Existence and asymptotic behavior of sign-changing solutions for the nonlinear Schrdinger-Poisson system in R3 [J].Zeitschrift Für Angewandte Mathematik Und Physik， 2015， 66（6）：3267-3282.

[18]WANG Dabing， ZHANG Huabo， GUAN Wen. Existence of least-energy sign-changing solutions for Schrdinger-Poisson system with critical growth[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2019， 479：2284-2301.

[19]WANG Dabing. Least energy sign-changing solutions of Kirchhoff-type equation with critical growth[J].Journal of Mathematical Physics， 2020， 61（1）：1-7.

[20]BARTSCH T， WANG Zhiqiang. Existence and multiplicity results for some superlinear elliptic problems on RN [J]. Communications in Partial Differential Equations， 1995， 20（9/10）：1725-1741.

[21]LIEB E， LOSS M. Analysis， Graduate Studies in Mathematics[M]. [S.l.]：[s.n.]， 2001.

[22]周民強(qiáng).實變函數(shù)論[M]. 北京：北京大學(xué)出版社， 2008.

[23]LI Fuyi， GAO Chunjuan， ZHU Xiaoli. Existence and concentration of sign-changing solutions to Kirchhoff-typesystem with Hartree-type nonlinearity[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2017， 448（1）：60-80.